一个数列能否有无穷多个极限点的定义？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-01-22 03:08 标签： 极限点

数列极限的两个等价定义

‘(1.百色學院数学与计算机科学系广西百色.河池学眼教师教育学院广西宜州546300)

摘要:对于蔹列极限定叉,一教教材都是采用F—N语言定史,但其逻辑结构抽象複杂,一爱不易理解为了汽化极限定艾,本文从

极限的几何意叉及非g—N语言两个方面给出敦列极限的两个相关等价定叉,以此来加强对极限定叉的理解。

关键词:数列极限等价定叉

数列极限定义是数学分析或高数的一个高度抽象难懂的数学概念,

它对以后的微积分学习及深入研究起著极其重要的作用因此,加强对数列极限定义的理解显得尤为重要。

在数学分析或高数的教材中,数列极限的一般定义都是这样描述的:若3A常數,re(无论他多么tb)>o,jⅣ∈Ⅳ+(自然数),当H>NN",有l口-一Al<占,则称常数以是数列h}的极限,记作哩q=A换一句话来说,如果憋q=A,那么对任意给定的F>0,存在自然数Ⅳ,当">Ⅳ时,恒有la.┅AI(F,即不满足la.一卅(F的项至多有a1,口2,a3,…口Ⅳ为有限多项。如果把数列的每一项看作数轴上的一个点,那么极限定义的几何解释就是:若哑q=A,则对于Vf>0,数列Φ必存在一项口^,,其以后各项%+I.口n2…,都落在点以的占邻域(A--E,A+f)中,而只有有限多项(至多顺)落在该邻域外面n1因此,我们不难得出数列极限的一个等价定

義,即数列极限几何定义:

若对任意给;毫OgE>0,数列h冲仅有有限多项不满足|口-一卅<F,则称A为数列池}的极限。

例:证明数列矗=÷的极限为l。

对于v譬>0,取Ⅳ=I二~l{,當,l>N时,有|口I一卅<譬即池}中不满足k—Ai<E的项至多只有顺,所以数列瓴}必定以1为极限。

例:数Yq{a.畋敛于实数A等价于()脚

A.对v占>0,在(爿一￡』+譬)内有数列{q}的无窮多项t

B.对v占>0,在f月一￡4+占)内有数列{以}的有穷多项,

D.对vf,0,在《A一占,4+￡)外有数列h}的有穷多项。

分析:由数列的等价定义分析可知正确答案是D,而知c答案不囸确例如数列“一l噶它没有极限,但如果假设A=t,则对任给o<占<l,在区间(A—F,一+占)即在(1-￡,l+F)内总有该数列的无穷多项。从而判断出A不正确,也知B不正确

從以上例题分析可知,掌握使用数列极限几何定义的关键就是在证明极限的过程中确定不满足k—AIc￡的项至多只有^颂(这里的』~是由给定的vf>O确定)。如果把定Y-中Ia.一Alce改为lq—AI<缸(五为大于的任意常数),其数列收敛也不改变,不满足l吒一A}<五F的项还是有限多项。即:若对任意给定的F>0,数列h}中仅有有限哆项不满足l口-一AI<知,则数列{q}极限为以

2数列极限的非s—N定义

设k}为一数列,口为常数。若存在单调递增无界恒正数列{D-},使得对一切自然数玎,都有|4.一ロl‘虿1,则称缸}是收敛数列,且以口为极限记为恕q=n或者q_'口(珂呻m)。㈨在这里可以对l口-一口I≤壶简

个恒正单调递减趋向于零的数列,由极限的几何萣义可知烛7r2o

令成2百,数列极限的非s一Ⅳ定义也可这样定义:

设{q}为一数列,口为一常数,若存在一个恒正单调递减趋向于零的数列{厦},使得对~切自然數,l,都有lq—al≤尼,则称k}是收敛数列,且以a为极限。记为l翌口^=o

推论l:若存在一个正数M则∽成堤一个恒正单调递减趋向于零的数列。(这里的危=上D)

溉由於忻茜2嘉,而髀k还是一个单调递增无界恒正数列,所以{材成j是一个恒正单调递减趋向于零的数列,且溉M成=熄筹=¨。

因为降刊孕l:丽1丽胁r厢㈣显

然是┅个单增递增无界恒正数列,同时屈=?7学警—-_为一个恒正

单调递减趋向于零的数列所以linl羔L2=l。

例:设数列{吒)有界,又!罂儿20,证明!婴x一虬0。

分析:只偠证明lK儿I≤屈(成为一个恒正单调递减趋向于零的数列)对于一切自然数n成立即可

证明:因为数列和。}有界,所以对于任意的自然数n,都存在一个囸数M,都有kl≤材又因为!婴儿20jk一0Is成jlY。I≤鼠(对一切自然数都成立),其中{晟}为一个恒正单调递减趋向于零的数列所以有k咒-0|-k%}≤Mj尼卜M忍,由推论l叮知,渺荿}还是一个恒正单调递减趋向于零的数列。从而有!lib。‘以0。

综上两种对极限定义的等价分析,我们就不难理解极限的抽象复杂

定义同時也解决了传统的s—M吾言定义造成晦涩难懂、逻辑结构抽象复杂的教学头痛问题。

【l】同济大学应用数学系【主编】.高等数学(第五版上册)[M】.北京:高等教育出版社,2002.

f2】徐兵,计幕然,等【主编】.高等数学焦点概念、性质分析【M】.北京:北京航空航天大学出版社,2002.

【3】刘宗贵.使用非晴言讲解微积分fJ】.高等数学研究,2002(3).

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