求下列函数的二阶导数公式怎么用?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-17 00:11 标签： 二阶导数公式怎么用?

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对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数公式怎么用?我们就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(xy，y'y'')=0。在有些情况下可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解

二阶微分方程的一般形式是

其中，x昰自变量y是未知函数，y'是y的一阶导数y''是y的二阶导数公式怎么用?。

在有些情况下可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。

方程特点：右端仅含有自变量x逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解

解：原方程两边积分两次，得通解

方程特点：右端函数表达式中不含有未知函数y

由于y'也是x的未知函数，可设p(x)=y'则原方程可降阶为

这是关于p的一阶微分方程，可求通解

方程特点：右端函数表达式中不含有自变量x。

令y'=p(y)利用复合函数求导法则

原方程变为关于y，p的一阶方程

f(x)是x的函数）的方程称为

二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程

；否则，方程（1）称为

二阶常系数线性非齐次微分方程

定理1（线性齐次微分方程通解的结構定理）如果函数y1(x)与y2(x)是(2)的两个线性无关的解则函数

是齐次方程（2）的通解。（其中C

为两个独立的任意常数）

的通解与其特征根的关系見下表1。

表1 齐次微分方程通解与其特征根的关系

定理2（线性非齐次微分方程通解的结构定理）如果y0是非齐次微分方程（1）的一个特解而y*昰对应的齐次微分方程（2）的通解，则y=y0+y*是方程（1）的通解

对于比较简单的情形，可以用观察法找特解但对于比较复杂的情形就不太容噫了。为此下面对于f(x)的几种常见形式，以表2列出找其特解的方法（待定系数法）（表2中Pm(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm为已知的多项式）

表2 非齐次微分方程特解形式與f(x)的关系
表2 非齐次微分方程特解形式与f(x)的关系
  • 徐仁璋．微积分（下）：中南财政经济出版社，2011
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