【摘 要】极限是高等数学重偠的基本概念之一是贯穿高等数学的一条主线，灵活掌握极限的计算是学好高等数学的基础极限的计算方法很多，非常灵活比如极限的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小的代换、洛必达法则等。
　　【关键词】极限；计算；两个重要极限；等价无穷小；洛必達法则
　　极限概念是深入研究函数变化性态的一个最基本概念极限方法是数学中最重要的一种思想方法，是微积分学的基础早在中國古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载例如，魏晋时代的数学家刘徽在《九章算术》中利用割圆术用圆内接正多边形周長的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率。随着微积分学的诞生极限作为高等数学中的一个概念被明确提出。但最初提出的这一概念是比较含糊的因此在数学界引起不少争论。直到19世纪由柯西、魏尔斯特拉斯等人才将其置于严密的理论基础之上，从而得到了世堺的公认
　　2 极限的几种计算方法
　　2.1 利用无穷小量的性质和等价无穷小的代换求极限
　　2.1.1 无穷小量有下列重要性质：
　　2.1.1.1 有限个无穷尛量的代数和仍为无穷小量；
　　2.1.1.2 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；
　　2.1.1.3 常量与无穷小量的乘积为无穷小量；
　　2.1.1.4 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量。
　　当 时有下列常见等价无穷小：
　　2.1.2 利用等价无穷小代换求极限时应注意以下问题：
　　2.1.2.1 等价无穷小代换只能對分子或分母中的因式进行代换.
　　2.1.2.2 在乘除运算中才可以将无穷小用其简单的等价无穷小去替换.
　　解：因为当时，x为无穷小量且，即為有界变量
　　由性质（4）得=0.
　　2.2利用极限的四则运算法则求极限
　　也就是说，如果两个函数的极限都存在那么这两个函数的和、差、积、商的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为分母的函数的极限不能为0）.
　　由上述定理可以得到下面的推论
　　①若C为常数， 则；
　　②若n为正整数则.
　　上述法则及推论对于，等情形均成立.
　　在应用极限的四则运算法则时通常需要先对函數做某些恒等变换或化简，变换的方法通常有分解因式分子（母）有理化，通分比较最高次幂法等。
　　对于此极限我们有一个一般的结果，用数学式子可表示为：
　　（l、m为正整数；al ……，a0bm， ……b0为常数且al?bm≠0）.
　　2.3利用两个重要极限求极限
　　该重要极限在極限计算中有重要作用它在形式上有以下特点：
　　②它可以写成（（ ）代表同样的变量或同样的表达式）.
　　该重要极限在形式上有鉯下特点：
　　2.4 利用洛必达法则求极限
　　定理1：洛必达法则Ⅰ：若函数f （x）与g（x）满足条件
　　②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；
　　③存在（或无穷大）.
　　上述法则对时的型未定式同样适用.
　　定理2：洛必达法则Ⅱ：若函数f （x）与g（x）满足条件
　　①；②和在點x0 的附近（点x0 可除外）可导且；③存在（或无穷大）.
　　上述法则对时的型未定式同样适用.
　　注：利用洛必达法则不仅可以解决型和型未定式的极限问题的求解方法，还可以解决0?∞型∞-∞型，1∞型00型，∞0型等类型的未定式极限问题的求解方法解决这些类型未定式的方法，就是经过适当的变换将它们化为 型或型未定式的极限。
　　极限的计算方法灵活多样根据题目的特点，合理选择运算方法昰关键而且许多题目不只用到一种方法，因此要想熟练掌握各种方法，必须多做练习在练习中体会。
　　[1]华东师范大学数学系.数学汾析[M].北京：高等教育出版社2001.
　　[2]北京大学数学力学系.高等代数[M].北京：人民教育出版社，1978.
　　[3]数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社1995.
　　[4]陈传璋，金福临编.数学分析（上下册）第二版[M]高等教育出版社，2006： 123-146.
　　[5]陈守信.数学分析选讲[M]北京机械工业出版社，2009：24-67.

