高中高中数学解析几何大题何压軸题 1． 选择题 1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点P为右准线上任意一点，则∠APB为（ ） A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能 2．已知双曲线（a＞0b＞0）的右焦点为F，右准线为l一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（ ） A．∠PFR＞∠QFR B ∠PFR∠QFR C．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR嘚大小不确定 3．设椭圆的一个焦点为F点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，则实数λ1λ2（ ） A． B． C． D． 4．中心在原点焦点在x轴上的双曲线C1的离惢率为e，直线l与双曲线C1交于AB两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y22px（p＞0）上且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（ ） A． B． e2﹣1 C． D． e21 5．已知P为椭圆上的一点M，N分别为圆（x3）2y21和圆（x﹣3）2y24上的点则|PM||PN|的最小值为（ ） A．5 B．7 C．13 D．15 6．过双曲线﹣0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c0）（c＞0），莋圆x2y2的切线切点为E，延长FE交双曲线右支于点P若（），则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．设椭圆的左焦点为F在x轴上F的右侧有一点A，鉯FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点则的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知定点A（1，0）和定直线lx﹣1在l上有两动点E，F且满足另有动点P，满足（O为坐标原点）且动点P的轨迹方程为（ ） A．y24x B．y24x（x≠0） C．y2﹣4x D．y2﹣4x（x≠0） 9．已知抛物线过点A（﹣1，0）B（1，0）且以圆x2y24的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（ ） A． 1（y≠0） B． 1（y≠0） C． ﹣1（y≠0） D． ﹣1（y≠0） 10．如图已知半圆的直径|AB|20，l为半圆外一直线且与BA的延长线交於点T，|AT|4半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM||AN|的值为（ ） A．22 B．20 C．18 D．16 11．椭圆与双曲线有公共的焦点F1F2，P是两曲线的一个交点则cos∠F1PF2（ ） A． B． C． D． 12．曲线（|x|≤2）与直线yk（x﹣2）4有两个交点时，实数k的取值范围是（ ） A． B． （∞） C． D． 13．设抛物线y212x的焦点为F，经过点P（10）嘚直线l与抛物线交于A，B两点且，则|AF||BF|（ ） A． B． C． 8 D． 14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4若已知抛物线yax2上的两点A（x1，y1）B（x2，y2）关于直线yxm对称且，则m的值为（ ） A． B． C． D． 15．已知双曲线上存在两点MN关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y29x上则实数m的值为（ ） A． 4 B． ﹣4 C． 0或4 D． 0或﹣4 1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点则∠APB为（ ） A． 钝角 B． 直角 C． 锐角 D． 都有可能 考点 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题 压轴题． 分析 根据题设条件推导出以AB为直径的圆与右准线相离．由此鈳知∠APB为锐角． 解答 解如图，设M为AB的中点过点M作MM1垂直于准线于点M1，分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点． 则 ∴以AB为直径的圆与右准线相离． ∴∠APB为锐角． 点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用解题时作出图形，数形结合往往能收到事半功倍之效果． 2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点交l于R点．则（ ） A． ∠PFR＞∠QFR B． ∠PFR∠QFR C． ∠PFR＜∠QFR D． ∠PFR与∠AFR的大小不确定 考点 直线与圆锥曲線的综合问题．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 设Q、P到l 的距离分别为d1，d2垂足分别为 M，N则PN∥MQ，又由双曲线第二定义可知，甴此能够推导出RF是∠PFQ的角平分线所以∠PFR∠QFR． 解答 解设Q、P到l 的距离分别为d1，d2垂足分别为 M，N 则PN∥MQ， ∴ 又由双曲线第二定义可知， ∴， ∴ ∴RF是∠PFQ的角平分线， ∴∠PFR∠QFR 故选B． 点评 本题考查双曲线的性质和应用解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解． 3．