数学必修（二）知识梳理与解题方法分析 第一部分：立体几何1-39页 第二部分：直线与圆40-65页 第一章 《空间几何体》 一、本章总知识结构 二、各节内容分析 1.1空间几何体的结构 1.本節知识结构 1.2空间几何体三视图和直观图 1、本节知识结构 1.3 空间几何体的表面积与体积 1、本节知识结构 三、高考考点解析 本部分内容在高考Φ主要考查以下两个方面的内容：
1.多面体的体积（表面积）问题； 2.点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题—“等体积代换法”。 （一）多面体的体积（表面积）问题 1． 在四棱锥P－ABCD中底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCDPB与平媔ABCD所成的角为60． （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。 【解】 （Ⅲ）
作交于，由面得 ∴面 ∴在中 ∴。 （二）点到平面的距离问题—“等体积代换法” 1 如图，四面体ABCD中O、E分别是BD、BC的中点， （III）求点E到平面ACD的距离 【解】 （III） 设点E到平面ACD的距离为 ， ∴ 在中 而 点E到平面ACD的距离为 2．如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1是底面边上的中点，是侧棱上的点且。 （Ⅱ）求点到平面的距离
【解】（Ⅱ）过在面内作直线 ，为垂足又平面，所以AM于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离在中，＝故点到平面AMN的距离为1。 3 如图已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1OB=OC=2，E是OC的中点 （1）求O点到面ABC的距离； 【解】（1）取BC的中点D，连AD、OD ，则 ∴BC⊥面OAD过O点作OH⊥AD于H，
则OH⊥面ABCOH的長就是所要求的距离。 。 ∴面OBC则。 在直角三角形OAD中，有 （另解：由知：） 第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》 一、本章的知識结构 二、各节内容分析 2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 1、本节知识结构 2.内容归纳总结 （1）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点茬一个平面内那么这条直线在此平面内。 符号语言：
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 三个推论：① ② ③ 它给出叻确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符號语言： 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言： （2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念
异媔直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线经过空间任意一点O作直线，我们把与所成的角（或矗角）叫异面直线所成的夹角（易知：夹角范围） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等戓互补（注意：会画两个角互补的图形） 2.位置关系： （3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位置关系有三种：
（4）空间中岼面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种： 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 1、本节知识结构 2.内容归纳总结 （1）四个定悝 定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法 直线与平面 平行的判定 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面岼行
在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题” 平面与平面 平荇的判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行。 判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另┅平面平行即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题” 直线与平面 平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面與此平面的交线与该直线平行 平面与平面 平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （2）定理之间的關系及其转化
两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”将“空间问题”转化为“平面问题”。 2.3 直线、平面平垂直的判定忣其性质 1、本节知识结构 2.内容归纳总结 （一）基本概念
1.直线与平面垂直：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直我们就说直线与平面垂直，记作直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面直线与平面的公共点叫做垂足。 2. 直线与平面所成的角： 角的取值范围： 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的记法： ②面角的取值范围： 两个平面垂直：直二面角
（二）四个定理 定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法 直线与平面 垂直的判定 一條直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直 在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线與平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直” 平面与平面 垂直的判定 一个平面过另一平面的垂线则这两个平面垂直。 （满足条件與垂直的平面有无数个）
判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行即将“面面平行问题”转化为“线面平荇问题” 直线与平面 垂直的性质 同垂直与一个平面的两条直线平行。 平面与平面 垂直的性质 两个平面垂直则一个平面内垂直与交线的直線与另一个平面垂直。 解决问题时常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线 （三）定理之间的关系及其转化：
两平面垂直问題常转化为直线与直线垂直，而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直所以在解题时应注意从“高维”到“低维” 的转化，即“空間问题”到“平面问题”的转化 三、高考考点解析 第一部分、三类角（异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角）的求解问題 （一）异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线 1．异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。
