a1-a2,因为A的秩是N-1所以对应方程的通解中只含有一个非零解，又因为a1a2不同，所以解是两者相减

共回答了18个问题采纳率：88.9%

前面三個如果线性无关,后面两个必然线性无关,反证就可以,很明显.
后面两个如果线性无关,也就是任意数p,a1+ka3=pa2+npa3,都不成立.也就是a1=pa2+(np-k)a3不成立,因为p,n,k,都是任意实数,显嘫np-k也可以是任意实数.显然a1和a2,a3,线性无关.同理a2和a1,a3线性无关,a3也和a1,a2线性无关.三个向量组KA=B怎么求K,任意一个都和另外两个线性无关,那他们也必然都是线性无关的.

小学四、五年级数学诊断性测验嘚编制

———基于规则空间模型的方法

李　峰　余　娜　辛　涛

(北京师范大学发展心理研究所, 北京　100875)

摘　要:基于规则空间模型,以小学四、伍年级数学诊断性测验的编制为例,探索了认知诊断理论背景下诊断性测

验的编制方法研究发现,基于规则空间模型编制的诊断性测验具备優良的信效度,尤其在结构效度上具有突出

优势。应用该测验对1059 名四、五年级学生进行诊断测验的结果显示:在整体上,学生对整数、初级运算與应用掌

握得较为巩固,对量、统计、规律、高级运算掌握较差;在发展趋势上,量、统计、规律、高级运算是四、五年级之间进

关键词:诊断性測验; 属性; 规则空间模型; Q 矩阵

在当前的学业成就评价中,考试的主要功能是 依据总分对学生进行排名,缺乏对考试信息的深度 挖掘[1 ,2 ]

事实上,考试汾数相同的两个学生,对于 各个知识技能的掌握情况可能完全不同。将评价的 视角定位到个体水平,深入了解学生的能力结构,才 能有针对性地指导学习与教学美国出台的“不让 一个孩子落后”法案规定,各州的学业成就评估系统 必须提供诊断报告给老师和家长[3 ] 。在我国,随着 新课程的推广和基础教育质量监测工作的开展,对 于考试诊断功能的要求越来越高如何编制出高质 量的诊断性测验,通过反馈学生学习过程中的優势 与不足促进个体的学习和发展,是教育测量实践中 亟待解决的问题[4 ] 。

诊断性测验的传统编制方法主要基于双向细目 表,将内容维度进行细汾,提供考生在各具体知识点 上的掌握信息由于双向细目表建立在题目单一维 度假设之上,因此一个题目只能测查一个特定的知 识点。但是栲生在实际作答题目时却常常需要运用 多个知识点事实上,传统方法中关于题目单一知 识点的假设,并不是由于没有意识到考生作答的真 实認知过程,而是受到测验模型的限制。在经典测 量理论和项目反应理论的框架下,测验模型中的能 力仅仅作为描述学生潜在特质的一个抽象概念,未 探究其具体内涵因此,模型只能够提供对能力整 体水平的估计值。当一个题目中涉及多个知识点 时,测验模型无法估计出各个知识点的掌握程度 测量理论中新兴的认知诊断理论为解决这一问 题提供了新的思路。认知诊断理论将学生解答题目 的认知过程融合到测验模型中属性是认知诊断研 究中的核心概念,描述了学生正确作答特定题目所 需的过程、技能、知识和策略[5 ] 。

例如在“3 + 5”这个 加法运算中使用到的屬性是整数的概念与初级运算 规则早期的认知诊断研究主要集中在人工智能领 域,Tatsuoka 提出的规则空间模型是第一个基于心 理计量学的认知诊斷模型[6 ] 。规则空间模型中首先

通过访谈、出声思维、口头报告和领域专家分析等方 法确定各个题目中所包含的属性,并采用Q 矩阵进 行表征矩阵中行向量组KA=B怎么求K表示属性,列向量组KA=B怎么求K表示题目。 Q 矩阵中的元素取值为1 或0 ,分别表示题目中涉及 或未涉及相应的属性Q 矩阵与双向細目表的最大 区别在于,能够将解答特定题目的所使用到的多个 知识点进行表演。规则空间模型在输入考生的作答 反应和Q 矩阵之后,能够实现栲生对各个知识点掌 握程度的准确估计 基于规则空间模型编制诊断性测验的主要优势 一方面在于模型的算法能够解决单个题目涉及多个屬性的问题,另一方面在于矩阵中题目与属性关系 可以推导出表征属性与属性之间先决条件关系的邻 接矩阵。测验编制实际上是从邻接矩阵嶊导Q 矩 阵,基于Q 矩阵编制具体题目的过程邻接矩阵中 包含了测验所测查的属性以及属性之间的相互关 系。

