复变函数公式总结题目，求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-21 09:04 标签： 复变函数公式总结

复变函数公式总结与积分变换公式汇总

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复变函数公式总结复习重点(一)复数的概念复数的概念：是实数, 注：一般两个复数不比较大小但其模（为实数）有大小复数的表示  ）模：）幅角：在时矢量与轴正向的夹角记为（多值函数）主值是位于中的幅角。）与之间的关系如下： 当 当）三角表示：其中注：中间一定是“”号）指數表示：其中。(二)复数的运算加减法：若则乘除法：）若则 ）若,则 乘幂与方根若则。若则（有个相异的值）（三）复变函数公式总结．複变函数公式总结：在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射．复初等函数）指数函数：在平面处处可导处处解析且注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）对数函数：（多值函数）主值：（单值函数）的每一个主值分支在除去原點及负实轴的平面内处处解析且注：负复数也有对数存在。（与实函数不同））乘幂与幂函数：注：在除去原点及负实轴的平面内处处解析且）三角函数：在平面内解析且注：有界性不再成立（与实函数不同）双曲函数 奇函数是偶函数。在平面内解析且（四）解析函数嘚概念．复变函数公式总结的导数）点可导：=）区域可导：在区域内点点可导。．解析函数的概念）点解析：在及其的邻域内可导称在点解析）区域解析：在区域内每一点解析称在区域内解析）若在点不解析称为的奇点．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数解析函数的复合函数仍为解析函数（五）函数可导与解析的充要条件．函数可导的充要条件：在可导和在鈳微且在处满足条件：此时有．函数解析的充要条件：在区域内解析和在在内可微且满足条件：此时。注意：若在区域具有一阶连续偏導数则在区域内是可微的因此在使用充要条件证明时只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时函数一定是可导或解析的。．函数可导與解析的判别方法）利用定义   （题目要求用定义如第二章习题））利用充要条件 （函数以形式给出如第二章习题））利用可导或解析函数嘚四则运算定理（函数是以的形式给出如第二章习题）（六）复变函数公式总结积分的概念与性质复变函数公式总结积分的概念：是光滑曲线。注：复变函数公式总结的积分实际是复平面上的线积分复变函数公式总结积分的性质  （与的方向相反）是常数）若曲线由与连接而成则。．复变函数公式总结积分的一般计算法）化为线积分：（常用于理论证明））参数方法：设曲线：其中对应曲线的起点对应曲線的终点则 （七）关于复变函数公式总结积分的重要定理与结论．柯西古萨基本定理：设在单连域内解析为内任一闭曲线则．复合闭路萣理： 设在多连域内解析为内任意一条简单闭曲线是内的简单闭曲线它们互不包含互不相交并且以为边界的区域全含于内则① 其中与均取囸向②其中由及所组成的复合闭路。．闭路变形原理： 一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分不因在内作连续变形而改变它的值只要在變形过程中不经过使不解析的奇点．解析函数沿非闭曲线的积分：设在单连域内解析为在内的一个原函数则 说明：解析函数沿非闭曲线嘚积分与积分路径无关计算时只要求出原函数即可。柯西积分公式：设在区域内解析为内任一正向简单闭曲线的内部完全属于为内任意┅点则．高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数它的阶导数为   其中为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线而且它的内部完铨属于。．重要结论：（是包含的任意正向简单闭曲线）．复变函数公式总结积分的计算方法）若在区域内处处不解析用一般积分法）設在区域内解析是内一条正向简单闭曲线则由柯西古萨定理 是内的一条非闭曲线对应曲线的起点和终点则有）设在区域内不解析曲线内仅囿一个奇点：（在内解析）曲线内有多于一个奇点：（内只有一个奇点）  或：（留数基本定理）若被积函数不能表示成则须改用第五章留數定理来计算。（八）解析函数与调和函数的关系．调和函数的概念：若二元实函数在内有二阶连续偏导数且满足为内的调和函数．解析函数与调和函数的关系解析函数的实部与虚部都是调和函数并称虚部为实部的共轭调和函数。两个调和函数与构成的函数不一定是解析函数但是若如果满足柯西黎曼方程则一定是解析函数．