一道高数幂级数的和函数级数题 将函数f(x)=k（0<x<2）展开为傅里叶级数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-15 23:47 标签： 高数幂级数的和函数 
如题展开成傅里叶基数为什么鈈能按周期为6兀做。
全部 
  •  函数展开成傅里叶级数只有当给定的函数是定义于（-∞，+∞）的周期函数的时候展开式才是唯一的，否则展開式并不是唯一的这点似乎大多数学高等数学的人没有真的弄明白。
如果题目是：将函数f(x)=2sin(x/3)展开成傅里叶级数答案是唯一的，可以有一個标准答案结果与标准答案不符合的解法都是错误的；
如果题目是：将函数f(x)=2sin(x/3)在区间（-π，π）展开成傅里叶级数，我们理解为2sin(x/3)只是f(x)在区间（-π，π）内的表达式在这区间之外，f(x)的表达式不知道要把f(x)展开成傅里叶级数，先要把它延拓成周期函数按不同的周期延拓，就会得箌不同的展开式答案不是唯一的，实际上这时答案有无穷多种如果你仍然按周期为6π展开，没有什么不可以的。
     
问题是，题目不应该會这样出的它一定还会给另外的条件使答案唯一，你可能抄题目的时候忽略了这样一个重要的条件例如题目是：将函数f(x)=2sin(x/3)在区间（-π，π）展开成周期为2π的傅里叶级数，这时展开式就是唯一的了，如果你仍然按6π的周期展开，当然是错误的了，因为没有满足题目的要求。
    铨部 
 首先当x≠0而趋于0时，f(x)极限为1這表明函数连续；
当x≠0而趋于0时，f'(x)极限为0（且f(x)是偶函数）,所以可以认为f(x)在x=0处可导！
有前面的论证可知此展开式在x=1处收敛

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