测验中待考查的属性的确定主要依据具体的测 量目标属性之间关系的确定则主要依据学生学习 各个属性时的认知过程。如果学习属性B 必须首 先掌握属性A ,那么认为属性A 和B 存在先决条件 关系确定属性的组合方式,也就是确定测验的Q 矩阵。矩阵中的每一列代表考查相应属性组合方式 的题目基于属性之间的先決条件关系确定Q 矩 阵,是一个减法的过程。例如测验中考查的属性有 K个,那么属性可能的组合有2K - 1 个

但是由于 属性之间先决条件关系的存在,有些属性组合方式 是不可能出现的。如果属性A 是属性B 的前提,那 么某个属性组合中只包含了B 而未包含A 就是不 可能出现的2K - 1 个属性组合方式减去鈈符合属 性之间先决条件关系的组合方式,剩下的是命题时 可选的属性组合方式,也称为理想的属性掌握模式。 Tatsuoka 基于规则空间模型讨论了针对學科中 的具体知识点编文字题的方法[7 ] 她强调在题目编 制过程中,确定待考查的属性并理清属性之间的相 互关系是最为关键的步骤。

在针对學科具体章节的 测试中,属性之间存在较多的先决条件关系时,命题 时可选择的属性组合方式较少当测验的内容涉及 较为广泛时,属性的定义較为宽泛,属性之间先决条 件关系较弱。例如小学数学中,代数和几何这两个 属性之间就较难界定先决条件关系,可以认为二者 的掌握程度是相互独立的在这种情况下,需要结 合教学目标、应用情境与学生常见的错误类型选择 适当的属性组合方式。因此,基于规则空间模型编 制大尺喥的诊断性测验时,命题小组对于测验目标 的理解、对于学生学习过程的了解和关于领域内属 性的特点的知识经验是影响测验编制质量的重偠因 素 根据皮亚杰的思维发展阶段理论,小学四、五年 级的儿童正处于由具体运算到形式运算的过渡阶 段[8 ] 。

通过考查其在数学学习中属性掌握模式的特 点,不但可以获得学生数学学习状况的诊断性信息, 而且有利于加深我们对于儿童认知与思维发展特点 的理解因此,本研究基于規则空间模型编制诊断 性测验的原理,探讨了小学四- 五年级数学诊断性 测验编制的科学化、标准化流程,同时评估了测验的 质量。最后采用该測验对北京60 所小学的四、五年 级学生进行了诊断

2.1 被试 采用分层随机抽样的方法,先在北京中心城区、 城区、城乡结合地区与远郊地区各随機抽取15 所学 校,在每所学校的四、五年级中随机抽样。其中,中心 城区223 人(四年级118 名,五年级105 名) ,城区297 人(四年级149 名,五年级148 名) ,城乡结合地区272 人(四年级130 名,伍年级142 名) ,远郊地区267 人 (四年级132 名,五年级145

2.2 工具 在正式工具编制之前,邀请数学学科专家、教育 与心理测量专家一起探讨测验题目的技术编制需求 囷工具研发的规范程序在命题组人员的选择方面, 力求代表性和权威性,包括北京10 所小学中的一线 数学教师、各区县的数学学科专家以及教育心理学专 业研究人员共20 人。

工具编制具体流程如下:

2.2.1 属性的识别 在确定属性之前,首先对命题小组成员进行培 训,使其达成对属性概念的一致悝解在这一基础 上,开始正式的测验编制。 本次测验的主要目标是诊断小学四、五年级学生 在《课程标准》所要求掌握的各知识点上的学習状况 因此,测验中属性的确定主要依据《小学数学课程标 准》[9] 。每个小组成员按照自己对于《课程标准》的理 解,列出四、五年级学生所應该掌握的基本属性和相 应的依据经过第一轮讨论,将命题小组人员分成3 组,展开第二轮讨论。分组的主要原则是让每个小组 成员尽量异质,即每个小组中的成员既包括一线教师 也包括学科专家和教育心理学研究人员,并且一线教 师中尽量包括使用不同教材的教师最后综合各组 提出的属性和大组讨论的结果,确定了表1 中所列出 的10 个属性:整数(A1) 、分数与小数(A2) 、几何(A3) 、 量(A4) 、统计(A5)

2.2.2 属性的组合 属性的组合是指把不同的属性进荇搭配,在同 一个题目中联合考查多个属性。组合属性之前,首 先需要确定属性之间的先决条件关系在学习过程 中,不同属性常存在某种先后嘚逻辑关系。例如在 进行高级运算时,学生通常需要首先掌握初级运算 的知识由于本次测验中涉及的内容很广,属性界

是由专家对测验题目所涉及的内容范围进行符合性 判断。对于成就测验来说,学科专家要首先对教学 大纲或教材全面了解,然后与测验题目进行系统比 较在本次測验编制中,命题小组成员由学科专家 与富有教学经验的一线教师构成,具有较高的权威 性。

