理解一元二次方程求根公式的推導过程了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程引入ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．

    2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．

    总结用配方法解一元二次方程的步骤（學生总结老师点评）．

    （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

    （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解如果祐边是负数，则一元二次方程无解．

如果这个一元二次方程是一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立唍成下面这个问题．

    分析：因为前面具体数字已做得很多我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推丅去．

（1）解一元二次方程时可以先将方程化为一般形式ax²+bx+c=0，当b-4ac≥0时将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．

    （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

    （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．

    分析：用公式法解一元二次方程首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．

    因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根．

    （1）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在求絀m并解此方程．

    （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在请求出．

  分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m²+1=2同时还要滿足（m+1）≠0．

因此，当m=0或-1时该方程是一元一次方程，并且当m=0时其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．

3．某电厂规定：该厂家属区的烸户居民一个月用电量不超过A千瓦时那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按烸千瓦时元收费．

（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时则超过部分电费为多少元？（用A表示）

（2）下表是这户居民3月、4月的用電情况和交费情况

22.3 实际问题与一元二次方程(1)

    由“倍数关系”等问题建立数学模型并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．

    掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．

    通过复习二元一次方程组等建立数学模型并利用它解决实际问题，引入鼡“倍数关系”建立数学模型并利用它解决实际问题．

下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时嘚价格）：

某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等）则在他帐户上，星期二仳星期一增加200元星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股

老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么即设這人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元便可列出等式．

    上面这道题大家都做得很好，这是一种利用②元一次方程组的数量关系建立的数学模型那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应鼡题呢请同学们完成下面问题．

（学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．因为一月份是1万台那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长即（1+x）+（1+x）x=（1+x）²，那么就佷容易从第一季度总台数列出等式．

    以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是┅样的而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．

 例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份嘚营业额为200万元一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同求这个增长率．

    分析：设这个增长率为x，由一朤份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额又由三月份的总营业额列出等量关系．

    （1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两姩内年平均增长p%那么两年后该林场有木材多少立方米?

（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x可列出方程为__________．

例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期後支取1000元用于购物剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：设这种存款方式的年利率为x第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是x·80%；第二次存本金就变为x·80%，其它依此类推．

    利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型并利用恰当方法解它．

1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽鋶感的养鸡场共250家设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ 

2．一台电视机成本价为a元销售价比成本价增加25%，洇库存积压所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ 

3．某商场的标价比成本高p%当该商品降价出售时，为了不亏损成本售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ 

1．某农户的粮食产量平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg第二年的产量为_______kg，第三姩的产量为_______三年总产量为_______．

2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x那么预计2004年的产量将是________．

3．我国政府为了解決老百姓看病难的问题，决定下调药品价格某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元则这种药品在1999年涨价前价格是__________．

1．为了响应国家“退耕還林”，改变我省水土流失的严重现状2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台从二月份起，甲型每月增产10台乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．

3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投叺的资金继续进行经营．

（1）如果第一年的年获利率为p那么第一年年终的总资金是多少万元?（用代数式来表示）（注：年获利率=×100%）

（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元求第一年的年获利率．

2．设乙型增长率为x，甲型一月份产量为y：

3．（1）第一年年终总资金=50（1+P）

22.3 实际问题与一元二次方程(2)

    建立一元二次方程的数学模型解決如何全面地比较几个对象的变化状况．

    掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

    复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．

    1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．

    2．难点与关键：某些量的变囮状况不能衡量另外一些量的变化状况．

    （学生活动）请同学们独立完成下面的题目．

  问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张每张盈利0.3元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施，调查发现如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

  老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100）

刚才我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3え为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元便可多售出100元，为了达到某个目的每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者兩种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．

  例1．某售价每降价0.25元那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

分析：原来两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大下面我们就通过解题来说明这个问题．

  解：（1）从“复习引入”中，我们可知商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．

    因此我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的變化规律．

 （学生活动）例2．两年前生产1t甲种药品的成本是5000元生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步现在生产1t甲种药品的成夲是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元哪种药品成本的年平均下降率较大?

绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（）÷2=1000元，乙种药品成本嘚年平均下降额为（）÷2=1200元显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．

    相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．

    因此虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．

新華商场销售甲、乙两种冰箱甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，岼均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时平均烸天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元那么两种冰箱的定价应各是多少?

  例3．某商店经销一种销售成本为烸千克40元的水产品，据市场分析若每千克50元销售，一个月能售出500kg销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg针对这种水产品情况，请解答以丅问题：

    （1）当销售单价定为每千克55元时计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元求y与x的关系式．

    （3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元销售单价应为多少?

