已知三角边长求角度角度，及高度。求三条边长度。求大神弄的通俗易懂的

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-23 00:42 标签： 已知三角边长求角度

～～～～以下转自百度百科～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

　　海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式傳说是古代的

,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是

所发現以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家

也提出了“三斜求积术”它与海伦公式基本一样。

　　假设有一个三角形邊长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 

　　而公式里的p为半周长： 

　　——————————————————————————————————————————————

　　注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长所以

　　——————————————————————————————————————————————

　　由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案 

　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则餘弦定理为 

　　我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”它与海伦公式基本一样，其实在《

》中已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事所以他们想到了三角形的三条边。如果这樣做求三角形的面积也就方便多了但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 

　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方送到斜平方，取相减后余数的一半自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”开平方后即得面积。 

　　所谓“实”、“隅”指的是在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 


　　由此可得： 

　　这与海伦公式完全一致所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

　　根据海伦公式我们可以将其继續推广至四边形的面积运算。如下题：

　　这里用海伦公式的推广

　　代入解得s=8√ 3

　　海伦公式的几种另证及其推广 

　　关于三角形的面積计算公式在解题中主要应用的有： 

　　设△ABC中a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则 

　　其ΦS△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载 

　　海伦公式在解题中有十分重要的应用。 

　　一、 海伦公式的变形 

　　二、 海伦公式的证明 

　　证一 勾股定理 

　　分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手运用勾股定理推导出海伦公式。 

　　证明：如图ha⊥BC根据勾股定理，得: 

　　此时S△ABC为变形④故得证。 

　　证二：斯氏定理 

　　分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求絀ha 

　　斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 

　　此时为S△ABC的变形⑤故得证。 

　　证三：余弦定理 

　　此时S = ab×sinC为三角形计算公式故得证。 

　　證四：恒等式 

　　分析：考虑运用S△ABC =r p因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式 

　　根据恒等式，得： 

　　①②③玳入得： 

　　两边同乘以 ，得： 

　　证五：半角定理 

　　三、 海伦公式的推广 

　　由于在实际应用中往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中设p= ,则S四边形= 

　　现根据猜想進行证明。 

　　证明：如图延长DA，CB交于点E 

　　将①，②跟b = 代入公式变形④得： 

　　所以，海伦公式的推广得证 

　　四、 海伦公式嘚推广的应用 

　　海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 

　　求：四边形可能为等腰梯形 

　　由海伦公式的推广，得： 

　　∴ 四边形可能为等腰梯形

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　　海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式傳说是古代的

,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是

所发現以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家

也提出了“三斜求积术”它与海伦公式基本一样。

　　假设有一个三角形邊长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 

　　而公式里的p为半周长： 

　　——————————————————————————————————————————————

　　注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长所以

　　——————————————————————————————————————————————

　　由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案 

　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则餘弦定理为 

　　我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”它与海伦公式基本一样，其实在《

》中已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事所以他们想到了三角形的三条边。如果这樣做求三角形的面积也就方便多了但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 

　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方送到斜平方，取相减后余数的一半自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”开平方后即得面积。 

　　所谓“实”、“隅”指的是在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 


　　由此可得： 

　　这与海伦公式完全一致所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

　　根据海伦公式我们可以将其继續推广至四边形的面积运算。如下题：

　　这里用海伦公式的推广

　　代入解得s=8√ 3

　　海伦公式的几种另证及其推广 

　　关于三角形的面積计算公式在解题中主要应用的有： 

　　设△ABC中a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则 

　　其ΦS△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载 

　　海伦公式在解题中有十分重要的应用。 

　　一、 海伦公式的变形 

　　二、 海伦公式的证明 

　　证一 勾股定理 

　　分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手运用勾股定理推导出海伦公式。 

　　证明：如图ha⊥BC根据勾股定理，得: 

　　此时S△ABC为变形④故得证。 

　　证二：斯氏定理 

　　分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求絀ha 

　　斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 

　　此时为S△ABC的变形⑤故得证。 

　　证三：余弦定理 

　　此时S = ab×sinC为三角形计算公式故得证。 

　　證四：恒等式 

　　分析：考虑运用S△ABC =r p因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式 

　　根据恒等式，得： 

　　①②③玳入得： 

　　两边同乘以 ，得： 

　　证五：半角定理 

　　三、 海伦公式的推广 

　　由于在实际应用中往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中设p= ,则S四边形= 

　　现根据猜想進行证明。 

　　证明：如图延长DA，CB交于点E 

　　将①，②跟b = 代入公式变形④得： 

　　所以，海伦公式的推广得证 

　　四、 海伦公式嘚推广的应用 

　　海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 

　　求：四边形可能为等腰梯形 

　　由海伦公式的推广，得： 

　　∴ 四边形可能为等腰梯形

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