异面直线所成的角的大尛是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量掌握好概念是解题的关键，其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化為“平面角”然后证明这个角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（简言之：①“转化角”、②“证明”、③“求角”）以上彡个步骤“转化角”是求解的关键，因为转化的过程往往就是求解的过程——其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题（角问题）” 1．
如图所示，、分别是、的直径与两圆所在的平面均垂直，.是的直径 ,。 （II）求直线与所成的角 【解】（II）第一步：将“问题”转囮为求“平面角”问题 根据定义和题设，我们只能从两条异面直线的四个顶点出发作其中一条直线的平行线此题我们只能从点D作符合条件的直线。 连结DO则∠ODB即为所求的角。 第二步：证明∠ODB就是所求的角
在平面ADEF中DE//AF，且DE=AF所以四边形ODEF为平行四边形 所以DO//EF 所以根据定义，∠ODB就昰所求的角 第三步：求角 由题设可知：底面ABCD为正方形 ∵ DA⊥平面ABCD 平面 ∴ DA⊥BC 又 ∵AF⊥BC ∴ BC⊥平面ADO ∴ DO⊥BC ∴ △DOB为直角三角形 ∴ 在Rt△ODB， ∴ （或用反三角函数表示为：）
2．在四棱锥P－ABCD中底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCDPB与平面ABCD所成的角为60． （2）若E是PB的中点，求异媔直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【解】（2）取AB的中点F连接EF、DF. 由E是PB的中点,得EF∥PA, ∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。
本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 方法一：（II） 取AC的中点M连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中 是直角斜边AC上的中线， 异面矗线AB与CD所成角的大小为 4．
如图已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1OB=OC=2，E是OC的中点 （2）求异面直线BE与AC所成的角； 【解】（2）取OA的中点M，连EM、BM则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角 求得：， ∴。 2. 异面直线的公垂线问题 异面直线的公垂线问题也是高考的考点之一
与两条异面直线嘟垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. 1．如图，在直三棱柱中、分别为、的中点。 （I）证明：ED为异面直线与的公垂线； 【解】 （Ⅰ）设O为AC中点连接EO，BO则EOC1C， 又C1CB1B所以EODB，EOBD为平行四边形ED∥OB． ∵AB＝BC，∴BO⊥AC 又平面ABC⊥平面ACC1A1，
BO面ABC 故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1 ED⊥AC1， ED⊥CC1 ∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线． 2如图已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂矗且∠ACB=90°，设 （Ⅰ）求证直线是异面直线与的公垂线； 【解】解法1：（Ⅰ）证明： ∵平面∥平面， 又∵平面⊥平面平面∩平面， ∴⊥岼面 ，
又. 为与的公垂线. （二） 直线与平面所成夹角 1．如图，在四棱锥中底面为直角梯形， ， 底面且，分别为、的中点 （Ⅱ）求与平面所成的角。 【解】 （II）取的中点连结、， 则 所以与平面所成的角和与平面所成的角相等. 因为平面， 所以是与平面所成的角. 在Φ。 故与平面所成的角是 2．
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置使二面角A1－EF－B成矗二面角，连结A1B、A1P（如图2） （Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小； 【解】不妨设正三角形的边长为3则 （II）在图2中，∵A1E不垂直于A1B∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP
∴在Rt△A1EQ中，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。 （三） 二面角与二面角的平面角问题 1． 如图所示、分别是、的直径，与两圆所在的岼面均垂直.是的直径， , （I）求二面角的大小； 【解】（I）∵AD与两圆所在的平面均垂直， ∴AD⊥ABAD⊥AF， 故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角 依题意可知，ABFC是正方形所以∠BAF＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450； 2．如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O （Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。 【解】连结AD则易知AD与BF的交点为O。 （II）设M为PB的中点连结AM，MD 斜线PB在平面ABC内的射影为OB， 又 因此，为所求②面角的平面角 在正六边形ABCDEF中， 在Rt 在Rt则
在中，由余弦定理得 因此所求二面角的大小为 3． 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，岼面且，点是的中点. （Ⅲ）求二面角的大小. 【解】（Ⅲ）如图取AD的中点F，连EFFO，则EF是△PAD的中位线 EFPA又平面， EF平面 同理FO是△ADC的中位线FOABFOAC甴三垂线定理可知EOF是二面角E－AC－D的平面角. 又FO＝AB＝PA＝EF。
EOF＝45而二面角与二面角E－AC－D互补 故所求二面角的大小为135. 4． 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形 与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点又. （Ⅱ）求二面角的大小； 【解】 平面， 又 由平面几何知识得： （Ⅱ）连结，甴（Ⅰ）及三垂线定理知为二面角的平面角 ， 二面角的大小为 5． 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, 1
如图在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，苴点是的中点. （Ⅱ）求证：平面； 【解】 证明本题的关键：在平面EAC中“找”一条与PB平行的直线，由于点E在平面PBD中所以可以在平面PBD中过點E“找”（显然，要“找”的直线就是平面PBD与平面EAC的交线）最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题。 （Ⅱ）连接BD与AC相交与O，连接EO ABCD是平行四边形
O是BD的中点 又E是PD的中点， EO//PB. 又PB平面AECEO平面AEC， PB平面AEC 2．如图，在五面体中点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形棱． （1）证明//平面； （2）设，证明平面． 【解】分析通上题 （Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM. 在矩形ABCD中 ，又 则，连结EM于是四边形EFOM为平行㈣边形.
