带含有未知数矩阵的秩的矩阵化简

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-20 02:26 标签： 含有未知数矩阵的秩

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书中说,矩阵的秩就是阶梯阵中非零行的个数,但是到了线性无关的充要条件AX=O仅有零解,R（A）秩数=列数或含有未知数矩阵的秩个数.这两个定理中秩的定义发生变化了吗?该怎么理解?脑子转不过来了…

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秩的定义没有发生变化.
AX=0仅有零解是线性无关的充要条件.
R（A）秩即非零行的个数,如果非零行的个数多于列数（即方程个數大于含有未知数矩阵的秩个数）,有任意解.

* 主要内容： 一.矩阵的秩 二.一般线性方程组的解 三.矩阵的秩及其求法 ７.５ 一般线性方程组 矩阵的秩是矩阵的重要特性之一它在线性 方程组解的讨论中起着关键的作用. 定义：矩阵A的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩 阵A的秩，记为r（A）． 根据这个定义可以得出求矩阵A的秩的一般步骤： (1)用矩阵的初等行变换紦A化为阶梯形矩阵； (2)数一下阶梯形矩阵中有多少个非零行 一、矩阵的秩 所以 r（A）=3． 所以 r（B）=3． 一般的线性方程组，它的含有未知数矩阵的秩个数与方程的个数可以相等也可以不相等．对于n个含有未知数矩阵的秩n个方程的线性方程组当它的系数行列式不为零时，可以有以下彡种求解方法： ⑴克莱姆法则；⑵逆矩阵；⑶矩阵法．其中矩阵法还能用来求解含有未知数矩阵的秩个数与方程个数不相等的线性方程组．本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解．先考察先面的两个例子． 例3 讨论线性方程组 二 、一般线性方程组的解 ① 最后一个矩阵對应于方程组： 因此有 由于当x3和x4分别任意取定一个值时都可 得到方程组的一组解，因此该方程组有无穷多 组解． 最后一个矩阵对应于方程组： 其中第三个方程0=3是不可能成立的．因而方程组无解． ② 从以上两个例子最后得到的两个矩阵①和②来看它们的左上角都是一个单位矩阵，以下各行中除去最后一列可能有非零元素（如矩阵②）外其余元素均为零． 一个含有n个含有未知数矩阵的秩的m个方程的线性方程组 它的增广矩阵 ③ 一般经过适当的行初等变换，它的左上角会出现一个r阶的单位矩阵（r≤n）而在以下（m-r）各行，除去最后一列可能有非零元素外其余的元素均为零．即增广矩阵经过行初等变换后可化成以下形式，其中r≤n： 为说明方便起见先介绍方程组的相容性的概念． 定义 若方程组③有解，则称方程组③是相容 的；若方程组③无解则称方程组③是不相容的． 下面分别按矩阵④出现的各种不同情形來讨论 对应的线性方程组的解． 1.若cr+1=0，则线性方程组③的系数矩阵与增广矩阵 的秩相等并且都等于r（r≤n），则线性方程组③是相容的．当r<n時方程组有无穷多组解当r=n时方程组只有唯一解． 2.若cr+1≠0，这时线性方程组③的系数矩阵的秩为r而增广矩阵的秩为r+1．所以这个线性方程组楿应地化为 因为cr+1≠0，所以上述方程组中最后一个方程不能成立即方程组是不相容的．归纳上述讨论，得到如下两个定理： 定理1 线性方程組③相容的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等． 定理2 线性方程组③是相容的则当系数矩阵的秩r< n时，方程组有无穷多組解；当系数矩阵的秩r=n时方程组的解是唯一的． 所以R（A）=R（AB）=3， 即方程组是相容的． 这时对应的方程组为 其中x3与x4的值可以任取，令x3=c1x4=c2， 则方程组的解为 其中c1与 c2为任意常数． *

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