线性代数一个3×3的设n阶矩阵a的各行元素之和均为零，其元素均为零，该设n阶矩阵a的各行元素之和均为零是阶梯型设n阶矩阵a的各行元素之和均为零吗？如何判断？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-18 04:11 标签： 设n阶矩阵a的各行元素之和均为零

第十讲 设n阶矩阵a的各行元素之和均为零的三角分解

一、 Gauss消元法的设n阶矩阵a的各行元素之和均为零形式

设,设A的k阶顺序主子式为若，可以令

该初等变换不改变行列式故，若则，又可定义

依此类推进行到第(r-1)步，则可得到

则A的r阶顺序主子式若，则可定义并构造Frobenius设n阶矩阵a的各行元素之和均为零

直到第（n－1）步，得到

而消元法能进行下去的条件是（r＝1,2,,n-1）

二、 LU分解与LDU分解

以上将A分解成一个单位下三角设n阶矩阵a的各行元素之和均为零与上三角設n阶矩阵a的各行元素之和均为零的乘积就称为LU分解或LR分解。

LU分解不唯一显然，令D为对角元素不为零的n阶对角阵则

可以采用如下的方法将分解完全确定，即要求

  1. 将A分解为LDU其中L、U分别为单位下三角、单位上三角矩

n阶非奇异设n阶矩阵a的各行元素之和均为零A有三角分解LU或LDU的沖要条件是A的顺序主子式（r=1,2，,n）

n个顺序主子式全不为零的条件实际上是比较严格的特别是在数值计算中，很小时可能会带来大的计算误差因此，有必要采取选主元的消元方法这可以是列主元（在，…中选取模最大者作为新的）、行主元（在，…中选取模最大者作為新的）全主元（在所有（）中选模最大者作为新的）。之所以这样做其理论基础在于对于任何可逆设n阶矩阵a的各行元素之和均为零A，存在置换设n阶矩阵a的各行元素之和均为零P使得PA的所有顺序主子式全不为零

列主元素法：在设n阶矩阵a的各行元素之和均为零的某列中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以下的各元素比如第一步：找第一个未知数前的系数最大的一个，将其所在的方程作为第一个方程即交换设n阶矩阵a的各行元素之和均为零的两行，自由项也相应变换；第二步变换时找中最大的一个，然后按照第一步的方法继续

行主元素法：在设n阶矩阵a的各行元素之和均为零的某行中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以后嘚各元素需要记住未知数变换的顺序，最后再还原回去因此需要更多的存储空间，不如列主元素法方便

全主元素法：若某列元素均較小或某行元素均较小时，可在各行各列中选取模值最大者最为对角元素与以上两种方法相比，其计算稳定性更好精度更高，计算量增大

1. 定义 设A具有唯一的LDU分解

⑤ 一般地，对A,的第k列运算有

⑥ 对A，U的第k行运算有

直至最后，得到的恰可排成

理论上Cholesky具有中间量可以控淛（）的好处，应较稳健但实际计算中发现，对希尔伯特设n阶矩阵a的各行元素之和均为零问题不如全主元方法。

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