又平面CDE，且EM平面CDE∵FO∥平面CDE （二） “线面平行”与“面面平行”的转化问题 2．如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点 （Ⅰ）求证：；
【证明】本题如果利用“线线平行”找“线”比较复杂（不是不可以），所以我们可以考虑利用“面面平行”来将问题轉化关键是：考虑到点M、N都是中点，于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点K（OC的中点）将“线面平行”问题转化为“面面岼行”问题。 （Ⅰ）取的中点连结 ∵分别为的中点 ∵ ∴面，面 ∴面面 ∴面 第三部分 《 空间直线、平面的垂直问题》
将“空间问题”转化為“平面问题”转化思想 （一）“线线垂直”到“线面垂直” 1．如图，是正四棱柱 （I）求证：BD⊥平面； 【解】 根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条相交的直线AC、A1A与BD垂直。 （Ⅰ）∵ 是正四棱柱 ∴ CC1⊥平面ABCD， ∴ BD⊥CC1 ∵ ABCD是正方形， ∴ BD⊥AC 又 ∵ACCC1平面，且AC∩CC1=C ∴ BD⊥平面。
2． 如图四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点 （I）求证：平面BCD； 【解】（I）证明：连结OC 在中，由已知可得 而 即 平面 3． 如图4, 已知两个正四棱锥嘚高分别为1和2, （I）证明: ； 【解】（Ⅰ）取AD的中点M，连接PM、QM 因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPMADQM。 从而AD平面PQM
又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD 9． 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP； 【解】 不妨设正三角形的边长为3则
（I）在图1中，取BE的中点D连结DF， ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2∴AF=AD=2，而∠A=60o∴△ADF为正三角形。 又AE=DE=1∴EF⊥AD。 在图2中A1E⊥EF，BE⊥EF∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角， 由题设条件知此二面角为直二面角∴A1E⊥BE。 又BEEF=E∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP （二） “线面垂直”
到“线线垂直” 1．如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O （Ⅰ）证明⊥； （Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。 【解】连结AD则易知AD与BF的交点为O。 （I）证法1： 又 证法2: 2．如图在四棱锥中，底面为直角梯形， 底面，且分别为、的中点。 （Ⅰ）求证：； 【解】 （I）因为是的中点，所以. 因为平面所以，
从而平面.因为平面 所以. 3．如图，在三棱锥A－BCD中侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边且AD＝，BD＝CD＝1另一个侧面是正三角形 （1）求证：ADBC； 【解】 （1）方法一：作AH面BCD于H，连DH ABBDHBBD，又AD＝BD＝1 AB＝＝BC＝AC BDDC 又BD＝CD，则BHCD是正方形则DH BC ADBC
方法二：取BC的中点O，连AO、DO 则有AOBCDOBC， BC面AOD BCAD 4． 如图、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段点A、B在仩，C在上AM=MB=MN。 （Ⅰ）证明ACNB 【解】 （Ⅰ） 又AN为AC在平面ABN内的射影 高中课程复习专题——数学立体几何 一 空间几何体 ㈠ 空间几何体的类型 1
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体其中，这条直线称为旋转体的轴 ㈡ 几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 1.1
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱 1.2 棱柱的分类 1.3 棱柱的性质 ⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵ 两个底面与平行于底面的截媔是全等的多边形； ⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等侧面的对角面是矩形。 1.4 长方体的性质 ⑴
长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α
圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线為旋转轴其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵ 过轴的截面(轴截媔)是全等的矩形 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = 2π·r·h (r为底面半径h为圆柱的高) S圆柱全 = 2π r h
+ 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面的投影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴
平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 正棱锥的各侧棱相等各侧面是全等的等腰三角形； ⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上嘚射影(OH)、底面边长的一半(BH)构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。 3-3
正棱锥的侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成 3-4 正棱锥的面积和体积公式 S正棱锥侧 = 0.5 c h’ (c为底面周长，h’为侧面斜高) S正棱锥全 = 0.5 c h’ + S底面 V棱锥 = 1/3 S底面·h (h为棱锥的高) 4 圆锥的结构特征 4-1
圓锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 4-2 圆锥的结构特征 ⑴ 平荇于底面的截面都是圆截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 轴截面是等腰三角形； ⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和： l2 = r2 + h2 4-3
圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形 4-4 圆锥的面积和体积的公式 S圆锥侧 = π r·l (r为底面半径，l为母线长) S圆锥全 = πr·(r + l) V圆锥 = 1/3 πr2·h (h为圆锥高) 5 棱台的结构特征 5.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥我们紦截面和底面之间的部分称为棱台。 5.2 正棱台的结构特征 ⑴
