求教线性代数克拉默法则方程组，用克拉默法则求这个方程组。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-01-30 16:34 标签： 线性代数克拉默法则

这部分我们通过代数方法来求解

x 替换单位矩阵的第一列然后再乘以 A，我们得到一个第一列为 b 的矩阵而其余列则是从矩阵 A 中对应列直接拷贝过来的。

利用行列式的乘法法则我们有

x 放在单位矩阵的第二列即可。

0 detA??=0我们可以通过行列式来对

x，我们需要五个行列式

后面的四个行列式分别为 d，?c?b，a它们分别是矩阵的代数余子式

对任意大小的矩阵都满足，当右边是单位矩阵的一列时克拉默法则中矩阵 Bj? 的行列式是一个代数余子式。

∣B1?∣ 是代数余子式 C11?第二个行列式 ∣B2?∣ 是代数余子式 C12?，但是它位于逆矩阵的第一列也就是 (2，1) 的位置因此有

我们可以进行一個简单的验证，两边同时乘以

左边第一行乘以第一列可得

0

这可以看作是我们将矩阵 A 的第一行复制到第二行得到另外一个矩阵 A? 有两行元素楿同其行列式为零。另外我们注意到矩阵 是相同的，因此上式就是矩阵 A? 的行列式其值为零。

任何人都知道一个长方形的面积——底乘以高而一个三角形的面积为底乘以高的一半。但是如果我们只知道三角形三个顶点的坐标为

3×3 行列式的一半，如果其中一个坐标為原点的话那么行列式就只有

由于平行四边形的面积是三角形面积的两倍，因此从原点开始的平行四边形是一个

如果我们能证明平行四邊形的面积和行列式具有一样的性质那么面积就等于行列式。

    A=I时平行四边形就变成了单位正方形，面积为
  • 当两行进行交换的时候行列式改变符号，但平行四边形还是原来的平行四边形其面积的绝对值没有改变。
    • t    后面积就变为原来的 t倍。当其中一行不变而另一行加上 后，新的平行四边形的面积就为两个平行四边形面积的和

    注意右边的图形是一个平面图形，两个三角形的面积是一样的我画了一個草图，可能会更直观一点

    这个证明虽然不走寻常路，但是它可以很容易扩展到 n 维中去它们都满足行列式的三个基本性质。在三维中体积等于行列式的绝对值。

    两个向量的叉积定义为：

    叉积得到一个新的向量这个向量垂直于

    • v×u 交换了第二行和第三行，因此有

    • 性质 3： 姠量和自己的叉积是 0当 v 平行的时候，它们的叉积也为 0点积涉及余弦，叉积涉及正弦

    v 为边的平行四边形的面积等于它们叉积的模，**其實也就是底乘以高

    叉积遵守右手定则，叉积后向量的方向为右手大拇指指向的方向

    w 位于一个平面内，体积为零矩阵是不可逆的，行列式为零

    A 是奇异矩阵，那么有

    0

    CT 的每一列都位于矩阵 A 的零空间我们可以通过求解矩阵的代数余子式来求解 0

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