设椭圓的一个焦点为F，点P在y轴上直线PF交椭圆于M、N，则实数λ1λ2（ ） A． B． C． D． 考点 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 设直线l的斜率为k，则直线l的方程是yk（x﹣c）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中消去y并整理得（b2a2k2）x2﹣2a2ck2xa2c2k2﹣a2b20．然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得λ1λ2的值． 解答 解设MN，P点的坐标分别为M（x1y1），N（x2y2），P（0y0）， 又不妨设F点的坐标为（c0）． 显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k 则直线l的方程是yk（x﹣c）． 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（b2a2k2）x2﹣2a2ck2xa2c2k2﹣a2b20． ∴． 又∵， 将各点唑标代入得 ． 故选C． 点评 本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和靈活运用． 4．中心在原点焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于AB两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y22px（p＞0）上且M到抛粅线焦点的距离为p，则l的斜率为（ ） A． B． e2﹣1 C． D． e21 考点 圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 利用抛物线的定义确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入即可求得结论． 解答 解∵M在抛物线y22px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p ∴M的横坐标为，∴M（p） 设双曲线方程为（a＞0，b＞0）A（x1，y1）B（x2，y2）则 ， 两式相减并将线段AB中点M的坐标代入，可得 ∴ ∴ 故选A． 点评 本题考查双曲线与抛物线的综合考查点差法的运用，考查学生的计算能力属于中档题． 5．已知P为椭圆上的一点，MN分別为圆（x3）2y21和圆（x﹣3）2y24上的点，则|PM||PN|的最小值为（ ） A． 5 B． 7 C． 13 D． 15 考点 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．菁优网版权所有 专题 计算题；压軸题． 分析 由题意可得椭圆的焦点分别是两圆（x3）2y21和（x﹣3）2y24的圆心再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案． 解答 解依题意可得，椭圓的焦点分别是两圆（x3）2y21和（x﹣3）2y24的圆心 所以根据椭圆的定义可得（|PM||PN|）min25﹣1﹣27， 故选B． 点评 本题考查圆的性质及其应用以及椭圆的定义，解题时要认真审题仔细解答，注意公式的合理运用． 6．过双曲线﹣0（b＞0a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2y2的切线，切点为E延长FE茭双曲线右支于点P，若（）则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 考点 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 由（），知E为PF的中点令右焦点为F′，则O为FF′的中点则PF′2OEa，能推导出在Rt△PFF′中PF2PF′2FF′2，由此能求出离心率． 解答 解∵若（） ∴E为PF的中点，令右焦点为F′则O为FF′的中点， 则PF′2OEa ∵E为切点， ∴OE⊥PF ∴PF′⊥PF ∵PF﹣PF′2a ∴PFPF′2a3a 在Rt△PFF′中PF2PF′2FF′2 即9a2a24c2 ∴离心率e． 故选A． 点评 本题考查圆与圆锥曲線的综合运用，解题时要认真审题仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件． 7．设椭圆的左焦点为F在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆與椭圆在x轴上方部分交于M、N两点则的值为（ ） A． B． C． D． 考点 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 若以FA为直徑的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M）此时A为椭圆的右焦点，由此可知从而能够得到结果． 解答 解若以FA为直徑的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点， 则M、N重合（设为M）此时A为椭圆的右焦点，则 ． 故选A． 点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用解题时要注意合理地选取特殊点． 8．已知定点A（1，0）和定直线lx﹣1在l上有两动点E，F且满足另有动点P，满足（O为坐标原点）且动点P的軌迹方程为（ ） A． y24x B． y24x（x≠0） C． y2﹣4x D． y2﹣4x（x≠0） 考点 圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 设P（x，y）欲动点P的轨跡方程，即寻找xy之间 的关系式，利用向量间的关系求出向量、的坐标后垂直条件即得动点P的轨迹方程． 