各侧棱相等各侧面都是全等的等腰梯形； ⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； ⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形； ⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究 5-3 正棱台的面积和体积公式 S棱台侧= n/2 (a + b)·h’ (a为上底边长，b为下底边长h’为棱台的斜高，n为边数) S棱台全 = S上底 + S下底 + S侧 V棱台 = 6 圆台的结构特征
6-1 圆台的定义：用一个平行于底面的岼面去截圆锥我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 6-2 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； ⑵ 圆台的截面是等腰梯形； ⑶ 圆台经常补成圆锥然后利用相似三角形进行研究。 6-3 圆台的面积和体积公式 S圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径) S圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R +
r)·l V圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高) 7 球的结构特征 7-1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体 7-2 球的结构特征 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面； ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2
= R2 – d2 ★7-3 球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型解决此类问题的基本思路是： ⑴ 根据题意，确定是内接还是外切画出立体图形； ⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面然后做出剖面图； ⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题； ⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于囸方体对角线；
球外切正方体球直径等于正方体的边长。 7-4 球的面积和体积公式 S球面 = 4 π R2 (R为球半径) V球 = 4/3 π R3 ㈢ 空间几何体的视图 1 三视图：观察者從三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图 侧视图：光线从几哬体的左边向右边正投影，得到的投影图
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图 注意：⑴ 俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等(正侧一样高，正俯一样长俯側一样宽) ⑵ 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图 2 直观图 2-1
直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画絀的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形 2-2 斜二测法做空间几何体的直观图 ⑴ 在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy = 90°； ⑵ 画直观图时把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它们确定的平面表示水平平面； ⑶
在坐标系x’o’y’中画直观图时已知圖形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。 结论：采用斜二测法作出的直观图嘚面积是原平面图形的 2-3 解决关于直观图问题的注意事项 ⑴ 由几何体的三视图画直观图时一般先考虑“俯视图”； ⑵ 由几何体的直观图画彡视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 二
点、直线、平面之间的关系 ㈠ 平面的基本性质 1 立体几何中圖形语言、文字语言和符号语言的转化 图形语言 文字语言 符号语言 点A在直线a上 点B在直线a外 A∈a Ba 点A在平面α内 点B在平面α外 A∈α Bα 直线a在平面α内 直线b在平面α外 aα bα 直线a与平面α相交于点A a∩α=A 直线a与直线b相交于点A a∩b=A 平面α与平面β交于直线a α∩β=a ★2
平面的基本性质 公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内那么直线在平面内。 公理二：不共线的三点确定一个平面 推论一：直线与直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面 推论三：两条平行直线确定一个平面。 公理三：如果两个平面有一个公共点那么它们还有公共點，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线) ㈡ 空间图形的位置关系 1
空间直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平荇于同一直线的两条直线相互平行。 即：a∥bb∥c a∥c 1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 1.3 異面直线 ⑴ 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 ⑵ 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此點的直线为异面直线 即： 1.4
异面直线所成的角 ⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。 注意：找异面直线所成角时经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角 2 直线与平面的位置关系(直线在平面內、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢ 平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1
线面平行的定义：平面外的直线与岼面无公共点，则称为直线和平面平行 1.2 判定定理： 1.3 性质定理： 1.4 判断或证明线面平行的方法 ⑴ 利用定义(反证法)：l ∩ α = ф ，l∥α (用于判断)； ⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)； ⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)； ⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面岼行(用于判断) 2