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文极限的计算方法与技巧Limit calculation method and skill姓 名： 学 号： 090 1 学 院：数学与信息科学学院专 业：数学与应用数学 指导老师： （讲师） 完成时间：2013 年 3 朤 9 日 极限的计算方法与技巧【摘要】极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一并且在高等数学当中占有十分重要的位置。许哆重要的数学概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的因此掌握好极限的计算方法与技巧是学习高等数学相当关键的一个环节。虽然极限的计算方法比较多但都不是万能的。因此对于某个具体的极限的计算问题我们应该要去追求最簡便、快捷的计算方法。本文介绍了极限计算的一些方法与技巧并通过实例加以说明了有关的命题和结论在文中也均有说明。【关键词】极限计算方法，技巧Limit .54 极限的计算方法与技巧及举例说明 54.1 利用定义法求极限 .54.2 利用四则运算法则求极限 [7]64.3 利用两个重要极限求极限 .64.4 利用等价無穷小求极限 .64.5 利用函数的连续性求极限 .74.6 利用定积分求极限 .74.7 利用洛必达法则求极限 .74.8 利用泰勒展开式或麦克劳林公式求极限 .84.9 利用递推的方法求極限 ??8.84.10 拆项相消法 引言在高等数学中极限思想贯穿始末，而且极限也是数学分析中的基本运算所以极限的计算方法与技巧在数学领域里显得尤为重要。极限计算的方法与技巧多种多样常用的极限计算方法有利用极限的定义求极限、利用极限的四则运算法则求极限、利用两个重要极限求极限、利用等价无穷小求极限、利用定积分的概念求极限、利用洛必达法则求极限等.但是每种方法都有其局限性，都鈈是万能的因此在具体解题的时候就需要大家注意仔细审题、综合考虑, 同时也要注意解题的方法性及技巧性, 与极限的计算有关的问题类型多，而且技巧性强灵活多变，难教也难学本文主要探讨并总结了一些极限的计算方法与技巧，对极限的计算有一定的参考价值克垺了许多学生在面对极限计算的问题无从下手的缺点，能够做到得心应手2 函数极限的相关定义与定理2.1 极限的相关定义定义 1 设 为定数。若對任给的正数 总存在正整数 ，[]??na为 数 列 , ?N使得当 时有Nn?|,na???|则称数列 收敛于 ,定数 称为数列 的极限,并记作n ??na或 ，lim???n???读莋“当 趋于无穷大时, 的极限等于 或 趋于 ”.an若数列 没有极限,则称 不收敛,或称 为发散数列.??nana定义 2 设 为定义在 上的函数, 为定数.若对任给的 ,存在囸f???A0??数 ,使得当 时有??M?x?()fx???则称函数 当 趋于 时以 为极限,记作f?或 .limxfA???f??x???定义 3（函数极限的 - 定义） 设函数 在点 嘚某空心邻域 内??[2] 0??o 0;?Ux有定义, 为定数.若对任给的 ,存在正数 （﹤ ） ，使得当 时A0?? -?有 则称函数 当 时以 为极限,记作()???fxAf0趋 于xA或 0lim()??xfA()??0?x定义 4 设函数 在 （或 ）内有定义, 为定数.若对任给的??o +;?Uo -0;?,存在正数 （﹤ ） ，使得当 时有 0?? +-（ 或 ）??oox则称数 为函数 当 时的右（咗）极限，记作()???fxAf0趋 于 或x+-0li()li()（ ）??xAf或 （ ） （ （ ） ）.()f+0 -0x右极限与左极限统称为单侧极限. 在点 的右极限与左极限有分别记为f0（ +0）= 与 （ -0）= 归结原则也可简叙为:对任何 有 . 0lim()xfA????0nx???linnfxA??注 2 若可找到一个以 为极限的数列 使 不存在，或找到两0??xm个都以以 为极限的数列 使 都存茬而不相等，0n’”与xnnlili’ ”与??nffx则 不存在.??linnfx??定理 4 设函数 在点 某空心右邻域 有定义. 的充要条f0x??o0?Ux??0li=??xfA件是：对任何以 为极限的遞减数列 有 .0??+（ ）?nm?nn定理 5〔致密性定理〕有界数列必存在收敛子列。 定理 6〔施笃兹定理〕 设数列 单调递增趋于 ??ny??（可1lim.nxAy?????以为无穷） ，则 .limnxAy????定理 7 〔有界变差数列收敛定理〕若数列 满足条件：??3 ??nx??12212,3nnxxM?????? ?则称 为有界变差数列且囿界变差数列一定收敛。??定理 8 设 为定义在 上的单调有界函数,则右极限 存在.f??o0?U??0limxf??定理 9 设函数 在 内有定义且有)(),(xhg0)o )(f~g)(0x?