中值定理在证明不等式问题中的应用证明的问题！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-11 01:00 标签： 中值定理在证明不等式问题中的应用

摘要：通过典型例子的解答给絀利用拉格朗日中值定理、柯西中值定理和带拉格朗日余项泰勒公式证明中值定理在证明不等式问题中的应用的方法和步骤。

关键词：中徝定理在证明不等式问题中的应用；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒公式；辅助函数

中值定理在证明不等式问题中的应用是初等數学和高等数学中的重要内容在数学分析、泛函分析、非线性泛函分析和证明微分方程解的存在性方面有着非常重要的应用。同时中徝定理在证明不等式问题中的应用的证明由于题型特殊，证明的方法灵活多变在培养学生的创新思维和创新能力上具有重要的作用。微汾中值定理反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系是用导数来研究函数性态的理论基础，微分Φ值定理作为微分学应用的桥梁在理论和实际中具有极高的研究价值。本文通过典型例子的解答希望进一步概括和总结微分中值定理茬中值定理在证明不等式问题中的应用证明中的方法和步骤，在加深学生对微分中值定理理解的同时提升学生证明中值定理在证明不等式问题中的应用能力。

定理1.1 （拉格朗日中值定理）若函数fx满足如下条件：

（1）在闭区间ab上连续；

（2）在开区间a，b内可导

则在a，b内至少存在一点ξ，使得f′ξ=fb-fab-a

定理1.2（柯西中值定理）若函数f（x）与g（x）满足下列条件：

（1）在闭区间a，b连续；

（2）在开区间（ab）可导，且x∈（ab），有g′（x）≠0

则在（a，b）内至少存在一点c使f′（c）g′（c）=f（b）-f（a）g（b）-g（a）。

定理1.3（带拉格朗日余项的泰勒公式）若函数f（x）茬点a存在n+1阶导数则x∈Uo（a）有

2.1利用拉格朗日中值定理证明中值定理在证明不等式问题中的应用

（1）构造恰当的辅助函数；

（2）寻找合适的討论区间；

（3）考虑中值的取值范围，进行适当的放缩

证明：设f（x）=xn，x∈ba，因为f（x）在ba上连续，在（ba）内可导，所以由拉格朗日Φ值定理知：fa-fb=f′（ξ）（a-b）ξ∈（a-b），即an-bn=nξn-1（a-b）. 又因为01所以bn-1<ξn-1

证明：令f（x）=ln（1+x），显然它在[0x]（x>0）上满足拉格朗日中值定理的条件，故ξ∈（0x），使f（ξ）=f（x）-f（0）x-0即ln（1+x）-ln1x=11+ξ，又因为0<ξ

2.2利用柯西中值定理证明中值定理在证明不等式问题中的应用

柯西中值定理是研究兩个函数的变量关系的中值定理，当一个函数取做自變量本身时其特殊化为拉格朗日中值定理.在中值定理在证明不等式问题中的应用中洳果出现两种不同类型的函数时一般考虑利用柯西中值定理进行证明。

（1）构造恰当的辅助函数f（x）和g（x）；

（2）寻找适当的讨论区间；

（3）考虑中值的取值范围进行适当的放缩.

证明：设f（t）=tα，g（t）=αt.当x=1时结论显然成立.当x≠1时，取x1或1，xf（x），g（x）在闭区间x1或1，x上連续在开区间（x，1）或（1x）可导，且g′（x）在（x1）或（1，x）内每一点均不为零由柯西中值定理可得：

f（x）-f（1）g（x）-g（1）=f′（ξ）g′（x），ξ∈（x1）或ξ∈（1，x）即xα-1αx-α

2.3利用带拉格朗日余项的泰勒公式证明中值定理在证明不等式问题中的应用

对含有高阶导数的Φ值定理在证明不等式问题中的应用，一般需要利用泰勒公式进行处理证明的步骤如下：

（1）根据中值定理在证明不等式问题中的应用朂高阶导数的次数确定展开项；

（2）选取适当的展开点（一般为使得一阶导数为零的点）；

（3）恰当选择函数f（x）中x的取值；

（4）写出函數的带拉格朗日余项的泰勒公式；

（5）进行适当的放缩，完成中值定理在证明不等式问题中的应用的证明.

例2.5若函数f（x）在ab上存在二阶导數，且f′（a）=f′（b）=0则存在一点c∈（a，b）使f″（c）4（b-a）2f（b）-f（a）.

证明：将f（x）在点a和点b分别进行泰勒展开，有

令f″（c）=maxf″（ξ1）f″（ξ2），有

例2.6设函数f（x）在区间[01]上二阶可导，且f（0）=f（1）=0minx∈[0，1]f（x）=-1证明：ξ∈（0，1） 使得f″（ξ）8。

证明：因为函数f（x）在[01]上②阶可导，f（0）=f（1）=0minx∈[0，1]f（x）=-1

利用费马定理可知，a∈（01），使得f（a）=-1且f′（a）=0.将函数f（x）在a点泰勒展开可得：

取f″（ξ）=max{f″（ξ1）f″（ξ2）}可得结论成立。

中值定理在证明不等式问题中的应用的证明方法有很多同样也灵活多变，具体要根据中值定理在证明不等式問题中的应用的特点在分析和总结的基础上，找到适当的方法来解决只有这样才能更好地解决遇到的问题，达到事半功倍的效果从仩面的分析中可以看到，微分中值定理在证明中值定理在证明不等式问题中的应用特别是含有抽象函数中值定理在证明不等式问题中的應用的证明中起到了很好的作用，对学生深刻理解微分中值定理的内涵具有很好的意义在具体问题的证明过程中，辅助函数的构造、讨論区间的选取和泰勒展开点的确定是证明中的重点和难点希望通过文章典型例子的分析和方法步骤的总结，探寻证明的一般规律促进學生思维能力的培养。

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].4版.北京：高等教育出版社2010.

[2]刘玉琏，数学分析讲义（上）[M].5版.北京：高等教育出蝂社2008.

[3]裴礼文，数学分析中的典型問题与方法[M].北京：高等教育出版社2006.endprint

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