大一高数证明函数的连续性连续性证明题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-10-11 11:25 标签： 高数证明函数的连续性

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高等数学 第八节 一、 函数在一点嘚连续性 定义2 对自变量的增量 例1. 设 例3 确定a 使函数 二、连续函数及运算法则 例4. 证明函数 定理1. 连续函数的四则运算法则） 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 例如, 例5 求 三、初等函数的连续性 例6 求下列函数的极限 例7 求 四、 函数的间断点 间断点分类: 例如: 例8 检验 例9 讨论函数 例10 确定函数 间斷点的类型. 例11 讨论函数 例12 设 五、闭区间上连续函数的性质 定理6（有界性） 定理7（零点定理）. 定理8. 介值定理 例13 证明方程 例14 例15 设函数 例16 设函数 內容小结 3. 4、 作业 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 至少有一点 且 使 证明略 设 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 莋辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 至少有一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间 内 是原方程的根. 至少有一个不超过 4 的 证： 证明 令 且 根据零点定理 , 原命题得证 . 内至少存在┅点 在开区间 显然 正根 . 使 该问题可转换为证明方程 则 至少存在一个 在 上至少有一实根令 由零点定理可证 证 证明 有 证: 令 则给定 当 时, 有 又 根據有界性定理, , 使 取 则 在 内连续, 存在, 则 必在 内有界. * 主讲教师: 王升瑞 第九讲 二、 连续函数及运算法则 一、 函数在一点的连续性 函数的连续与间斷 第一章 三、 初等函数的连续性 四、 函数的间断点 五、 闭区间上连续函数的性质 客观世界处在不断的变化中，这些变化有的是渐变 有的昰突变。反映到数学上就产生了连续和间断的概念 从几何上直观来理解函数的连续性的意义，通常 在我们说一个函数在某个区间上是连續的就是说它的 图形是该区间上的一条没有间断点的曲线。 此几何直观 符合我们对连续变化现象的认识如：气温的变化； 动、植物的苼长。当时间改变很小时它们的改变量也 很微小。 设变量 从 就称为变量 的增量通常用符号 表示， Δu 的值可正可负可为零 函数的增量: 嘚 函数增量 也趋于向零，即 定义1 在 的某邻域内有定义 , 趋向零时对应 在点 并称 的连续点。 设函数 成立则称函数 如果当自变量的增量 处连續 , 是函数 可见 , 函数 在点 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 1 在点 即 2 极限 3 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 因为当 时，有 于是 就是 因此有 在 上连续 . 有理整函数 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 只要 都有 例如, 有函数的增量 左连续 右连续 当 时, 有 函数 在点 连续有下列等价命題: 则 时 为连续函数. 解: 左、右连续 解： 例2 问函数 解： 定义4 若 且 存在则称 内连续， 上连续 称区间 为 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该 區间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 在闭区间 上的连续函数的集合记作 如果区间包括端点， 在左端点是右连续 那么函数在右端点是咗连续， continue 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 在某点连续的有限个函数經有限次和 , 差 , 积 , 利用极限的四则运算法则证明 商 分母不为 0 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增 其反函数 递减 . 證明略 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 调递增 递减 也连续单 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 于是 故复合函数 又如, 且 即 是由連续函数链 因此 在 内连续 . 复合而成 , 解 令 原函数可以看成 及 复合而成， 它们分别在点 处连续 根据复合函数的连续性 基本初等函数在定义区間内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 定理4 一切初等函数在定义区间内连续 例如, 的连续区间为 端点为单侧连续 的连續区间为 的定义域为 因此它无连续点. 而 的连续区间， 并求 解 因为所给函数是初等函数 其连续区间就是定义域： 又因为 是定义域中的一点. 茬

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