怎么得正交的基础解系正交化

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-01-12 07:58 标签： 基础解系正交化

二次型与实对称矩阵-例题,实对称矩阵,实对称矩阵的性质,什么是实对称矩阵,实对称矩阵的特征值,实对称矩阵的秩,实对称矩阵的对角化,实反对称矩阵,若a是实对称矩阵,实对称矩陣正定 

 证明:齐次线性方程的基础解系正茭化标准正交化后仍是基础解系正交化
证明 设n元齐次线性方程组Ax=0,其中R(A)=r,则基础解系正交化所含的向量的个数为n-r，记α1,α2,…,α(n-1)是一个基础解系正交化并记这个基础解系正交化标准正交化后所得的向量组为：ε1,ε2,…,ε(n-r)。
 
下面证明：向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)仍是齐次线性方程组Ax=0的基础解系正交化
事实上，由施密特正交化过程可知：向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)可由向量组α1,α2,…,α(n-1)线性表示而α1,α2,…,α(n-1)是基础解系正交化的基解向量，所以作为向量组α1,α2,…,α(n-1)线性组合的向量ε1,ε2,…,ε(n-r)都是齐次线性方程组Ax=0的解因此ε1,ε2,…,ε(n-r)是齐次线性方程组Ax=0的解空间S中的向量。
 
又因為ε1,ε2,…,ε(n-r)正交向量组所以ε1,ε2,…,ε(n-r)必定线性无关。由于α1,α2,…,α(n-1)是基础解系正交化所以齐次线性方程组Ax=0的解空间S的维数dimS=n-r。故知向量組ε1,ε2,…,ε(n-r) 是解空间S的一个极大线性无关组
 
因此，向量组ε1,ε2,…,ε(n-r)仍是齐次线性方程组Ax=0的基础解系正交化

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