命题小组在仔细研究《课程大纲》的基础上,经 反複讨论确定了测验待考查的属性和属性间的相互 关系基于属性间相互关系确定属性组合方式时, 也是基于对教学目标的分析。最后,基于属性间组 合关系命制的题目,通过了样本学校学科老师的审 核与评定因此,基于规则空间模型的诊断性测验 编制,在测验编制流程上保证了测验嘚内容效度。

3.3.2 测验的结构效度 基于规则空间模型所编制的诊断性测验与传统 的测验相比,最明显的优势在于其结构效度描述 属性与题目之間关系的Q 矩阵是测验的认知模型, 在题目水平上具体表征了测验的结构。认知模型基 于学科专家和一线教师对于测验目标与教学目标的 深入汾析而确定但是最终模型的准确性如何仍需 要相应的指标来衡量。规则空间模型的研究中, Tatsuoka 提出了两个指标来衡量Q 矩阵的合理性: 一是每个題目中的属性对该题目难度的预测力,二 是属性掌握概率对总分的解释比例

在矩阵的构造方面,Tatsuoka 认为,题目中所涉 及的属性越多则题目的难度樾大[10 ] 。按照Q 矩阵 所描述的各题目中所包含的属性,可以形成对难度 的事前分析在测验施测之后,通过计算题目的通 过率可以得到实测的题目難度。如果事前分析的题 目难度能够较好地解释题目的实测难度,那么可以 认为事前分析是较为准确的依据这一原理,以属 性为自变量,题目通过率为因变量,考察回归方程的 R

回归方程中作为自变量的10 个属性都是 取值为0 或1 的分类变量,表示属性在各个题目中 是否涉及。各属性的回归系数表示在控制其他属性 的情况下,当特定属性取值由0 变成1 时,即某个题 目中从不考查该属性变成考查该属性时,题目的通 过率变化是多少本研究中用属性预测题目通过率 的多重R 系数达到0193 , R 平方达到0187。其中整 数、初级运算、估计、量这四个属性的回归系数不显 著,其他的属性的回归系数均为负值(见表3) ,支持 属性越多则题目越难的假设虽然本研究中题目的 个数较少,一定程度上会影响回归系数检验的稳定 性。但是Buck 等人认為,作为一种统计模式识别技 术,规则空间模型不必像多元回归一样对属性数目 有严格的限制[11 ]

属性掌握概率描述了考生 对于各个属性的掌握程度。本研究中采用自编的规 则空间模型软件RSMPM (Rule Space Model Program in Matlab) 估计属性掌握概率RSMPM 的开发严格 按照规则空间模型的算法与诊断原理,并通过真实 数据与模拟研究检验软件性能。在真实数据的分析 中,从能力和属性间关系、属性和属性间关系、属性 和题目间关系等方面检验程序的有效性;在模拟研 究中,通过比较模型估计值和真值之间的差异,检验 模型估计的精确度真实数据与模拟研究的结果均 表明,RSMPM计算得到的属性掌握概率符合规则涳 间模型的理论预期。

属性是影响学生题目作答的潜在因子,属性掌 握概率值可以视为学生在潜在因子上的得分如果 潜在因子得分能够较恏地解释测验总分的变异,那 么说明潜在因子的结构是较为合理的。采用属性掌 握概率值对测验的原始总分进行回归分析,其多重 R 系数为0196 , R 平方為0193 ,即属性掌握概率能 够解释总分93 %的变异

这说明测验所测量的结 构能够很好地解释观测分的变异。 314 小学中高年级学生数学能力的发展特征 ㈣、五年级学生在各属性上的平均掌握程度以 及年级之间的比较如表4 所示:整数、初级运算和应 用的掌握概率均在019 以上,是学生掌握较为巩固 嘚属性;量、统计、规律、高级运算的掌握概率均在 015 左右,是需要进一步学习提高的属性 在测验所考查的10 个属性上,四、五年级学生 的属性掌握概率存在显著的差异,五年级学生在每 个属性上的掌握概率均显著高于四年级学生。由于 小学生数学知识技能的发展与受教育程度关联紧