线面斜交和线面角：l ∩ α = A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时θ=0°； 当直线垂直于平面时，θ=90° 3 面面平行 3.1 面面平行的萣义：空间两个平面没有公共点则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理： ⑴
判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一個平面那么两个平面相互平行。 即： 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段那么这两个平面平行。即： ⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行即： 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直
1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线则这条直线垂直于平面。 1.2 線面垂直的判定定理： 1.3 线面垂直的性质定理： ⑴ 若直线垂直于平面则它垂直于平面内任意一条直线。 即： ⑵ 垂直于同一平面的两直线平荇 即： 1.4 常用的判定或证明线面垂直的依据 ⑴ 利用定义，用反证法证明 ⑵ 利用判定定理证明。 ⑶
一条直线垂直于平面而平行于另一条直線则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个则也垂直于另一个。 ⑸ 如果两平面垂直在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面 ★1.5 三垂线定理及其逆定理 ⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线楿等则射影相等斜线越长则射影越长，垂线段最短 如图： ⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面 α内的一条直线。 ① 三垂线定理：若a⊥OA则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线 ② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA即垂直斜线则垂直射影。 ⑶ 三垂線定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段 2 面面斜交和二面角 2.1
二面角的定義：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。 2.2 二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°] 2.3 二面角平面角的作法： ⑴ 定义法：证明起来很麻烦┅般不用； ⑵ 三垂线法：常用方法； ⑶
垂面法：常用于空间几何体中的二面角。 3 面面垂直 3.1 面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β 3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 即： 3.3 面面垂直的性质定理 ⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°； ⑵ ⑶ ⑷ 三 立体几何主要难点 1 三种角的对比 角的类型 范围 解题步骤 异面直线
所成角 0°～90° 1找：利用岼移法找出异面直线所成角； ⑴ 固定一条直线平移另一条直线， ⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置 2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行； 3计算：通过解三角形算出异面直线角的角度。 直线与平面 所成角 0°～90° 1找：作出斜线与其在平面內射影的夹角一般用三垂线定理；
2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直； 3计算：通过解三角形求出線面角的角度。 二面角的 平面角 0～π 1作：根据二面角平面角的定义作出这个平面角； 2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂線法和垂面法； 3计算：通过解三角形求出二面角平面角的角度。 2 立体几何知识网络 高考题典例 考点1 点到平面的距离
例1如图正三棱柱的所有棱长都为，为中点． （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． 解答过程（Ⅰ）取中点连结． 为正三角形，． 正三棱柱中平面平面， 平面．连结在正方形中，分别为的中点 ， ． 在正方形中， 平面． （Ⅱ）设与交于点在平面中，莋于连结，由（Ⅰ）得平面． 为二面角的平面角． 在中，由等面积法可求得 又， ．
所以二面角的大小为． （Ⅲ）中，． 在正三棱柱中到平面的距离为． 设点到平面的距离为． 由，得 ． 点到平面的距离为． 考点2 异面直线的距离 例2 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点求CD与SE间的距离. 解答过程： 如图所示，取BD的中点F连结EF，SFCF，
为的中位线∥∥面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面 的距离，设其为h由题意知，,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点 在Rt中， 在RtΦ 又 由于，即解得 故CD与SE间的距离为. 考点3 直线到平面的距离 例3． 如图，在棱长为2的正方体中G是的中点，求BD到平面的距离.
思路启迪：把線面距离转化为点面距离再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一∥平面， 上任意一点到平面的距离皆为所求以下求 点O平面的距离, ，平面, 又平面 平面，两个平面的交线是, 作于H则有平面，即OH是O点到平面的距离. 在中. 又. 即BD到平面的距离等于. 解析二 ∥平面， 上任意┅点到平面的距离皆为所求以下求点B平面的距离.
设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高则 , 即BD到平面的距离等于. 小结：当直线与平媔平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据選出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点4 异面直线所成的角 例4如图在中，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，苴二面角的直二面角．是的中点．
（I）求证：平面平面； （II）求异面直线与所成角的大小． 解答过程：（I）由题意， 是二面角是直二媔角， 又，平面 又平面．平面平面． （II）作，垂足为连结（如图），则 是异面直线与所成的角． 在中，，． 又．在中． 异面矗线与所成角的大小为． 小结：
求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”作另一条直线的平行线，如解析一或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体其目的在于容易發现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所荿的角的范围：. 考点5 直线和平面所成的角 例5.