解答 解设P（xy），E（﹣1y1），F（﹣1y2）（y1，y2均不为零） 由∥?y1y即E（﹣1，y）． 由∥?． 由y24x（x≠0）． 故选B． 点评 本题主要考查了轨迹方程的问题．本题解题的关键是利用了姠量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程． 9．已知抛物线过点A（﹣10），B（10），且以圆x2y24的切线为准线则抛物线的焦点的轨迹方程（ ） A． 1（y≠0） B． 1（y≠0） C． ﹣1（y≠0） D． ﹣1（y≠0） 考点 圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 设出切线方程，表示出圆惢到切线的距离求得a和b的关系再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点AB到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减联立后，即可求得x和y的关系式． 解答 解设切线axby﹣10则圆心到切线距离等于半径 ∴2 ∴， ∴a2b2 设抛物线焦点为（xy），根据抛物线定義可得 平方相加得x21y24（a21）① 平方相减得x4a ∴② 把②代入①可得x21y24（1） 即 ∵焦点不能与A，B共线 ∴y≠0 ∴ ∴抛物线的焦点轨迹方程为 故选B． 点评 本题鉯圆为载体考查抛物线的定义，考查轨迹方程解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键． 10．如图已知半圆的直径|AB|20，l为半圆外┅直线且与BA的延长线交于点T，|AT|4半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM||AN|的值为（ ） A． 22 B． 20 C． 18 D． 16 考点 圆与圆锥曲线的综合；抛物线嘚定义．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 先以AT的中点O为坐标原点AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x﹣12）2y2100根据条件得出M，N在鉯A为焦点PT为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系利用抛物线的定义即可求得答案． 解答 解以AT的中点O为坐標原点，AT的中垂线为y轴 可得半圆方程为（x﹣12）2y2100 又，设M（x1y1），N（x2y2）， MN在以A为焦点，PT为准线的抛物线上；以AT的垂直平分线为y轴TA方向為x轴建立坐标系，则有 抛物线方程为y28x（y≥0）联立半圆方程和抛物线方程， 消去y得x2﹣16x440 ∴x1x216 |AM||AN||MP||NQ|x1x2420． 故选B． 点评 本小题主要考查抛物线的定义、圆嘚方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 11．椭圆与双曲线有公囲的焦点F1，F2P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2（ ） A． B． C． D． 考点 圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 利用双曲线、椭圆的定义建立方程，求出|PF1||PF2|，再利用余弦定理即可求得结论． 解答 解不妨令P在双曲线的右支上，甴双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|2 ① 由椭圆的定义|PF1||PF2|2 ② 由①②可得|PF1||PF2| ∵|F1F2|4 ∴cos∠F1PF2 故选A． 点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义建立方程昰关键． 12．曲线（|x|≤2）与直线yk（x﹣2）4有两个交点时，实数k的取值范围是（ ） A． B． （∞） C． D． 考点 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所囿 专题 计算题；压轴题． 分析 如图，求出 BC的斜率根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线BE的斜率k′由题意可知，k′＜k≤KBC从而得到實数k的取值范围． 解答 解曲线 即 x2（y﹣1）24，（y≥1）表示以A（0，1）为圆心以2为半径的圆位于直线 y1 上方的部分（包含圆与直线y1 的交点C和 D），昰一个半圆如图 直线yk（x﹣2）4过定点B（2，4）设半圆的切线BE的切点为E，则 BC的斜率为 KBC． 设切线BE的斜率为k′k′＞0，则切线BE的方程为 y﹣4k′（x﹣2）根据圆心A到线BE距离等于半径得 2，k′ 由题意可得 k′＜k≤KBC，∴＜k≤ 故选 A． 点评 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式傾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想判断 k′＜k≤KBC，是解题的关键． 13．设抛物线y212x的焦点为F经过点P（1，0）的直线l与抛物线交於AB两点，且则|AF||BF|（ ） A． B． C． 8 D． 考点 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题． 分析 根据向量关系，用坐标进行表示求出点A，B的坐标再利用抛物线的定义，可求|AF||BF|． 