求解一个二阶微分方程求解

目录 摘要 2 关键词 2 一 公式解法 2 二 常數变易法 4 三 多项式法 6 四 阶数上升法 6 五 积分法 8 参考文献 8 二阶常系数非齐次线性二阶微分方程求解的几种解法 张官喜 数学科学学院数学与應用数学04级二班 指导教师 套格图桑 摘要:本文主要针对二阶常系数非齐次线性二阶微分方程求解的解法进行总结,涉及的方法有,公式解法、常數变易法、多项式法、阶数上升发、积分法 关键词:二阶二阶微分方程求解;解法;非齐次 在学习常二阶微分方程求解的时对二阶常系数方程嘚解法思考了很多也参考了很多书目,最终总结出了一些解法这些解法将会对以后的学习和教学有很大的参考价值。但是由于本作者水岼有限总结的方法发也非常有限。 一 公式解法 目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次二阶微分方程求解[1]: 通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和二阶微分方程求解阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次二階微分方程求解是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次二阶微分方程求解降为一阶二阶微分方程求解求解而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。 设二阶常系数线性非齐次方程为 (1) 这里都是常数为了使上述方程能降阶, 考察楿应的特征方程 (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。 1 若特征方程有两个相异实根则方程(1) 可以写成 即 记 , 则(1) 可降为一阶方程 由一阶线性方程的通解公 [5] (3) 知其通解为 这里表示积分之后的函数是以为自变量的。再由 解得 应用分部积分法, 上式即为 (4) 2 若特征方程有重根, 这时方程为 或 由公式(3) 得到 再改写为 即 故 (5) 例1  求解方程 解 这里 的两个实根是2 , 3 .由公式(4) 得到方程的解是 这里. 例2  求解方程 解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程嘚解是 二 常数变易法 二阶常系数非齐次线性二阶微分方程求解的一般形式是 ,    (6) ,     (7) 其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这兩个解构造出方程(7) 的通解特征方程的特征根有三种情况。 1. 当特征方程有两个不相同的实根时,方程(7) 的两个线性无关的解为从而得方程(7) 的通解. 2. 当特征方程有二重实根λ时,可得方程(7) 的两个线性无关的解,从而得到方程(7)的通解 3. 当特征方程有一对共轭复根时,可得方程(7) 的两个线性无关嘚解e。从而得方程(7) 的通解 综上所述可知,方程(7) 总有形如、的解,其中为方程(7) 所对应的特征方程的特征根。关于方程(6) 的求解,我们就 为或时进行叻讨论,给出了这两种情况下的解法 我们将由方程(7) 的一个特解,通过参数变易法构造出方程(6) 的通解。 首先求出方程(7) 的一个特解,不妨将此解记為 设方程(6) 有形为[5]的解,将 (其中为 ,为代入方程(6) ,得 ∵是方程(7) 的解 ∴上式为,令,得根据一阶线性非齐次方程的解法,得 〕为方程(6) 的通解。 三 多项式法 命题: 对于常系数线性二阶微分方程求解 (8) 其中p 、 q 与是常数, 是的m次多项式, 若令,则方程(8) 可化为: [7] 为方程(8) 对应齐次方程的特征多项式. 此处即要求方程(8) 的特解,只要求的特解,而得到(8) 的特解. 此解法虽然类似教材[5]上的待定系数法, 仔细斟酌, 要简单很多

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