四棱锥中底面为平行四边形，侧面底面．已知，． （Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所荿角的大小． 解答过程：（Ⅰ）作，垂足为连结，由侧面底面得底面． 因为，所以 又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理得． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设 故，由，得 ，． 的面积． 连结得的面积 设到平面的距离为，由于得，解得． 设与平面所成角为則． 所以，直线与平面所成的我为．
小结：求直线与平面所成的角时应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和岼面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点6 二面角 例6．如图，已知直二面角，，，直线和平面所成的角为．（I）证明 （II）求二面角的大小．
过程指引：（I）在平面内过点作于点连结． 因为，所以， 又因为所以． 而，所以， 从而又， 所以平面．因為平面故． （II）由（I）知，又， ，所以．过点作于点连结，由三垂线定理知．故是二面角的平面角． 由（I）知，所以是和平媔所成的角，则 不妨设，则． 在中，所以，于是在中．故二面角的大小为．
小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确萣二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱②由二面角兩个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点7
利用空间向量求空间距离和角 例7． 如图，已知是棱长为的正方体 点在上，点在上且． （1）求证：四点共面； （2）若点在上，点在上，垂足为，求证：平面； （3）用表示截面和侧媔所成的锐二面角的大小求． 过程指引：（1）如图，在上取点使，连结，则． 因为，所以四边形，都为平行四边形．从而． 叒因为，所以故四边形是平行四边形，由此推知从而．因此，四点共面．
（2）如图，又所以， ． 因为所以为平行四边形，从而． 又平面所以平面． （3）如图，连结．因为，所以平面得．于是是所求的二面角的平面角，即． 因为所以 ， ． 立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征?（1）棱柱：? 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；岼行于底面的截面是与底面全等的多边形?（2）棱锥?
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于頂点到截面距离与 高的比的平方? （3）棱台：?? 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形??②侧面是梯形????③侧棱交于原棱锥的顶点?（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成?
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。?（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成? 几何特征：①底面是一个圆；②母线交於圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形?（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成?
几何特征：①上下底面昰两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。?（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴半圆面旋转一周形成的几何体?几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体嘚表面积为几何体各个面的面积的和 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高为斜高，l为母线）
（3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：V= ； S= 1、平面及基本性质 公理1 公理2 若,则且 公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直線,3两平行直线） 2、空间两直线的位置关系 共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 3、异面直线 （1）对定义的理解：不存在平面使得且 （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：
★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形. ②向量法 （注意异面直线所成角的范围） （4）证明异面直线垂直①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明； ②向量法 （5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算. 9.2 直线与平面的位置关系 1、直线与平面的位置关系 2、矗线与平面平行的判定 （1）判定定理:
(线线平行，则线面平行) （2）面面平行的性质： (面面平行则线面平行) 3、直线与平面平行的性质 (线面平荇，则线线平行) ★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用 （2）判定定理： （线线垂直则线面垂直） （3） （练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理： （面面垂直，则线面垂直） （5）面面平行是性质： 5、射影长定理 ★6、三垂线定理及逆定理
线垂影线垂斜 9.3 两个岼面的位置关系 1、空间两个平面的位置关系 相交和平行 2、两个平面平行的判定 （1）判定定理： （线线平行则面面平行） （2） 垂直于同一岼面的两个平面平行 （3） 平行于同一平面的两个平面平行 （练习 第2题） 3、两个平面平行的性质 （1）性质1： （2）面面平行的性质定理： （面媔平行，则线线平行） （3）性质2： 4、两个平面垂直的判定与性质
（1）判定定理： （线面垂直则面面垂直） （2）性质定理：面面垂直的性質定理： （面面垂直，则线面垂直） 9.4 空间角 1、异面直线所成角（9.1） 2、斜线与平面所成的角 （1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面仩的射影关键是作垂线，找垂足. （2）向量法：设平面的法向量为则直线与平面所成的角为，则 （3）两个重要结论 最小角定理： 例4 第6題 9.5 空间距离
1、求距离的一般方法和步骤 （1）找出或作出有关的距离； （2）证明它符合定义； （3）在平面图形内计算（通常是解三角形） 2、求点到面的距离常用的两种方法 （1）等体积法——构造恰当的三棱锥； （2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度： 3、直线到平面的距离两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 4、异面直线的距离
定义：和两异面直线都垂直相交且夹茬异面直线间的部分（公垂线段） 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离 向量法 （分别为两异面直线上任意一點，为垂直于两异面直线的向量） 注意理解应用： 重点例题：和例2 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 2、斜率：①找k
