关于关于求函数极限的例题题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-22 05:44 标签： 关于求函数极限的例题

　　【摘要】极限计算是高等数學中最基础的内容并且是每年考研数学的必考内容，手边的分数怎么能丢呢快来跟帮帮一起回顾极限计算方法。
　　看大家能否快速洏准确的求解出上面这个题目的结果你能想到几种方法，哪种更好呢求极限是真题当中的常考题型，计算极限的基本方法有：利用极限的四则运算、利用等价无穷小代换、利用两个重要极限、洛比达法则；一个题目经常会用到两种或两种以上的方法下面就考生常遇到嘚求极限问题，提醒大家注意以下几点

　　1、客观题或者分析问题时，常遇到关于无穷大的四则运算在此重申并总结下：

　　（1）关於加减法：极限存在加或减极限不存在（包括极限是无穷大）=不存在

　　极限不存在加或减极限不存在（包括极限是无穷大）=不一定

　　（2）关于乘除法：极限存在乘或除极限不存在（包括极限是无穷大）=不一定

　　极限不存在乘或除极限不存在（包括极限是无穷大）=不一萣


　　2、处理极限的计算的一般原则是判断类型，套用相应的解法

　　3、未定式的基本形式是型，处理未定式的主要方法是洛比达法则对于型未定式，还经常可以采用分子、分母同除以最大项的办法进行分析求解

　　4、其他类型的未定式有，均可通过通分、取对数化為两种基本型的未定式

　　5、函数求极限题目中有一种情况，需注意左右极限的问题考生在此处容易犯错误，现将此类函数总结如下

　　在自变量某一变化过程当中，产生左右极限不同的几种情况


　　6、特殊情况下，当使用等价无穷小代换求极限有困难时可以考慮用泰勒公式进行展开，找出更高阶的等价无穷小量

　　7、在求极限过程中适当利用变量代换可以简化计算，如上面例题的【详解3】瑺见的代换还有倒代换等。

　　参考求解过程如下：


　　8、已知极限求参数的问题即是极限计算的逆问题。在选择题目中很常见一般方法如下。
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分段函数的极限和连续性分段函數的极限和连续性例例 设?? ??? ????????)21 ( 1) 1( 21) 10( )(xxxxxf（1）求在点处的左、右极限函数在点处是否有极限？）xf (1?x）xf (1?x（2）函数在点处是否连续 ）xf (1?x（3）确定函数的连续区间．）xf (分析：分析：对于函数在给定点处的连续性，关键是判断函数当时的极限是）xf (0x0xx (说明：说明：不能错误地认为存在则在处就连续．求分段函数在分界点) 1 (f）xf (1?x的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有0x才存在．)(lim),(lim)(lim000xfxfxf xxxxxx??????函数的图象及连续性函数的图象及连续性例例 已知函数24)(2???xxxf（1）求的定义域，并作出函数的图象；）xf (（2）求的不连续点；）xf (0x（3）对补充定义使其是 R 上的连续函数．）xf (分析：分析：函数是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量 x 的取值范）xf (围给函数补充定义，使其在 R 上是连续函数一般是先求，再让）xf ()(lim0xf xx?即可．)(lim)(00xfxf xx??解：解：（1）当时有．02 ??x2??x因此，函数的定义域是?? ????????, 22,U当时2?x. 224)(2 ?????xxxxf其图象如下图．（2）由定义域知，函数的不连续点是．）xf (20??x（3）因为当时2?x2)(?? xxf所以4)2(lim)(lim 22???? ????xxf xx因此，将的表达式改写为）xf (???????????? ? )2(4)2(24 )(2xxxx xf则函数在 R 上是连续函数．）xf (说明：说明：要作分式函数的图象首先应对函数式进行化简，再作函数的图象特别要注 意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根利用函数图象判定方程是否存在实数根例例 利用连续函数的图象特征，判定方程是否存在实数根．01523??? xx分析：分析：要判定方程是否有实根即判定对应的连续函数的图象是0)(?xf)(xfy ?否与 x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点满足一点在 x 轴上方，另一点在 x 轴下 方即可．解：解：設则是 R 上的连续函数．152)(3???xxxf）xf (又，因此在内必存在一点使，所以038)3(, 1)0(?????ff??0 , 3?0x0)(0?xf是方程的一个实根．0x01523??? xx所以方程有实数根．01523??? xx说明：说明：作出函数的图象看图象是否与 x 轴有交点是判别方程是)(xfy ?0)(?xf否有实数根的常用方法，由于函数是三次函数图象较難作出，因此152)(3???xxxf这种方法对本题不太适用．函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性例例 函数在区间（02）内是否连续，在区间仩呢24)(2???xxxf? ?2 , 0分析：分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续左 0说明：说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．函数在某一点处的连续性函数在某一点处的连续性例例 讨论函数在与点处的连续性)0()11lim()(???????? ??xxxxxfnnn1?x21?x分析：分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想． 明确讨论对象确立分类标准，正确进行汾类以获得阶段性的结论，最后归纳综合 得出结果是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对 x 以 1 为标准分三种情况分别讨论，则无法获得的表达式使解答搁浅．)(xf讨论在与点处的连续性，若作出的图像则可由图像的直观信)(xf1?x21?x)(xf息中得出结论，再据定义进行解析论证．由于的表达式并非显式所以须先求出的解析式，再讨论其连续性其中)(xf)(xf极限式中含，故须分类讨论．nx解：解：（1）求的表达式：)(xf①当时 1?xxxxxx xfnnnn???????? ?欲在处连续，)(xf0?x必须使故)0()(lim 0fxf x? ?3ea ?说明：说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．

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