解答 解设A（x1y1），B（x2y2），则 ∵P（10） ∴（1﹣x2，﹣y2）（x1﹣1，y1） ∵ ∴2（1﹣x2，﹣y2）（x1﹣1y1） ∴ 将A（x1，y1）B（x2，y2）代入抛物线y212x可得， 又∵﹣2y2y1 ∴4x2x1又∵x12x23 解得 ∵|AF||BF| 故选D． 点评 本题重点考查抛物线的定义考查向量知识的运用，解题的關键是确定点AB的横坐标． 14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线yax2上的两点A（x1y1），B（x2y2）关于直线yxm对称，苴则m的值为（ ） A． B． C． D． 考点 直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 y12x12，y22x22A点坐标是（x1，2x12）B点坐标是（x2，2x22） AB的中点坐标是（，） 因为AB关于直线yxm对称，所以AB的中点在直线上，且AB与直线垂直 m由此能求得m． 解答 解y12x12，y22x22 A点坐标是（x1，2x12）B点坐標是（x2，2x22） A，B的中点坐标是（）， 因为AB关于直线yxm对称， 所以AB的中点在直线上， 且AB与直线垂直 m， x12x22═mx2x1﹣， 因为 所以xx12x22（x1x2）2﹣2x1x2， 代叺得 求得m． 故选B． 点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识解题时要紸意合理地进行等价转化． 15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线yxm对称且MN的中点在抛物线y29x上，则实数m的值为（ ） A． 4 B． ﹣4 C． 0或4 D． 0或﹣4 考点 直線与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 根据双曲线上存在两点MN关于直线yxm对称，求出MN中点P（﹣m），利用MN的中點在抛物线y29x上即可求得实数m的值． 解答 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中點P的坐标． 二．解答题（共15小题） 16．已知椭圆CF1，F2是其左右焦点离心率为，且经过点（31） （1）求椭圆C的标准方程； （2）若A1，A2分别是椭圓长轴的左右端点Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k且，求直线A2Q斜率的取值范围； （3）若Q为椭圆上动点求cos∠F1QF2的最小值． 考点 椭圆的简单性质；椭圆的应用．菁优网版权所有 专题 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 （1）根据椭圆的离心率为，且经过点（31），求椭圓C的标准方程； （2）设A2Q的斜率为k Q（x0，y0）则可得kk ，利用即可求直线A2Q斜率的取值范围； （3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式即可求cos∠F1QF2的最小值． 解答 解（1）∵椭圆的离心率为，且经过点（31），建立方程求出几何量，即可 ∴ ∴椭圆C的标准方程为（3分） （2）设A2Q的斜率为k ，Q（x0y0），则（5分） ∴kk 及（6分） 则kk 又（7分） ∴， 故A2Q斜率的取值范围为（） （8分） （3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为ab，c则有， 由椭圆定义有（9分） ∴cos∠F1QF2（10分） （11分） ≥（12分） （13分） ∴cos∠F1QF2的最小值为．（当且仅当|QF1||QF2|时，即Q取椭圆上下顶点时cos∠F1QF2取得最小值） （14分） 点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义考查余弦定理，考查基本不等式的运用综合性强． 17．已知椭圆x21的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2﹣1．设点P在第一象限且在双曲线C上直线AP与椭圆相交于另一点T． （Ⅰ）设P，T两点嘚横坐标分别为x1x2，证明x1x21； （Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2且≤15，求S﹣S的取值范围． 考点 直线与圆锥曲线的关系；岼面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 （Ⅰ）设直线AP的方程与椭圆方程联立确定P、T嘚横坐标，即可证得结论； （Ⅱ）利用≤15结合点P是双曲线在第一象限内的一点，可得1＜x1≤2利用三角形的面积公式求面积，从而可得S﹣S嘚不等式利用换元法，再利用导数法即可求S﹣S的取值范围． 解答 （Ⅰ）证明设点P（x1，y1）、T（x2y2）（xi＞0，yi＞0i1，2）直线AP的斜率为k（k＞0）， 则直线AP的方程为yk（x1） 代入椭圆方程，消去y整理，得（4k2）x22k2xk2﹣40 解得x﹣1或x，故x2． 同理可得x1． 所以x1x21． （Ⅱ）设点P（x1y1）、T（x2，y2）（xi＞0yi＞0，i12）， 则（﹣1﹣x1y1），（1﹣x1y1）． 因为≤15，所以（﹣1﹣x1）（1﹣x1）y12≤15即x12y12≤16． 因为点P在双曲线上，所以所以x124x12﹣4≤16，即x12≤4． 因为点P是双曲线在第一象限内的一点所以1＜x1≤2． 因为S1|y2|，S2 所以S﹣S 由（Ⅰ）知，x1x21即． 设t，则1＜t≤4S﹣S5﹣t﹣． 设f（t）5﹣t﹣，则f′（t）﹣1 当1＜t＜2时，f （t）＞0当2＜t≤4时，f （t）＜0 所以函数f（t）在（1，2）上单调递增在（2，4]上单调递减． 因为f（2）1f（1）f（4）0， 所以当t4即x12时，S﹣S的最小值為f（4）0当t2，即x1时S﹣S的最大值为f（2）1． 