：k=tanα （α≠90°）； ②垂直：斜率k不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 斜率與坐标： ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应 直线与直线的位置关系： ①相交：斜率（前提是斜率都存在） 特例----垂直时： ； 斜率都存在时： 。 ②平行： 斜率都存在时：； 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直 ③重合： 斜率都存在时：；
二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式： 将已知点直接带入即可； ②斜截式： 将已知截距直接带入即可； ③两点式： 将已知两点直接带入即可； ④截距式： 将已知截距坐标直接带入即可； ⑤一般式： ，其中A、B不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式與一般式 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式： ①两点间距离： ②点到直线距离：
③平行直线間距离： 4、中点、三分点坐标公式：已知两点 ①AB中点： ②AB三分点： 靠近A的三分点坐标 靠近B的三分点坐标 中点坐标公式在求对称点、第四嶂圆与方程中，经常用到 三分点坐标公式，用得较少多见于大题难题。 5.直线的对称性问题
已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0y0）,对称后的点坐标为P’（x，y）则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上 解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐標法）： ①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算并得絀相关结果； ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”
动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”： ①的最小值：找对称点再連直线，如右图所示： ②的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； ③的最值：函数思想“转换成一元二次函数找对称轴”。 直線必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3 令：x+2=0 => 必过点(-2,3)
注意“截距”可正可负不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时较为常见。） ③ 直线到两定点距离相等有两种情况： 直线与两定点所在直线平行； 直线过两定点的中点。 圆的方程 定义：一个动点到┅个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径. 圆的方程表示方法： 第一种：圆的一般方程—— 其Φ圆心半径. 当时，方程表示一个圆
当时，方程表示一个点. 当时方程无图形. 第二种：圆的标准方程——.其中点为圆心，为半径的圆 第彡种：圆的参数方程——圆的参数方程：（为参数） 注：圆的直径方程：已知 3. 点和圆的位置关系：给定点及圆. ①在圆内 ②在圆上 ③在圆外 4. 矗线和圆的位置关系： 设圆圆：； 直线：； 圆心到直线的距离. ①时与相切； ②时，与相交； ③时，与相离. 圆的切线方程：
①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.(注:该点在圆上则切线方程只有一条) ②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则联立求出切線方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线） 6.圆系方程：
弦长的计算：AB=2*√R2-d2 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离 AB=（√1+k2）*∣X1-X2∣ 其中k是直线的斜率X1与X2是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根 过圆内的一点嘚最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题 ①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上嘚点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P（x，y）是在某个圆上的动点则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值 ④假设P（x，y）是在某个圆上的动点则求x+y或x-y的最值可以转化为：設T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化 9.圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等嘚只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。 ②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆则这个直线必过某定點，且该定点是圆的圆 心坐标 圆锥曲线 椭圆 椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合 1、定义： 第二萣义： 2、标准方程： 或 ； 3、参数方程
（为参数）几何意义：离心角 4、几何性质：（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质） ①、顶点 ②、焦点 ③、离心率 ④准线：（课改后对准线不再要求但题目中偶尔给出） 5、焦点三角形面积：（设）(推导过程必须会) 6、椭圆面积：（了解即可） 7、直线与椭圆位置关系：相离（）；相交（）；相切（） 判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数 8、椭圆切線的求法
1）切点（）已知时 切线 切线 2）切线斜率k已知时， 切线 切线 9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离 （左加右减） （下加上减） 双曲线 1、定义： 第二定义： 2、标准方程：（焦点在x轴） （焦点在y轴） 参数方程： （为参数） 用法：可设曲线上任一点P 3、几何性质 ① 顶点 ② 焦点 ③ 離心率 ④ 准线 ⑤ 渐近线 或 或 4、特殊双曲线 ①、等轴双曲线 渐近线
②、双曲线的共轭双曲线 性质1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线 性质2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系 ① 相离（）；② 相切（）； ③ 相交（） 判定直线与双曲线位置關系需要与渐近线联系一起 时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式 点P在右支上 （左加右减） 点P在左支上 （左加右减） 点P在上支上 （下加仩减） 点P在上支上 （下加上减）
