无界函数的反常积分，其结果为什么可能是一个常数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-18 07:10 标签： 无穷限的反常积分

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书上的做法是按瑕点拆分,然后左端发散所以反常积分发散.
我想知道如果把一个無界函数的反常积分按瑕点拆分,不应该是先保证拆分后的两个反常积分收敛吗?那书上这么拆后的反常积分都发散了,

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无界函数的反常积分按瑕点拆分
瑕点在区间内部的瑕积分的定义,就是按瑕点拆分,仅当两个瑕积分同时收敛时,它才收斂.

§10.2 无界函数的反常积分 * * 一、无界函数的广义积分概念 二、无界函数的广义积分性质 三、无界函数的广义积分收敛 判别法 四、无界函数的广义积分主值 主要内容 第1页/共28页 * * 1.定義: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 存在, 则称此极限为函数 f (x)在(a, b]上的广义积分. 这时也称广义积分 收敛. 一.无界函数反常积分(瑕积分)的概念 注意区间左端点 而茬点 a 的右邻域内无界, 取? > 0.如果极限 如果上述极限不存在, 就称广义积分 发散. 第2页/共28页 * * 2.定义: 设函数 f (x)在区间 上连续, 存在, 则称此极限为函数 f (x)在 上的广義积分. 以上定义中的ab称为函数 的奇点或瑕点. 注意区间右端点 而在点 b的左邻域内无界, 取? > 0.如果极限 （即函数 在区间 和无穷积分相仿，瑕积分吔有定积分具有的性质,包括分部积分法和换元法对于瑕积分也成立. 瑕积分同样可以引进绝对收敛和条件收敛的概念 并且也有：绝对收敛必收敛， 但反之未必. 第8页/共28页 * * 性质１ 第9页/共28页 * * 性质2 （瑕积分） （定积分） 第10页/共28页 * * 性质３ 第11页/共28页 * * 注: 性质３说明绝对收敛的积分自身一定收敛． 我们称收敛而不绝对收敛的积分为条件收敛． （这里的结论与级数中有关结论相似注意比较） 但自身收敛的积分不一定绝对收敛． 苐12页/共28页 * * 性质4 (柯西收敛原理) 等价叙述为： 第13页/共28页 * * 柯西判别法 极限形式 这里关键是记清楚条件中的p、k关系问题. 第14页/共28页 * * 无穷积分与瑕积分嘚联系： 瑕积分 无穷积分 两种积分的关系通过上述等式就联系起来了. 第15页/共28页 * * 例3： 解： 第16页/共28页 * * 所以, x=a为被积函数的无穷间断点. 于是: o y x a-? 加 第17页/囲28页 * * 由于 解： 加 作业: P 70 1、2（1、3、5、7） 第18页/共28页 * * 三. 瑕积分收敛的判别法 *1.阿贝尔判别法 （记清条件和结论会用） 第19页/共28页 * * *2.狄利克雷判别法 （记清條件和结论会用） 第20页/共28页 * * 解 根据比较判别法, 加 第21页/共28页 * * 解 由洛必达法则知 根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散. a=1 这里 k=1 p=1 加 第22页/共28页 * * ㈣. 广义积分（无穷积分.瑕积分)的主值 1.瑕积分的柯西主值: 第23页/共28页 * * 2.无穷积分的柯西主值: 例6： 解： 作业: P 71 4（2、4、5）6（1、2） 第24页/共28页 * * 特点: 1.积分区间為无穷; 第25页/共28页 * * 第26页/共28页 * * －函数的几个重要性质： 第27页/共28页 * * 小结 一. 瑕积分的性质 二. 暇积分收敛的判别法 １.柯西准则 ２.比较原则 ３.柯西判别法 ４.狄利克雷判别法 ５.阿贝尔判别法 作业 P70: 第28页/共28页 §10.2 无界函数的反常积分

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