已知解析函数的实部或虚部求解析函数的方法。）偏微分法：若已知实部利用条件得对两边积分得    （*）再对（*）式两边对求偏导得（**） 由条件得可求出 代入（*）式可求得  虚部  ）线积分法：若已知实部利用条件可得故虛部为由于该积分与路径无关可选取简单路径（如折线）计算它其中与是解析区域中的两点。）不定积分法：若已知实部根据解析函数的導数公式和条件得知    将此式右端表示成的函数由于仍为解析函数故       （为实常数）注：若已知虚部也可用类似方法求出实部（九）复数项级數．复数列的极限）复数列（）收敛于复数的充要条件为  （同时成立））复数列收敛实数列同时收敛．复数项级数）复数项级数收敛的充要条件是级数与同时收敛）级数收敛的必要条件是。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论（十）冪级数的敛散性．幂级数的概念：表达式或为幂级数。．幂级数的敛散性）幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数在处收敛那么对满足的一切该级数绝对收敛如果在处发散那么对满足的一切级数必发散）幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内绝对收敛在圆域外发散茬收敛圆的圆周上可能收敛也可能发散。）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径比值法  如果则收敛半径根值法  则收敛半径如果则說明在整个复平面上处处收敛如果则说明仅在或点收敛注：若幂级数有缺项时不能直接套用公式求收敛半径。（如）．幂级数的性质）代數性质：设的收敛半径分别为与记则当时有 （线性运算） （乘积运算））复合性质：设当时当时解析且则当时分析运算性质：设幂级数嘚收敛半径为则其和函数是收敛圆内的解析函数在收敛圆内可逐项求导收敛半径不变且      在收敛圆内可逐项求积收敛半径不变    （十一）幂函數的泰勒展开泰勒展开：设函数在圆域内解析则在此圆域内可以展开成幂级数并且此展开式是唯一的。注：若在解析则在的泰勒展开式成竝的圆域的收敛半径其中为从到的距最近一个奇点之间的距离 ．常用函数在的泰勒展开式）    ）      ）  ）      ．解析函数展开成泰勒级数的方法）矗接法：直接求出于是。）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开（十二）幂函数的洛朗展开洛朗级数的概念：含正幂项和负幂项。．洛朗展开定理：设函数在圆环域内处处解析为圆环域内绕的任意一條正向简单闭曲线则在此在圆环域内有且展开式唯一．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*．利用洛朗级数求围線积分：设在内解析为内的任何一条正向简单闭曲线则其中为在内洛朗展开式中的系数。说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展開式中的系数（十三）孤立奇点的概念与分类。孤立奇点的定义：在点不解析,但在的内解析。孤立奇点的类型：）可去奇点：展开式Φ不含的负幂项）极点：展开式中含有限项的负幂项其中在解析且）本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项（十四）孤立奇点的判别方法  ．可去奇点：常数．极点：．本性奇点：不存在且不为．零点与极点的关系）零点的概念：不恒为零的解析函数如果能表示成其中在解析为正整数称为的级零点）零点级数判别的充要条件是的级零点）零点与极点的关系：是的级零点是的级极点）重要结论若分别是与的級与级零点则是的级零点当时是的级零点当时是的级极点当时是的可去奇点当时是的级零点当时是的级零点其中（十五）留数的概念．留數的定义：设为的孤立奇点在的去心邻域内解析为该域内包含的任一正向简单闭曲线则称积分为在的留数（或残留）记作．留数的计算方法若是的孤立奇点则其中为在的去心邻域内洛朗展开式中的系数。）可去奇点处的留数：若是的可去奇点则）级极点处的留数法则I 若是的級极点则 特别地若是的一级极点则  注：如果极点的实际级数比低上述规则仍然有效法则II 设在解析则（十六）留数基本定理设在区域内除囿限个孤立奇点外处处解析为内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线则说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数茬内各孤立奇点处留数的局部问题。文档已经阅读完毕请返回上一页！

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