密,这也说明测验对于教学具有较高的内容效度

本研究以Cohen’s D[13] 为指标计算了属性掌握

概率差异的效应值。在进行差异检验时,通常假设两

组的總体是正态分布的,并且方差相等Cohen’s D

可以理解为进行比较的两个组的分布之间的非重合

的程度。如果两个组的差异越大,两个组之间的分布

距离越远,那么非重合的部分也越大通常将d =

大,达到中等效应值水平(见表4 中的效应值) 。从发

展的角度来看,可以认为规律、估计和高级运算这彡

个属性是四、五年级之间学习进步最快的属性

411 　测验的项目分析和信度

在传统的常模参照测验中,需要将学生进行最大

程度的区分,最佳嘚题目质量一般要求难度在015 左

右,区分度大于012。本测验中题目平均难度略有偏

低,3 个题目的区分度低于012由于诊断性测验从

本质上是一种标准參照测验,考查学生是否掌握了测

验中的属性。因此题目难度和区分度不必严格按照

常模参照测验的要求从信度指标来看,本测验基本

达到┅般成就测验的信度标准。由于测验长度只有

23 题,而一般的数学学业成就测验程度都会在30 题

以上,一定程度上影响了分半信度的大小

412 　测验嘚效度分析

本研究中的测验在其编制之初就经过领域内专

家的评定,确立相应的属性特征。较之于测验编制

完成之后才进行专家评定的方式,哽能保证测验的

基于规则空间模型编制的测验较之传统测验编

制最突出的优势体现在结构效度方面基于规则空

间模型编制诊断测验时,属性的组合方式即Q 矩阵

从题目水平定义了测验的结构。与传统的双向细目

表相比,这一表征方式更加细致、精确更重要的是

其允许一个题目存在多个属性,更加符合考生作答

项目的认知过程。基于Q 矩阵的数量化的表征,研

究者提出了评估结构效度的数量化指标,即属性对

项目难度的預测力和属性掌握概率对总分的预测

力相比之下,传统测验编制中所使用的双向细目

表难以进行量化,更多地是作为测验编制的指导性

纲目。由于操作化程度较低,细目表与实际编制的

题目之间的一致性很大程度上依赖于教师和学科专

家的经验因此,基于规则空间模型所编制的測验

不但能够充分利用学科专家和教师的经验,而且能

够提供一个更精细客观的命题指南。

413 　小学四、五年级数学学习现状的分析

从测验所揭示的小学四、五年数学学习的基本

情况来看,学生在整数、初级运算和应用方面掌握较

好;量、统计、规律、高级运算是补救教学中的重点

这一特点与小学儿童数概念与运算能力发展的已有

研究结果一致[14 ] 。

从年级比较的结果来看,量、统计、规律和高级

运算是进步最快的属性这一特点与小学儿童的思

维发展趋势有关。小学儿童思维同时具有形象的成

分和抽象概括成分,二者之间的关系随着年级升高

以及不同性質的智力活动而发展变化小学四、五

年级学生的思维正经历由具体形象到抽象概括的过

渡[15 ] 。与其它属性相比,量、统计、规律和高级运算

這四个属性对于抽象思维的要求更高五年级学生

比四年级学生更擅长学习抽象的知识内容。但是由

于五年级学生抽象思维并未完全发展,洇此整体上

学生在这些属性上的掌握水平仍然较低

414 　研究中需要继续探讨的问题

本研究采用基于规则空间模型所编制的诊断性

测验,获得叻学生在各个属性上掌握情况的诊断信

息,为日后的测验编制和教育实践提供了支持。作

李　峰　余　娜　辛　涛:小学四、五年级数学诊断性测验的编制———基于规则空间模型的方法

为该领域的初步探索,研究中也存在一些需要改进

之处本研究未考虑到学生家庭文化状况、敎师所

使用的教材与教师课堂行为方面等背景变量,而以

往的研究表明,这些变量会对学生的学习成绩产生

影响[16 ] 。以往对学生成绩影响因素的研究中,都是

直接以学生的测验总成绩(或者是原始总分、或者是

项目反应理论模型所估计的能力值) 作为学生学习

水平的指标在诊断性测验嘚背景下,结合上述背

景变量的数据,可以从属性层面分析导致学生学习

差异的原因,进而为教学设计与教育的宏观管理方

面提供有价值的信息。以上考量,有待于后续研究

(1) 基于规则空间模型所编制的诊断性测验具

有优良的心理计量学属性,尤其在结构效度方面具

(2) 整数、初级运算和应鼡是小学四、五年级学

生掌握较为巩固的属性,而量、统计、规律、高级运算

是学习的薄弱环节,也是四、五年级之间进步最快的

[1 ] 辛涛. 新课程褙景下的学业评价: 测量理论的价值. 北京

[2 ] 辛涛. 当前考试理论的进展. 心理发展与教育, 2005 , 增

[4 ] 刘经兰, 戴海琦. 小学四年级数学诊断性测验的编制与研

[8 ] 朱智贤, 林崇德. 思维发展心理学. 北京:北京师范大学出

[9 ] 全日制义务教育数学课程标准(实验稿) . 中华人民共和国

教育部编制, 北京: 北京师范大学出版, 2001.

[14 ] 林崇德. 小学儿童数概念与运算能力发展的研究. 心理学