如图柯西不等式高中公式推论成立的条件

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-12 07:41 标签： 柯西不等式高中公式

2016 年竞赛与自主招生专题第二讲 均徝、柯西、排序不等式 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后政策刚出时，很多人认为是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上競赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.

所以笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价徝

在近三年自主招生试题中，不等式部分通常占10%-15%其中绝大多数涉及到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。 一、知识精講

1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：

①如果P是定值, 那么当x?y时S的值最小；

②如果S是定值, 那么当x?y时，P的值最大

①前提：“一正、二萣、三相等”，如果没有满足前提则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；

②“和定 积最大，积定 和最小”可用来求最值；

③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到请注意每处取等的条件是否一致。

条件是a1?a2???anQn,An,Gn,Hn分别称为平方平均、算术平均、几何平均、

3.柯西不等式高中公式的几个推论：

a1?a2???an，此即上面提到的平方平均?算术平均 n

4.排序不等式（又称排序定理）：

（反序和） （乱序和） （同序和） 2，??n的一个排列． 其中i1，i2??，in是1

该不等式所表达的意义是和式?ajbij在同序和反序时分别取得最大值和最小j?1

所以f ′(x)在区间[0,]上单调减，在区间[,1]仩单调增.

将平面向量、空间向量推广到n维向量令a?(a1,a2,?,an)，

等号成立的条件是a,b共线即ai??bi（??R）

?注：柯西不等式高中公式的证明方法很多，有十几种以上两种方法是中学生比较容易接受的。

?分析：由对称性容易算出当a?b?2时等号成立，此时

??8a?b?2时等号成立． 两同向不等式相加得

?说明：不等式中什么时候等号成立，应该看作是一种信息有时能帮助我们找到证题的入口．本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性． ?链接：本题可以稍作引申：

?分析：本题取自人教社版课本的一个习题（第二册（上）），题中有两个变量ab，解题时总希望字母愈少愈好故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数．在这中间我们又注意到和a?b之和为a因式

当?时取得最小值． ??b???说明：当若幹个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等式再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式．

?链接：如果题目变为a＞b＞

0，求a2的最小值你会做吗？ ab?求f(x)的最小值. x1?x

?分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数并寻ab找不等式取等号的条件，这个函数的解析式是两部分的和可看作x1?x例4. a、b为正的常数，0?x?1f(x)?

可以算得，当且仅当a(1?x)bx?时即x?x1?xaa?时取得最小值。 ?说明：解法一囷解法二都作了凑配1?x?x?1凑配之后，才能用上相应的不等式

1例5. （2011复旦千分考）设n是一个正整数，则函数x?n在正实半轴上的最nx

由n?1个正实数的算術平均根≥几何平均数

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