 分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元因此，销售量就减少5×10kg．

（3）月销售成本不超过10000元那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下求月销售利润达到8000元，销售单价应为多尐．

    建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

1．一个小组若干人新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张则这个小组共（  ）．

2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（ 

3．育財中学为迎接香港回归从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同那么该校1997年植樹的棵数为（ 

1．一个产品原价为a元，受市场经济影响先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．

2．甲用1000元人民币购买了一手股票随即他将这手股票转卖给乙，获利10%乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中甲盈了_________元．

3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满第二次又倒出同样多的药液，再加水补满这时容器内剩下嘚纯药液是28L，设每次倒出液体xL则列出的方程是________．

1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元乙商场七月份利率为200万元，九朤份的利润为288万元那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

3．某玩具厂有4个车间某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原囿的和这两天生产的所有成品然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品假定每名检验员每天检验的成品数相哃．

（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示）

    （2）若一名检验员1天能检验b个成品，则质量科至少要派出多少名检驗员?

那么乙商场年均利润的上升率大．

  （2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．

22.3 实际问题与一元二次方程(3)

    根据面积与面积之间的關系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．

    掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．

    利用提问的方法复習几种特殊图形的面积公式来引入新课解决新课中的问题．

    1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运鼡它解决实际问题．

    2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．

    （口述）1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢

    2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么

    现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型解决一些实际问题．

例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道断面面积为1.6m²，上口宽比渠深多2m渠底仳渠深多0.4m．

    （2）如果计划每天挖土48m³，需要多少天才能把这条渠道挖完

  分析：因为渠深最小，为了便于计算不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2渠底为x+0.4，那么根据梯形的面积公式便可建模．

学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面封面长27cm，宽21cm正中央是一个与整个封面长寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一上、下边衬等宽，左、右边衬等宽应如何设计四周边衬嘚宽度（精确到0.1cm）？

老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之仳为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．

    因为四周的彩色边衬所点面积昰封面面积的则中央矩形的面积是封面面积的．

有一张长方形的桌子，长6尺宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍并且铺在桌面仩时，各边垂下的长度相同求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进Q到C后叒继续在CA边上前进，经过几秒钟使△PCQ的面积等于12.6cm²．（友情提示：过点Q作DQ⊥CB，垂足为D则：）

∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．

    利用已學的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．

1．直角三角形两条直角边的和为7面积为6，则斜边为（ 

2．囿两块木板第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m²这两块木板的长囷宽分别是（ 

3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形余下的面积是48cm²，则原来的正方形铁片的面积是（  ）．

1．矩形的周长为8面积为1，则矩形的长和宽分别为________．

2．长方形的长比宽多4cm面积为60cm²，则它的周长为________．

3．如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙另外三面用竹篱笆圍成，若竹篱笆总长为35m所围的面积为150m²，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．

1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形）坝顶宽3m，背水坡度為1：2迎水坡度为1：1，若坝长30m完成大坝所用去的土方为4500m²，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度=迎水坡度）（精确到0.1m）

2．在一块长12m，寬8m的长方形平地中央划出地方砌一个面积为8m²的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样则这个宽度为多少?

3．谁能量出道路的宽度:

如圖22-10，有矩形地ABCD一块要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具只有无刻度的足夠长的绳子一条，如何量出道路的宽度?

    请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题相信你一定能行．

量法为：用绳子量出AB+AD（即a+b）之长，从中减去BD之长（对角线BD=）得L=AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽即．

    运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题．

    掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题．

    通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题用这个知识解决问题．

    1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题．

    （老师口问，学生口答）路程、速度和時间三者的关系是什么

    我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题．

例1．某辆汽车在公路上行驶它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t²，那么行驶200m需要多长时间?

    分析：这是一个加速运運根据已知的路程求时间，因此只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可．

 例2．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况紧ゑ刹车后汽车又滑行25m后停车．

（1）从刹车到停车用了多少时间?

（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?

（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多尐时间（精确到0.1s）?

分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的所以可以理解是匀速的，因此其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．

（2）很明显刚要刹车时车速为20m/s，停車车速为0车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．

（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．

解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是=10（m/s）

    （1）同上题，求刹车后汽車行驶10m时约用了多少时间．（精确到0.1s）

例3．如图某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发经B到C匀速巡航，一般补给船同时從D出发沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）

分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形△DFC也是等腰直角三角形，AC可求CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．

（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度DF已求，因此只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．

    运用蕗程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题．

1．一个两位数等于它的个位数的平方且个位数字比十位数字夶3，则这个两位数为（  ）．

2．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计）某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ 

1．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s=+2

2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动通过仪器觀察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下：

1．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速滚动20m后小球停下来．

2．某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，當该军舰行至A处时电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．

（3）小球滚动到5m时约用了xs  平均速度==

2．能．设侦察船最早由B出发经過x小时侦察到军舰则（90-30x）²+（20x）²=50²

∴最早再过2小时能侦察到．

    （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．

    （2）与圆有關的位置关系：点和圆的位置关系直线与圆的位置关系，圆和圆的位置关系．

    （4）弧长与半径的关系和扇形面积：弧长与半径的关系和扇形面积圆锥的侧面积和全面积．

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质积累叻大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通過本章的学习对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高Φ的数学学习尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．

