解线性方程组的步骤_中华文本库
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线性方程组的直接解法
GAUSS列主消元法
求解n元线性方程组的最简单直接求解方法，学过线性代数的人都应该知道，即求解线性方程组
???????????????a11x1+a12x2+...+a1jxi+...+a1nxn=b1...ai1x1+ai2x2+...+aijxi+...&+ainxn=bi...an1x1+an2x2+...+aijxi+...+ainxn=bn
（PS：这个latex的排版真的好漂亮唯一不足就是不能字符对齐）
其实就是把系数矩阵化为上三角矩阵，不过得对应的对向量b做变换，过程不再累述，详细过程请见
这里给出一种列主元素的实现
public class linearEquation {
* 找到列主元素所在行
private static int findMaxRow(double[][]a,int i,int n)
int ansRow =
for(int r = i+1 ; r&n+1 ; ++r)
if(a[ansRow][i]&a[r][i])
return ansR
* 交换同一个矩阵中的两行
* startColumn
private static void swapRow(int startColumn,int r1,int r2,int n,double[][]a)
for(int j = startC j&n+1 ; ++j)
double t = a[r1][j];
a[r1][j] = a[r2][j];
a[r2][j] =t;
* 高斯列主元素消元法
public static void Gauss(double[][] a,double[] b,double[]x,int n)//从1，开始
for(int i=1 ; i& ++i)
int maxr = findMaxRow(a, i, n);
if(maxr !=i)
swapRow(i, maxr, i, n, a);
double tmp = b[maxr];
b[maxr] = b[i];
for(int r = i+1 ; r&n+1 ; ++r)
double l = a[r][i]/a[i][i];
for(int j= j&n+1 ; ++j)
a[r][j] = a[r][j]-l*a[i][j];
b[r] =b[r]-l*b[i];
for(int i= i&0 ; --i)
for(int j= j& j--)
b[i] -= a[i][j]*x[j];
x[i] = b[i]/a[i][i];
这是矩阵化简的最重要的方法，想到这里也就不难想到他在矩阵运算中的作用了
矩阵求逆，求矩阵的rank…
计算复杂度(complexity)
矩阵的LU分解
对n阶方阵A∈Rn*n,若存在单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使得
则称为矩阵的Doolittle分解，也称为矩阵的LU分解。
我们给出若A的顺序主子式Ai(i=1,2,...,n)则A有唯一的LU分解（证明见数值计算教材）。
aij={∑i-1k=1LikUkj,&j≥i∑jk=1LikUkj,&j&i
所以我们有
Lij=(aij-∑j-1k=1LikUkj)/Ujj,j=i+1,...,n
Uij=aij-∑i-1k=1LikUkj,j=i,..,n
然而我们并不需要采用这种方式来进行计算，这里给出一种《算法导论》中提到的分块的思想，来递归求解。
* 方阵的LU分解A = LU
* n n阶方阵
public static void LU_Decomposition(int n,double[][] A,double [][] L,double[][]U)
for(int k=1 ; k&n+1 ; ++k)
for(int i =k;i&n+1;++i )
U[k][i] = A[k][i];
L[i][k] = A[i][k]/U[k][k];
for(int i=k+1 ; i&n+1 ; ++i)
for(int j = k+1 ; j&n+1 ; ++j)
A[i][j]-=L[i][k]*U[k][j];
矩阵的LUP分解
从上面的代码可以很容易的看出LU分解是没有数值稳定性的。所以我们可以采用GAUSS消元的做法，选取一个主元（列最大的值)这样就相当于矩阵A左乘一个置换矩阵。即PA=LU，不过我们并不需要表示出这个矩阵，只需用P[i]表示第i行为1的列就行了。
* n阶方阵的LUP分解，，P为置换矩阵，即PA = LU;
* n 矩阵的Rank
* P 置换矩阵，其中存的是为1的元素的列
public static void LUP_Decomposition(int n,double[][]A,int[]P)
for(int i=1 ; i&n+1 ; ++i)P[i] =
for(int k =1 ; k&n+1; ++k)
int maxRow = findMaxRow(A, k, n) ;
if(maxRow!=k)
int temp = P[k];
P[k] = P[maxRow];
P[maxRow] =
swapRow(k, maxRow, n, A, 1);
for(int i=k+1 ; i&n+1 ; ++i)
A[i][k] /= A[k][k];
for(int j=k+1 ; j&n+1 ; ++j)
A[i][j]-=A[i][k]*A[k][j];
计算复杂度
这种方法并不比GAUSS消元法来的快，但是在后面我们可以看到求得了矩阵的一个LUP分解之后，可以在O(n2)类求解线性方程组，这对于一个系数矩阵固定的线性系统是一个极大的优化
用矩阵的LUP分解求解线性方程组
由LUP分解我们有
则求解Ax=b即
先求解Ly=Pb
再求解y=Ux
复杂度O(n2)
* LUP分解求解线性方程组
* P置换矩阵
* n方程未知元数目
public static void LUP_solve(double[][]L,double[][]U,int[]P,double[]b,double[]x,int n)
double[]y = new double[n];
for(int i=1 ; i&n+1 ; ++i)
double sum = 0;
for(int j =1 ; j& ++j)
sum+=L[i][j]*y[j];
y[i] = b[P[i]]-
for(int i= i&0 ; --i)
double sum = 0;
for(int j = j& j--)
sum+=U[i][j]*x[j];
