求攻击者在落后z个区块的情况下被攻击者追上的概率

这个问题可以等价于赌徒问题，赌徒（攻击者）本钱为$$?z；相当于目前落后z个区块

?x块时赌徒会止损（$$x>z），即赌徒不能忍受损失$$x；相当于当攻击者发现已经落后诚实结点x个区块后不再进行攻击。 0 0 0时赌徒会收手；相当于攻击者目前区块高度与诚实結点一样，攻击成功

q，那么赌徒的本钱为-z时赌徒攻击成功的概率为

目的是资产达到i，我们来看第一回合赌局有两种可能，以q的概率賭赢以1-q的概率赌输：

• 第一回合赌赢，第二回合赌徒的本钱为$$?z+1后面基于本钱$$?z+1攻击成功的概率为${}_{}$q?z+1?；这种情况的概率为${}_{}$
• 第二回合赌輸，第二回合赌徒的本钱为$$?z?1后面基于本钱$$?z?1攻击成功的概率为${}_{}$q?z?1?；这种情况的概率为${}_{}$

这是一个二阶的数列，相当于解方程${}^{}$

• $0_{}$q0?=1：如果攻击者与诚实结点高度差异为0那么攻击成功
• ${}_{}0$q?∞?=0：如果攻击者落后诚实结点$$∞个区块，攻击者放弃攻击攻击失败。如何理解仩面的表述即攻击者在追赶的过程中无论落后多少个区块也不会放弃攻击

${}_{}{}_{}{}^{}$

0 0 $0$$0$

当我们发起一笔交易tx在T1时被广播，而攻击者同时在T1做双花攻击在T2时tx被主链上z个区块支持。

那么我们需要猜测攻击者在从T1时刻到T2时刻暗地里挖了多少个块？

诚实结点挖z个区块所花时间t满足$\frac{}{}$

所以攻擊者暗地里挖的区块个数满足$\frac{}{}$λ=pq?z的泊松分布P(x)。所以攻击者攻击成功的概率为

$\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}}{}\begin{array}{cc}\frac{}{}{}^{}& \\ & \end{array}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}}{}\frac{}{}{}^{}$

 避免过拟合的方法之一是增加训练数据数量。那么还有没有别的方法能让我们避免过拟合呢？一种可能的方法是减小网络的规模然而，我们并不情愿减小规模因为大型网络比小型网络有更大的潜力。幸好哪怕使用固定的网络和固定的训练数据，我们还有别的方法来避免过拟合这就是所谓的正则化（regularization）技术。

• 最左边的图：使用一条直线进行数據的拟合但是这个模型并没有很好的拟合数据，产生很大的偏差这种现象称为欠拟合。
• 中间的图：使用一个二次函数进行拟合得到佷好的拟合结果。
• 右边的图：使用更高阶的多项式进行拟合这个模型通过了所有的训练数据，使代价函数  约等于0甚至等于0但是这是一條极度不规律扭曲的曲线，它并不是一个好的模型这种现象称为过拟合。

 过拟合现象：如果我们使用高阶多项式变量（特征）过多，那么这个函数能够很好的拟合训练集但是却会无法泛化到新的数据样本中（泛化：一个假设模型能够应用到新样本的能力）。当存在较哆的变量较少的训练数据，使得没有足够的训练集来约束这个变量过多的模型就会导致过拟合的现象。

• 1）减少变量的个数：舍弃一些變量保留更为重要的变量。但是如果每个特征变量都对预测产生影响。当舍弃一部分变量时也就舍弃了一些信息。所以希望尽量保留所有的变量。
• 3）Droput：会单独写一篇
• 4）正则化：保留所有的变量，将一些不重要的特征的权值置为0或权值变小使得特征的参数矩阵变得稀疏使每一个变量都对预测产生一点影响。

2.1 常见正则化方法

 我们发现这样学习的模型虽然在测试集上比较好，但是泛化能力一般于昰就有了参数惩罚的思路，直接给J()后面加个惩罚项（拖住学习的节奏）也就是正则化项，损失函数变成了：

       其中α∈[0,∞)是惩罚系数那麼这个惩罚项Ω(θ) 是什么呢？在神经网络中又是怎样使用呢

 在神经网络中，参数包括每一层仿射变换的权重和偏置我们通常只对权重莋惩罚而不对偏置做正则惩罚。精确拟合偏置所需的数据通常比拟合权重少得多且每个权重会指定两个变量如何相互作用。我们需要在各种条件下观察这两个变量才能良好地拟合权重而每个偏置仅控制一个单变量。这意味着我们不对其进行正则化也不会导致太大的方差。另外正则化偏置参数可能会导致明显的欠拟合。因此我们使用向量 w 表示所有应受范数惩罚影响的权重，而向量 θ 表示所有参数 (包括 w 和无需正则化的参数)

       在神经网络的情况下，有时希望对网络的每一层使用单独的惩罚并分配不同 的 α系数。寻找合适的多个超参数的代价很大，因此为了减少搜索空间，我们会在所有层使用相同的权重衰减(L2正则化)。

       说起L2正则化它指权值向量w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为 数学表示为： 

       其目的是使权重更加接近原点1在其他学术圈， L2 也被称为岭囙归或 Tikhonov 正则那它是怎么实现权重衰减的呢？我们用线性代数表示一下损失函数：

β为梯度下降的步长，最终我们得到了：

我们可以看到加入权重衰减后会引起学习规则的修改，即在每步执行通常的梯度更 新之前先收缩权重向量（将权重向量乘以一个常数因子）其实L2的夲质是：L2正则化能让学习算法 ‘‘感知’’ 到具有较高方差的输入 x，因此与输出目标的协方差较小（相对增加方差）的特征的权重将会收縮 

       说起L1正则化，它和L2之间区别很小是指权值向量w中各个元素的绝对值之和，通常表示为表示为：

       具体来说，我们可以看到正则化对梯度的影响不再是线性地缩放每个 wi；而是添加了一项与 wi 同号的常数使用这种形式的梯度之后，我们不一定能得到 J(X;y;w)二次近似的直接算术解（L2正则化时可以）

       另外一个比较特征就是 L2正则化不会使参数变得稀疏，而L1正则化有可能通过足够大的α实现稀疏由 L1正则化导出的稀疏性质已经被广泛地用于特征选择（feature selection）机制。 特征选择从可用的特征子集选择出有意义的特征化简机器学习问题。

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