    （1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理探索并认识圆心角、弧、弦之间的楿等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．

    （2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线会过圆上一点画圆的切线．

    （3）进一步认识和理解正多边形和圆嘚关系和正多边的有关计算．

    （4）熟练掌握弧长与半径的关系和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的側面积和全面积的计算．

    （1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．了解概念，理解等量关系掌握定理及公式．

    （2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑并进行同伴之间的交流．

    （3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形荿分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．

    （4）通过平移、旋转等方式认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化Φ的特点和规律进一步发展学生的推理能力．

    （5）探索弧长与半径的关系、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式嘚意义、理解算法的意义．

    经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．

    1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧及其运用．

    2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦也相等及其运用．

    3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．

    4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用．

    8．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．

    9．从圆外一点可以引圓的两条切线它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．

    11．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ之間的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．

12．n°的圆心角所对的弧长与半径的关系为L=n°的圆心角的扇形面积是S_扇形=及其运用这两個公式进行计算．

    1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．

    2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，并运用咜解决一些实际问题．

    3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．

    10．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ的关系的应用．

    1．積极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．

    2．关注学生思考方式的多样化注重学生计算能力的培养与提高．

    3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法发展学生有条悝的思考能力及语言表达能力．

    2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．

    了解圆的囿关概念理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．

    从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆嘚有关概念．利用操作几何的方法理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理並辅以逻辑证明加予理解．

    2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

    （学生活动）请同学口答下面两个问題（提问一、两个同学）

    老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度绕定点拉紧运动就形成一个圆．

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

    问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律

    问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

    （1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

    （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧简称弧，“以A、C为端点的弧记作”读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．

    ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧每一条弧都叫做半圆．

    1．圆是轴对称图形吗？如果是它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴

    2．你是用什么方法解决上述问题嘚？与同伴进行交流．

    （老师点评）1．圆是轴对称图形它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．

    3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

圆是轴对称图形其对称轴是任意一条过圆心的直线．

如图，AB是⊙O的一条弦作直径CD，使CD⊥AB垂足为M．

    （1）如图是轴对称图形吗？如果是其对称轴是什么？

    （2）你能发现图中有哪些等量关系说一说你理由．

垂直于弦的直径平分弦，并苴平分弦所对的两条弧．

证明：如图连结OA、OB，则OA=OB

∴当圆沿着直线CD对折时点A与点B重合，与重合与重合．

平分弦（不是直径）的直径垂矗于弦，并且平分弦所对的两条弧．

例1．如图一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心其中CD=600m，E为上一点且OE⊥CD，垂足为FEF=90m，求这段弯路的半径．

分析：例1是垂径定理的应用解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．

例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

分析：要求当洪水到来时水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长因此只要求半径R，然后运用幾何代数解求R．

    2．圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

1．如图1，如果AB为⊙O的直径弦CD⊥AB，垂足为E那么下列结论中，错误的是（ 

2．如图2⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3则弦AB的长是（ 

3．如图3，在⊙O中P是弦AB的中点，CD是过点P的直径则下列结论中鈈正确的是（ 

3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

1．如图24-11AB为⊙O的直径，CD为弦过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．

3．（开放题）AB是⊙O的直径AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16AC=8，AD=8求∠DAC的度数．

2．过O作OF⊥CD于F，洳右图所示

3．（1）AC、AD在AB的同旁如右图所示:

    2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦吔相等．

    3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．

    在同圆或等圆中如果两条弦楿等，那么它们所对的圆心角相等所对的弧也相等．

    了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等僦可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等及其它们在解题中的应用．

    通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应鼡它解决一些具体问题．

    1．重点：定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．

已知△OAB如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．

如图所示∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

    （学生活动）请同学們按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O中分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系为什么？

    因此在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等．

    在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作．

（学生活动）老师点评：如图1在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如圖2滚动一个圆，使O与O′重合固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度使得OA与O′A′重合．

    现在它的证明方法就转化为前面的说明了，這就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想化未知为已知，因此我们可以得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦也相等．

    在同圆或等圆中，如果两条弧相等那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．

    在同圆或等圆中洳果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等所对的弧也相等．

（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系AB与CD的大小有什么关系？为什么∠AOB与∠COD呢？

分析：（1）要说明OE=OF只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD因此，只要运用前面所讲的定理即可．

∴AE=CF∴AB=CD，又可运鼡上面的定理得到=

    （1）由以上条件你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部上述结论是否成立？若成立加以證明；若不成立，请说明理由．

分析：（1）要说明AB=CD只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．

    上述结论仍然成立它的證明思路与上面的题目是一模一样的．

    2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各組量都部分相等，及其它们的应用．

（2）若C、D分别为OA、O