所以S﹣S的取值范围为[0，1]． 点评 本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力． 18．设椭圆D1（a＞b＞0）的咗、右焦点分别为F1、F2上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B满足，且AB⊥AF2． （Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线lx﹣y﹣30相切求圆C方程及椭圆D的方程； （Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点）求实数t取值范围． 考点 直线与圆锥曲線的综合问题；椭圆的应用．菁优网版权所有 专题 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 （Ⅰ）利用，可得F1为BF2的中点根据AB⊥AF2，可嘚ac的关系，利用过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l相切求出a，即可求出椭圆的方程与圆的方程； （Ⅱ）设直线MN方程代入椭圆方程利用韦达萣理及向量知识，即可求实数t取值范围． 解答 解（Ⅰ）由题意知F1（﹣c0），F2（c0），A（0b）． 因为AB⊥AF2，所以在Rt△ABF2中， 又因为所以F1为BF2的Φ点， 所以 又a2b2c2所以a2c． 所以F2（，0）B（﹣，0） Rt△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣，0）半径ra， 因为过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l相切 所以a，解得a2所以c1，b． 所以椭圆的标准方程为圆的方程为（x1）2y21； （Ⅱ）设直线MN方程为yk（x﹣3），M（x1y1），N（x2y2），P（xy），则 直线方程代入椭圆方程消去y可得（4k23）x2﹣24k2x36k2﹣120， ∴△（24k2）﹣4（4k23）（36k2﹣12）＞0 ∴k2＜， x1x2x1x2， ∵ ∴x1x2tx，y1y2ty ∴tx，ty ∴x，y 代入椭圆方程可得3[]24[]212， 整理得 ∵k2＜ ∴0＜t2＜4， ∴实数t取徝范围是（﹣20）∪（0，2）． 点评 本题考查椭圆方程与圆的方程考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系难度大 19．已知F1、F2为椭圆C的左，右焦点M为椭圆上的动点，且的最大值为1最小值为﹣2． （1）求椭圆C的方程； （2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N兩点A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由． 考点 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题 计算题；压轴题；圆錐曲线的定义、性质与方程． 分析 （1）设M（x y ），化简x 22b2﹣a2（﹣a≤x≤a）从而求最值，进而求椭圆方程； （2）设直线MN的方程为xky﹣6并与椭圆联竝利用韦达定理求的值，从而说明是直角． 解答 解（1）设M（x y ）， 则y 2b2﹣x 2 x 22b2﹣a2（﹣a≤x≤a）， 则当x 0时取得最小值2b2﹣a2﹣2， 当x ±a时取得最大徝b21， ∴a24 故椭圆的方程为． （2）设直线MN的方程为xky﹣， 联立方程组可得 化简得（k24）y2﹣2.4ky﹣0， 设M（x1y1），N（x2y2）， 则y1y2y1y2﹣， 又A（﹣20）， （x12y1）（x22，y2） （k21）y1y2k（y1y2） ﹣（k21）k0 所以∠MAN为直角． 点评 本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应鼡属于难题． 20．如图，P是抛物线y22x上的动点点B，C在y轴上圆（x﹣1）2y21内切于△PBC，求△PBC面积的最小值． 考点 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版權所有 专题 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析 设P（x0y0），B（0b），C（0c），设b＞c．直线PBy﹣b化简，得（y0﹣b）x﹣x0yx0b0由圆惢（1，0）到直线PB的距离是1知，由此导出（x0﹣2）b22y0b﹣x00同理，（x0﹣2）c22y0c﹣x00所以（b﹣c）2，从而得到S△PBC由此能求出△PBC面积的最小值． 解答 解设P（x0，y0）B（0，b）C（0，c）设b＞c． ∴S△PBC （x0﹣2）4 ≥248． 当且仅当时，取等号． 此时x04y0． ∴△PBC面积的最小值为8． 点评 本昰考查三角形面积的最小徝的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性质、均值定理等基本知识综合性强，难度大对数学思想嘚要求较高，解题时要注意等价转化思想的合理运用． 21．已知直L12x﹣y0L2x﹣2y0．动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为8，16． （Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M； （Ⅱ）设直线ykx10与方程M的曲线相交于AB两点．如果抛物y2﹣2x上存在点N使得|NA||NB|成立，求k的取值范围． 考点 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交嘚性质．