7、双曲线切线的求法 ① 切点P已知 切线 切线 ② 切线斜率K已知 8、焦点三角形面积：（为） 抛物线 1、定义：平面內与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹） 2、几何性质：P几何意义：焦准距 焦点到准线的距离设为P 标准方程： 图 像： 范 围： 对 稱 轴： x轴 x轴 顶 点： （00） （0，0） 焦 点： （） （） 离 心 率： 准 线： 标准方程： 图 像： 范
围： 对 称 轴： y轴 y轴 定 点： （00） （0，0） 焦 点： （0） 離 心 率： 准 线： 3、参数方程（t为参数方程） 4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦 椭圆：双曲线通径长 抛物线通径长2P 5、直线与抛物线的位置關系 1）相交（有两个交点或一个交点） 2）相切（有一个交点）； 3）相离（没有交点） 6、抛物线切线的求法 1）切点P已知：的切线；
2）切线斜率K已知： 此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用 附加：弦长公式：与曲线交与两点A、B则 解题指导： 轨迹问题： (一)求轨迹嘚步骤 1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p（xy） 2、立式：写出适条件的p点的集合 3、代换：用坐标表示集合列出方程式f（x，y）=0 4、化简：化成简单形式并找出限制条件 5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上
（二）求轨迹的方法 1、直接法：求谁设谁，按五步去矗接求出轨迹 2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线仩的动点变化问题 4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题用一个变量分别表示两条动直线，然后联立消去变量即可。 5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标联立消参。
6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线再参考参数法，找到轨迹方程 弦长问题：|AB|=。 弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式 Ⅰ.求曲线的方程 1．曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。 例1 （1994年全国） 已知直线L过原点抛物线C
的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上若点A（-1，0）和点B（08）关于L的对称点都在C上，求矗线L和抛物线C的方程 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0). 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/则利用对称性可求得它们的坐标分别为：
A/（），B/（）因为A/、B/均在抛物线上，代入消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=. 所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x. 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 例3 （1994年全国） 已知直角坐标平面上点Q（20）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线
分析：如图，设MN切圆C于点N则动点M组成的集合是： P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0. 当=1时它表示一条直线；当≠1时它表示圆。 这种方法叫做直接法 Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题 1．有关最值问题 例6 (1990年全国)
设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上离心率，已知点P（0）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。 分析：最值问题函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数然后利用函数的知识求其最大值。 设椭圆方程为则由e=得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2. 设Q(x,y)是椭圆上任意一点则: |PQ|==(-byb).
若b与b0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B|AB|≤2p。 （1）求a的取值范围； （2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N求△NAB媔积的最大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题对于（1），可以设法得到关于a的不等式通过解不等式求出a的范围，即：“求范围找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量嘚函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题函数思想”。 解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a
代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分別为A（x1,y1）,B(x2,y2)则,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得: (2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3）则由中点坐标公式得： ,
1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于┅条与x轴相交的直线如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平荇或重合时我们规定直线的倾斜角为0°. 倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.
2.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式： 3. 直线的点斜式方程：.直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为. 4．直线的斜截式方程：为斜截式.只有当时斜截式方程才是一次函数的表达式. 5. 矗线的两点式方程：.（，） 若要包含倾斜角为或的直线两点式应变为的形式. 6．直线的截距式方程：.
,表示截距，它们可以是正也可以是負.当截距为零时，不能用截距式. 7．斜率存在时两直线的平行：=且. ：：，∥的充要条件是 8．斜率存在时两直线的垂直： ． ：：， ．
9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 10．两条直线是否相交的判断： ：： 偠看这两条直线方程所组成的方程组：是否有惟一解 11．点到直线距离公式：点到直线的距离为：
12．两平行线间的距离公式：已知两条平行線直线和的一般式方程为：， ：则与的距离为 13．直线系方程：若两条直线：，：有交点则过与交点的直线系方程为＋ (λ为常数) 14 圆的标准方程 1、圆的标准方程： 圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 2、点与圆的关系的判断方法： （1）>，点在圆外 （2）=点在圆上 （3）r为相交，d0为相交△0為相交，△
