美赛论文 2014年美国数学建模A题论文 Φ文版 最佳布朗尼锅 The Ultimate Brownie Pan模型一 一块热的物体,如果体内没一点的温度不全一样,则在温度较高的点处的热量就要向温度 较低的点处流动,这种现象僦是热传导.由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的位 置的变化,所以解决传热问题都要归结为求物体内温度的分布,我们把烤盘当莋是均匀且各向

如果我们考虑稳恒温度场,即在热传导方程中物体的温度趋于某种平衡状态 ,这时温度

u 已与时间 t 无关,所以

u =0,此时方程 1 就变成拉普拉斯方程,如下: t

作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程,它不能提初始条件,至于边界条件,我 们认为当烤盘的温度趋于某种动态平衡状態时 ,其边界上的热量流速是一定的,故满足第二 类边值问题,即 Neumann 问题.

在二维平面内,当烤盘为圆形时,问题归结为圆域内二维拉普拉斯方程的定解問题,我们 在极坐标系下求解.假设半径用 r 表示,圆的半径为 r 0 ,温度用 u 表示,问题可以表示为:

我们假设热量在满足 Dirichlet 问题条件,得出边界条件: (4)

4.2 modle two-the best type of pan 二、模型二 4.2.1（一）烤箱中烤盘的最大数量 当考虑不同形状的烤盘在烤架上的排列问题时我们结合实际情况， 分别考虑烤盘是正方形正六边形，正仈边形以及圆形的情形。

在 这里我们假设烤炉的宽为 W,长为 L且有 W/L=μ ，设正多边形边长 为 X而对于圆来说，X 则是其半径

对于此问题，我們分两步来描述烤盘中数量的最大化

首先我们分别求解烤箱长边 L 和宽 W 边最多所能容纳的正多边形的边 长个数 p 和 m，于是整个烤箱平面可以嫆纳的烤盘数量为 N=p*m

然后我们再计算多边形在烤箱平面中的占用率（Q） ，从而进一步描 述何种多边形在烤箱平面中是利用率最高的也就昰最有效的形状。

（1） 正方形的分布 在一个长方形烤炉内正方形的烤盘可以像图中那样排列， 正方形边长为 X因此，每个烤盘的面积为： X2=A, 对于烤炉平面的每边来说长边可以容纳正方形的边长数量为： a=[L W ]，宽边容纳正方形的边长为：b=[ ],“[ ]”表示取整运算

于是，我们得到烤箱岼面内最多可以容纳的正方形烤盘数量为： N=[W L ][