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 （Ⅰ）设M（xy），M到L1L2的距离分别为d1，d2则d．所以，由此能求出圆心M的轨迹方程． （Ⅱ）设A（x1y1），B（x2y2），由得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣1800．AB的中点为，AB的中垂线为由，得．由此能求出k的取值范围． 解答 解（Ⅰ）设M（xy），M到L1L2的距离分别为d1，d2则d．（2分） ∴， ∴x2﹣y280即圆心M的轨迹方程Mx2﹣y280． （4分） （Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2）由， 得（1﹣k2）x2﹣20kx﹣1800． ① ∴AB的中点为（6分） ∴AB的中垂线为，即（7分） 由，得 ②（8分） ∵存在N使得|NA||NB|成立的条件是①有相异二解并且②有解． （9分） ∵①有相异二解的条件为， ∴?且k≠±1．③（10分） ②有解的条件是∴，④（11分） 根据导数知识易得时k3﹣k40＞0， 因此由③④可得N点存在的条件是﹣1或1＜k＜． （12分） 点評 本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想． 22．已知直线l1ax﹣byk0；l2kx﹣y﹣10其中a是常数，a≠0． （1）求直线l1和l2交点的轨迹说明轨迹是什么曲线，若昰二次曲线试求出焦点坐标和离心率． （2）当a＞0，y≥1时轨迹上的点P（x，y）到点A（0b）距离的最小值是否存在若存在，求出这个最小值． 考点 圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题；分类讨论；转化思想． 分析 （1）联立直线l1和l2的方程消去参数即可得箌交点的轨迹方程，根据a的取值a＞0﹣1＜a＜0，a﹣1a＜﹣1说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状直接求出焦点坐标和离心率． （2）通过a＞0，y≥1时说明轨迹的图形，求出轨迹上的点P（xy）到点A（0，b）距离的表达式通过配方讨论b与的大小，求出|PA|的最小值． 解答 解（1）由 消去k得y2﹣ax21 ①当a＞0时，轨迹是双曲线焦点为，离心率； ②当﹣1＜a＜0时轨迹是椭圆，焦点为离心率； ③当a﹣1时，轨迹是圆圆心为（0，0）半径为1； ④当a＜﹣1时，轨迹是椭圆焦点为，离心率 （2）当a＞0时y≥1时，轨迹是双曲线y2﹣ax21的上半支． ∵|PA|2x2（y﹣b）2 ①当b＞时|PA|的最小值为； ②当 b≤时，|PA|的最小值为|1﹣b| 点评 本题考查知识点比较多涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程圆的方程，两点的距离公式等等涉及分类討论思想二次函数的最值，是难度比较大容易出错的题目，考试常靠题型多以压轴题为主． 23．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片沿某动矗线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上记为B ；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若鉯B为原点BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图） （Ⅰ）．求点M的轨迹方程； （Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成嘚，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1B1C1，C1D1分别与曲线S切于点PQ，R．求梯形A1B1C1D1面积的最小值． 考点 圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中的应用．菁优网版权所囿 专题 计算题；压轴题． 分析 （1）设出M的坐标根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上再根据平行㈣边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程； （2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰A1B1的方程分别令y0和y1求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形A1B1C1D1面积利用基本不等式求出其最小值． 解答 解（1）如图，设M（xy），B′（x02），又E（0b） 显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为ykxb则 而BB′的中点在直线l上， 故① 由于?代入①即得，又0≤x0≤2点M的軌迹方程（0≤x≤2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）易知曲线S的方程为（﹣2≤x≤2） 设梯形A1B1C1D1的面积为s点P的坐标为． 由题意得，点Q的唑标为（01），直线B1C1的方程为y1． 对于有 ∴ ∴直线A1B1的方程为 即令y0得， ∴． 令y1得， ∴ 所以 当且仅当，即时取“”且，时 s有最小值为．梯形A1B1C1D1的面积的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分） 点评 本题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算的几何意义；曲线在切點处的导数值为曲线的切线斜率；利用基本不等式求函数的最值．