x[i] = (y[i]-sum)/U[i][i];
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|系统分类:|关键词:迭代法,线性方程组|
Guass-Seidel(高斯--赛德尔) 迭代法(简称 $G-S$ 迭代)是对 Jacobi 迭代的一种改进.考查 在方程组(6.42) 式, 计算次序是$x_1{(k+1)}\rightarrow x_2^{(k+1)}\rightarrow x_3^{(k+1)}$, 但在计算 $ x_2^{(k+1)}$ 时并没有利用已经计算出的$x_1^{(k+1)}$,而仍利用$x_1^{(k)}$; 同样, 在计算$x_3^{(k+1)}$ 时, 也没有利用最新计算出的 $x_1^{(k+1)}$,$x_2^{(k+1)}$. 为此, 将$(6.42)$ 改进为 & & & $\begin{cases}
x_1^{(k+1)} = \frac{1}{8}(20 + 3x_2^{(k)} - 2x_3^{(k)})\\
x_2^{(k+1)} = \frac{1}{11}(33-4x_1^{(k+1)} + x_3^{(k)})\\
x_3^{(k+1)} = \frac{1}{12}(36-6x_1^{(k+1)} - 3x_2^{(k+1)})\\
\end{cases}
,(k=0,1,2,\cdots.)$ 这就是G-S迭代.考虑一般情形, G-S迭代也就是将 J 迭代公式 $(6.40)$ 改进为 & & &
$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{i{}i}}\left(b_i-\sum\limits_1^{i-1} a_{i{}j}{}x_j^{(k+1)} -\sum\limits_{j = i +1}^n a_{i{}j}{}x_j^{(k)} \right),(i=1,2,\cdots,n.,k = 1,2,\cdots.)
(6.43)$ 这是G-S迭代的分量形式.G-S迭代的矩阵形式即是将 $(6.39)$ 式改为 & &
$\textbfsymbol{D} \textbfsymbol{x}^{(k+1)} = \textbfsymbol{L} \textbfsymbol{x}^{(k+1)}+\textbfsymbol{U} \textbfsymbol{x}^{(k)} + \textbfsymbol{b},(k=0,1,2,\cdots.)$ 于是得 & & & & & & & & & & $\textbfsymbol{x}^{(k+1)} = (\textbfsymbol{D} - \textbfsymbol{L})^{-1} \textbfsymbol{U} \textbfsymbol{x}^{(k)} + (\textbfsymbol{D} - \textbfsymbol{L})^{-1}\textbfsymbol{b},(k=0,1,2,\cdots.)
(6.44)$ 即 & & & & & & & $\textbfsymbol{x}^{(k+1)} = \textbfsymbol{B}_{GS}\textbfsymbol{x}^{(k)} + \textbfsymbol{f},(k=0,1,2,\cdots.)
(6.45)$ 其中, 迭代矩阵
$\textbfsymbol{B}_{GS}=(\textbfsymbol{D} - \textbfsymbol{L})^{-1} \textbfsymbol{U}, \textbfsymbol{f}= (\textbfsymbol{D} -
\textbfsymbol{L})^{-1}\textbfsymbol{b}$ .Gauss-Seidel 迭代法的MATLAB程序：
function [x, k] = LinGauSeid(A,b,eps,it_max) % &求线性方程组的Gauss-Seidel迭代法，调用格式为 % &[x, k] = LinGauSeid(A,b,ep,it_max) % &其中 % &A 为线性方程组的系数矩阵，b 为常数项，ep 为精度要求，默认为1e-5,
% &it_max 为最大迭代次数，默认为100 % &x 为线性方程组的解，k迭代次数 if nargin &4 it_max = 100; if nargin &3 eps = 1e-5; if min(diag(A))&1e-10
error('% 对角元素为0，计算失败！'); end n = length(b); xk = zeros(n,1); &k=1; B = -tril(A)triu(A,1); f = tril(A)b; while k&it_max & & xk1 = B*xk + & & if max(abs(xk1-xk))&eps & & & & & & end & & xk = xk1; k = k+1; end 在命令窗口输入 A = [4 3 0; 3 4 -1;0 -1 4]; b = [24;30;-24];
[x, k] = LinGauSeid(A,b)
x =3.00004.0000-5.0000k =25
说G-S迭代是J迭代的改进，其含义是: 当二者均收敛时, G-S迭代比J迭代收敛速度要快. 然而, 也存在J迭代收敛, 而G-S迭代发散的线性方程组.
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求解线性方程组的解
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你好！因为|A|是范德蒙行列式，可知|A|≠0，所以线性方程组ATX=B有唯一解，可以直接验证x1=1,x2=...=xn=0就是解。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
怎么直接验证？？不懂啊写一下吧！
还是不懂，我要解题步骤
左边用矩阵乘法计算就等于右边。这就是解题步骤。求这个解最简单的作法就是观察猜测与验证。一定要解题步骤，就用克莱姆法则套公式，你自己写吧。
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线性方程组求解在线计算器
发布时间： 12:36:59&来源：懒人计算器&作者：老壶&
线性方程组求解在线计算器 线性方程组求解器
输入矩阵解决
例如，解3次方程和3个未知数：
x + 2y + 3z = 9
这将是输入上文的矩阵：
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