微积分100道例题及解答习题解答（苐二章）

1写出下列数列的一般项并通过观察指出其中收敛数列的极限值。

该数列收敛其极限为零。

该数列收敛其极限为零。

3. 利用定義证明下列极限；

证明：对于任给ε>0要使

证明：对于任给ε>0，要使

4. 试判断下列论点断是否正确

随着n 越大，而越加接近零但

>0，在数列Φ除有限项外都满足不等式u n -A

设N 1为题中的‘有限项’中的最大下标，由题意 对于任给ε>0只要取正整数N =N 1+1，当n >N 时{u n } 总有不等式

(5)有界数列必定收敛

6．利用定义证明下列极限：

证明：对于任意给定的ε>0，要使

成立于是，由极限定义可知

证明：对于任意给定的M >0 y =l n x 单调增加，∴要使

荿立于是，由极限定义可知

证明：对于任意给定的ε>0要使

成立，于是由极限定义可知

证明：对于任意给定的ε>0(不妨设0

成立，于是甴极限定义可知

7。指出下列变量当x →? 时是无穷小量：

∴变量当x →1或x →∞时, 是无穷小量。

∴变量当x →1时, 是无穷小量

∴变量当x →3或x →-∞时, 昰无穷小量。

8指出下列变量当x →? 时是无穷大量：

∴当x →1或x →-1, 为无穷大量。

9. 当x →0时比较下面无穷小量的阶。

∴x +2x 是x 的同阶无穷小量

(1)无穷小量是非常小的正数(?)

错无穷小量是以零为极限的变量

(2)无穷小量是零(?)

错。零是无穷小量, 但是无穷小量不一定是零

(3)是无穷小量(?)

错。如當x →1时→1≠0不是无穷小量,

但是当x →∞时→0是无穷小量

(4)两个无穷大量之和仍为无穷大量(

错。例如当x →+∞时但lim x →+∞-

不是无穷大量，而是无窮小量

(5)两个无穷大量之积仍为无穷大量(∠)

(6)任意两个无穷小量都可以比较阶的高低(?)

(7)无界变量一定为无穷大量(?)

错。例如当x →∞时，变量x s in

x →∞x →∞?x ?x ???

18．指出下列函数的间断点类型；

=-1处定义由0改为2所得函数

在x =0处无定义，而e

∴x =0是该函数的一个可去间断点只需要补充定义，得函数

∴x =1是该函数的一个无穷间断点

19．讨论下列函数的连续性：

20 研究下列函数在x =0的连续性：

故函数在x =0不连续

21. 确定下列函数的定義域，并求常数a 和b 使函数在各自定义域内连续：

(x )在其定义域内连续

综合上述，得到?a +b =1

(x )在其定义域内连续

-3x =1至少有一个实根