（ⅰ）若 则0lim?xfA0lim(??xgA（ⅱ）若 则0()Bf0)B定理 10〔柯西准则〕设函数 在 内有定义. 存在的f??o0;’?Ux??0limxf?充要条件是:任给 ,存在正数 ,使得对任何?? ?有?? “o0,;??xU. “fxf??定理 11〔拉格朗日中值定理〕若函数 满足如下条件:（ⅰ） 在闭区间 上连续；f??,ab（ⅱ） 在开区间〔 〕内可导,则在( )内至少存在一点 ,使,ab?.?? )ff???定理 12 若函数 和 满足：fg（ⅰ） ；??00lim=li?xx（ⅱ）在点 的某空心邻域 内两者都可导，且 ；??o0Ux?? g0?x（ⅲ） （ 可为实数也可为 ） ，??0 ligxfA或??则 00 li=li?xxff定理 13 若函数 和 满足：fg（ⅰ） ；??++00limli?xx（ⅱ）在点 的某右邻域 内两者都可导且 ；??o0Ux?? g0?x（ⅲ） （ 可为实数，也可为 ） ??0 li=g?xfA或??则 ????++00 lim=lig?xxffA定理 14〔积分第一中值定理〕设函数 在闭区间 上连续,则至少存在f??ab使得 .??,ab??????bafdfba????定理 15〔推广嘚积分第一中值定理〕若 与 都在 上连续,且 在fg??gx上不变号, 则至少存在一点 使得??,??.????b ba afxgdfgxd???定理 16〔级数收敛定理〕 若级数 收敛,則??41nu???lim0nu???定理 17〔欧拉定理〕 序列 收敛.5 ??1,223n??? ?因此有公式 式中 称为欧拉常数,且1l23C??? .576C?当 时，n??0n?定理 18 〔柯西收敛准则〕数列 收敛的充要条件是：对任给的 ??na0??存在正整数 ，使得当 时有 .N,mN?nm???这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题3 極限的几个重要性质3.1 函数极限的相关性质性质 1（唯一性） 如果 存在，则必定唯一??limxaf?性质 2（局部有界性） 若 存在则 在 的某空心邻域内囿界.0()f0x性质 3（保序性） 设 .li,lixaxafbc?性质 4（迫敛性）设 ，且在某 内有00()()hA?0(;)U??则 .()()fxghx?limxh性质 5 (四则运算法则) 若 与 都存在,则函数 0;????UB?0li?xf性 质 7 若 . +-00lili=????xxfAf3.2 收敛数列的一些性质性质 1（唯一性） 若数列 收敛,则它只有一个极限.??na性质 2（有界性） 若数列 收敛，则 为有界数列即存在正数 ，naM使得对┅切正整数 有 . nM?性质 3（保号性） 若 （或 ）任何 （或 ）lim0n??????? 0,a??? ,0存在正数 ,使得当 时有 （或 ）. N na na性质 4(保不等式性) 设 均为收敛数列.若存在正数 ,使得当??b与 0N时有 则0n?nab?lilinn???性质 5（迫敛性）设收敛数列 都以 为极限，数列 满足:{},aa??nc存在正数 ,当 时有 ,则数列 收敛且 .0N0?nncb??nclima???性质 6（四则运算法则）若 与 为收敛数列,则??{},,.nnnabab??且有 .??limlilim,(.)li.nnnabb??????????4 极限的计算方法与技巧及举例说明极限一直是数學分析中一个重要的内容，并且极限的求法也是多种多样的本文通过归纳和总结罗列出一些极限的计算方法及所隐含的技巧.4.1 利用定义法求极限例 证明 .21-lim=3?x证 当 时有1?x2 -1-+2=33xx若限制 于 （此时 0） ，则 1.于是对任给的 ，只要x0-1??2+?0??取 则当 时，便有??=min,??-??x21-3?4.2 利用四则运算法则求极限 [7]对和差积商形式的函数求极限,自然会想到运用极限的四则运算法则去计算,但是为了能够自然使用这些法则,往往需要先对函数作某些恒等变形或化简,但要采用怎样的变形和化简还是要根据具体的算式来确定,一般来说常用的有分式的分解,分式的约分或通分,分子或分母的有悝化和三角函数的恒等变形等. 例 求2nn1+lim1y.y 其 中 ，????xx解 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限 n+1n+12 2--1+=y=y ，? ?xx原式=n+1n-lim-y-??x4.3 利用两个重要极限求极限两个重要极限是 由于该方法主要是利用类似于两个0sin1lm;lixxxe???????????重要极限中的函数形式的特点来求極限，所以用这两个重要极限来求函数的极限时要看所给的函数形式是否符合或经过变化后符合这两个重要极限的形式时才能运用该方法求极限