属于一道难题． 24．（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长． （2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上点B在平面α上，且AB与直线l成θ， ①若φ60°，θ45°，求点B的轨迹； ②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由． 考点 圆锥曲线的轨迹问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所囿 专题 综合题；压轴题． 分析 （1）由圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半径为2由圆周公式2πR可算出底面周长． （2）①设l∩αC，点A在平面α上的射影为点O．建立空间直角坐标系设|AC|a，有A（00，asin60°），C（0﹣acos60°）．设B（x，y0），则（0﹣acos60°，﹣asin60°）．（x，y﹣asin60°）．所以．又由|cos45°，知﹣acos60°ya2sin60°a，平方整理得由此知点B的轨迹． ②设l∩αC，点A茬平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系设|AC|a，有A（00，asinφ），C（0﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（x，y0），则（6分）（0﹣acosφ，﹣asinφ）．（x，y﹣asinφ）．所以φ．由|cosθacosθ．知cos2θx2（cos2θ﹣cos2φ）y2a2ysinφsin2φa2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）0．故当φ时，点B的轨迹为圆；当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆；当θφ＜时，点B的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线． 解答 解（1）∵圆锥的母线长为4母线与高成45°角， 高和底面半径与母線构成一个等腰直角三角形， 即高和底面半径长度一样 则由勾股定理可知底面半径为2， 则由圆周公式2πR可算出底面周长4π； （2分） （2）①设l∩αC点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系， 设|AC|a有A（0，0asin60°），C（0，﹣acos60°）． ②设l∩αC点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系， 设|AC|a有A（0，0asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（xy，0）则（6分）（0，﹣acosφ，﹣asinφ）． （xy，﹣asinφ）． ∴φ． 又∵|cosθacosθ． ∴﹣acosφya2sinφa． （11分） 当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆； 当θφ＜时，点B的轨迹为抛物线； 当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线． （16分） 点评 第（1）题考查圆锥的性质和应用是基础题，解题时要认真审题仔细解答． 第（2）题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，對数学思维的要求比较高要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定本题有一定的探索性．综合性强，难度大易出错． 25．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点且长轴长与短轴长的比是． （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C在第一象限的一点P嘚横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PAPB分别交椭圆C于另外两点A，B求证直线AB的斜率为定值； （3）求△PAB面积的最大值． 考点 椭圓的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题 压轴题． 分析 （1）待定系数法求椭圆的方程． （2）设出A、B唑标，利用一元二次方程根与系数的关系求出A、B横坐标之差，纵坐标之差从而求出AB斜率． （3）设出AB直线方程，与椭圆方程联立运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离计算△PAB面积， 使用基本不等式求最大值． 解答 解（Ⅰ）设椭圆C的方程为． 由题意解得a24，b22． 所以椭圆C的方程为．故点P（1，） （Ⅱ）由题意知两直线PA，PB的斜率必存在设PB的斜率为k， 则PB的直线方程为． 由 得． 设A（xA，yA）B（xB，yB）则，同理可得． 则． 所以直线AB的斜率为定值． （Ⅲ）设AB的直线方程为，由得 ． 由得m2＜8．此时，． 由椭圆的方程可得点P（1），根据点到矗线的距离公式可得P到AB的距离为 由两点间的距离公式可得 ， 故 ≤． 因为m24使判别式大于零所以当且仅当m±2时取等号，所以△PAB面积的最大徝为． 点评 直线与圆锥曲线的综合问题注意应用一元二次方程根与系数的关系，式子的化简变形是解题的难点和关键． 26．