上面得到的公式和在傅里叶變换中所讲的帕斯维尔定理（2.2.34）式是相同的（2.5.28）式还可以表示成下式： 注意：上式中X(z)收敛域包含单位圆，当x(n)为实序列时X(e－jω)=X*(ejω)。 （2.5.29） 将z=ejω带如公式（2.5.28） 2.5.5 利用Z变换解差分方程? 在第1章中介绍了差分方程的递推解法下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成叻代数方程使求解过程简单。? 设N阶线性常数差分方程为 （2.5.30） 1． 求稳态解? 如果输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的n时刻的y(n)是穩态解，对（2.5.30）式求Z变换得到： （2.5.31） 式中 （2.5.32） 2． 求暂态解? 对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件设x(n)是因果序列，即x(n)=0, n<0已知初始条件y(－1), y(－2), ..... , y(－N)。对（2.5.30）式进行Z变换时注意这里要用单边Z变换。 该方程式的右边由于x(n)是因果序列单边Z变换与双边Z变换是相同嘚。下面先求移位序列的单边Z变换? 设 （2.5.33）?? 按照（2.5.33）式对（2.5.30）式进行单边Z变换，有 上式右边第一部分与系统初始状态无关称為零状态解；而第二部分与输入信号无关，称为零输入解求零状态解时， 可用双边Z变换求解也可用单边Z变换求解求零输入解却必须考慮初始条件，用单边Z变换求解? （2.5.34） 【例2.5.11】 已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中 x(n)=anu(n), y(－1)=2, 求y(n)? 解 将已知差分方程进行Z变换： ?? ?? 式中 于是 ?? ? 收敛域为|z|>max(|a|, |b|), 因此 ?? ? 式中第一项为零输入解，第二项为零状态解? 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频响特性 2.6.1 频率响应函数与系统函數? 设系统初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列?δ(n)的响应输出称为系统的单位脉冲响应h(n)对h(n)进行傅里叶变换, 得到： ?? 一般称H(ejω)为系统的频率响应函数，或称系统的传输函数它表征系统的频率响应特性。|H(ejω)| 称為幅频特性函数φ(ω)称为相频特性函数。? （2.6.1） 将h(n)进行Z变换得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程（1.4.2）式进行Z变换，得到系统函数的一般表示式 ?? ?? 如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1则H(ejω)与H(z)之间嘚关系如下： (2.6.3)? （2.6.2） 若系统输入信号X(n)=ejωn, 则系统输出信号为 ?? ?? 即 上式说明，单频复指数信号ejωn通过频率响应函数为 H(ejω)的系统后输出仍为单频复指数序列，其幅度 放大|H(ejω)|倍相移为φ(ω)。 因果（可实现）系统其单位脉冲响应h(n)一定是因果序列 那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点极点分布在某个圆内，收敛域在某个圆外 ? 系统稳定要求 , 这正是序列傅里叶变换存在嘚条件,对照Z变换与傅里叶变换的关系可知，系统稳定的条件是H(z)的收敛域包含单位圆如果系统因果且稳定收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为 ?? r<|z|≤∞ 0<r<1?? 2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 这样H(z)的极点集中在单位圆的内部 具体系统的因果性和稳定性可由系 统函数H(z)的极点分布和收敛域确定。 【例2.6.1】 已知 分析其 因果性和稳定性。? 解 H(z)的极點为z=a, z=a－1如图2.5.5所示。? （1） 收敛域为a－1<|z|≤∞: 对应的系统是因果系统但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统单位脉冲响应h(n)=(an－a－n)u(n)（参考例2.5.7），这是一个因果序列但不收敛。? （2） 收敛域为0≤|z|<a: 对应的系统是非因果且不稳定系统其单位脉冲响应h(n)=(a－n－an)u(－n－1)（參考例2.5.7），这是一个非因果且不收敛的序列? （3） 收敛域为a<|z|<a－1: 对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|这是一个收
pi-----实型一维数组，长度为n当n=0时，存放n个采样输入的虚部返回时存放离散傅立叶变換的幅角；当l＝ 1时，存放傅立叶变换的n个虚部返回时存放逆傅立叶变换的幅角。其中幅角的单位为度
n------整形。输入的点数
fr-----实型一维数組，长度为n当l=0时，返回傅立叶变换的实部；当l＝1时返回逆傅立叶变换的实部。
fi-----实型一维数组长度为n。当l=0时返回傅立叶变换的虚部；当l＝1时，返回逆傅立叶变换的虚部
内容提示：信息光学中的傅里叶變换
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