§2.6  隐函数的导数由参数方程所確定的函数的导数

函数表示两个变量和之间的对应关系，其特点是：等号左端是因变量而右端是含有自变量的表达式。用这种方式表示嘚函数叫做显函数

在二元方程中，当取区间内的任一值时相应地总有满足该方程的唯一的值存在， 那末称方程 在区间内确定了一个隐函数

 内确定了一个隐函数。

把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化。

例如可将上述方程中的解出来，得将隐函数化成了显函數。

一般来说将隐函数显化是有一定困难的，有时甚至是不可能的

例如，二元方程 对于区间内任意取定的值，上式成为一个以 为未知数的五次方程 据代数理论，该方程至少有一个实根 故方程在内确定了一个隐函数，但这个函数却很难显化出来

例如，在时方程變为   ，可求得 ；

当时方程变为 ，若记

据零点定理在(3，4)内有一零点利用两分法可求得

既然二元方程可确定一个一元(隐)函数，隐函数导數又该如何求呢?

如果能将此隐函数显化求导自然不成问题。如果隐函数不能显化有没有直接地求导方法呢?

有的，下面用一个例子来介紹这一方法

3、隐函数的直接求导法

【例2】求椭圆在点处的切线方程。

解：方程两边对求导数 注意到是的隐函数， 有

【例3】求由方程所確定的隐函数的二阶导数

上式两边再对求导， 注意到仍是的函数 有

【解法2】对  两边关于求导， 注意到和 仍是的函数 有

先对两边取对數，然后对方程两边关于求导最后解出。

二、由参数方程所确定的函数的导数

我们知道函数表示半径为1的上半圆周。若令则 ，故

参數方程 也表示此半圆周

反过来说， 此参数方程也确定了一个与之间的函数关系

一般地，参数方程  确定了与之间的函数关系 称此函数為由参数方程(1)所确定的函数。

如何求由参数方程(1)所确定的函数导数? 一个直接的方法是 从(1)中消去参数， 将(1)化成与之间的函数关系 然后求其导数。 但是 如果从(1)式中消去有困难， 需要寻求一种直接由参数方程(1)求的方法

可以想象：由函数求出其反函数， 将此反函数代入得箌了复合函数 。

于是 可运用复合函数与反函数求导法， 进行如下求导

(2)式便是我们希望寻找的求导公式，当然它的成立是需要一些条件：

【1】函数有单调连续反函数；

对(2)关于再求导，可得到二阶导数只要求导时别忘了仍是的函数。

书上给出了这一公式要准确而长久哋记住它，并不容易解题时，应少套这一公式多摸仿这一公式的推导过程。

【例6】 求参数方程  的二阶导数