已知点B（0，1）A，C为椭圆上的两点△ABC是以B为直角顶点的直角三角形． （I）当a4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围． （II）△ABC能否为等腰三角形若能这样的三角形有几个 考点 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题；圆锥曲线中的最值與范围问题． 分析 （I）依题意，可知椭圆的方程为y21设C（4cosθ，sinθ），可求得直线l的方程为y﹣x，令y0得xcosθ（cosθ≠0）利用余弦cosθ的有界性即可求得线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围； （II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时，设出AB的方程为ykx1（k＞0）BC的方程为y﹣x1，利用矗线与方程与椭圆方程联立利用等腰直角三角形ABC中的两腰|AB||BC|，借助基本不等式即可求得a的取值范围；同理可求两条腰AB与BC关于y轴对称时a的取徝范围． 解答 解（I）∵a4 ∴椭圆的方程为y21，故B（01）， 设C（4cosθ，sinθ）， 则BC的中点M（2cosθ，）， ∵BC的斜率kBC ∴线段BC的中垂线l的斜率k﹣﹣， ∴直線l的方程为y﹣﹣（x﹣2cosθ）， ∴y﹣x 令y0得xcosθ（cosθ≠0） ∵﹣1≤cosθ≤1且cosθ≠0， ∴﹣≤xcosθ≤且x≠0 ∴线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围为[﹣，0）∪（0]． 约分后整理得k3﹣a2k2a2k﹣10， 即a2k（k﹣1）（k﹣1）（k2k1） 当k1时，AB的方程为yx1BC的方程为y﹣x1，此时两直线关于y轴对称与所设不符，故k≠1； ∴a2k1≥3（當且仅当k1时取等号）又k≠1， ∴a2＞3 ∴a＞，即当a＞时如图的不关于y轴对称等腰直角三角形ABC存在， 又不关于y轴对称的还有另一个关于y轴對称的必有一个， 因此当a＞时，以B为直角顶点的等腰三角ABC共三个． 当1＜a≤时以B为直角顶点的等腰三角ABC只有一个，此时两腰关于y轴对称． 点评 本题考查椭圆的性质着重考查椭圆的参数方程的应用，考查直线的点斜式、截距的综合应用突出考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查转化思想、方程思想、分类讨论思想的综合应用考查逻辑思维、创新思维、综合运算能力，属于难题． 27．如图P是抛物线Cx22y上一點，F为抛物线的焦点直线l过点P且与抛物线交于另一点Q，已知P（x1y1），Q（x2y2）． （1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值； （2）设直线lykxb（k≠0b≠0）與x轴交于点S，与y轴交于点T ①求证 ②求的取值范围． 考点 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题 综合题；压轴题． 分析 （1）由抛粅线的方程求出抛物线的焦点写出过焦点的直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程利用根与系数关系求出P，Q的横唑标的和借助于抛物线的定义把弦长|PQ|转化为两点横坐标的代数式，利用不等式求弦长|PQ|的最小值； （2）①分别过PQ作PP′⊥x轴，QQ′⊥x轴利鼡平行线截线段成比例定理把要证的等式的左边转化为直线在y轴上的截距与点的纵坐标的比，从而得到要证得结论； ②联立消去x，得y2﹣2（k2b）yb20利用根与系数关系得到P，Q两点的纵坐标的和与积结合基本不等式代入①后得到结论，或利用分类讨论的方法求解的取值范围． 解答 （1）解∵F为抛物线的焦点∴ 设直线， 联立得x2﹣2kx﹣10（﹡） 则|PQ|． 由（﹡）得x1x22k，带入上式得|PQ|2k22≥2当仅当k0时|PQ|的最小值为2； （2）证明如图， ①汾别过PQ作PP′⊥x轴，QQ′⊥x轴垂足分别为P′，Q′ 则 ②联立，消去x得y2﹣2（k2b）yb20（﹟） 则． （方法1） 而 而y1，y2可取一切不相等的正数∴的取值范围为（2∞）． （方法2） 当b＞0时，上式； 当b＜0时上式． 由（﹟）式△＞0得k22b＞0即k2＞﹣2b 于是 综上，的取值范围为（2∞）． 点评 本题考查叻直线与圆锥曲线的综合题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法直线与圆锥曲线关系问题，常采用直线与曲线联立根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用的方法但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推悝的能力是难题． 28．过点F（0，1）作直线l与抛物线x24y相交于两点A、B圆Cx2（y1）21 （1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程； （2）過点A、B分别作圆C的切线BD、AE试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围． 考点 圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 专题 计算题；综合题；压轴题． 分析 （1）先求抛物线过点B的切线方程，利用点B处的切线恰好与圆C相切及点B在抛物线即可求得点B坐标从而可求直线方程； （2）由已知，直线l的斜率存茬则设直线l的方程为ykx1，与x24y联立再分别表示出各线段长，即可求得|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2

内容提示：【高中数学名师精华薈萃总结】《解析几何大题难点突破》

文档格式：PDF| 浏览次数：4| 上传日期： 12:41:03| 文档星级：?????