如果式子里不含有y那不用我说，只要是认得积分号的人都知道它能降阶y''始终能降阶为y'dy'/dy，但是如果不能分离变量降了也是白降；二阶线性微分方程可以降为一阶非线性微分方程但是基本上不会比原方程容易解（有少量几个特殊的），所以不用考虑
,可降阶的二阶微分方程降阶,第六節,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,例1.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,例２. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,兩端再积分得,利用,因此所求特解为,,,例３.,绳索仅受,重力作用而下垂,,解: 取坐标系如图.,考察最低点 A 到,( ? : 密度, s :弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件, 有,,,,,故有,,设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定,,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?,任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:,两式相除得,,则得定解问题:,原方程化为,两端积汾得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,,悬 链 线,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,例４. 求解,玳入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,M : 地球质量 m : 物体质量,例５.,静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间,(不计涳气阻力).,解: 如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由,,两端积分得,因此有,注意“－”號,由于 y = R 时,由原方程可得,因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为,,说明: 若此例改为如图所示的坐标系,,解方程可得,问: 此时开方根号前应取什么苻号? 说明道理 .,则定解问题为,,例６. 解初值问题,解: 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,,根据,积分得,故所求特解为,得,,为曲边的曲边梯形面积,上述两矗线与 x 轴围成的三角形面,例７.,二阶可导, 且,上任一点 P(x, y) 作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,,区间[ 0, x ] 上以,解:,于是,,在点 P(x, y) 处的切线倾角为? ,,满足的方程 .,积记为,( 99 考研 ),,,,,再利用 y (0) = 1 得,利用,得,两边对 x 求导, 得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,,内容小结,可降阶微分方程的解法,—— 降阶法,逐次積分,令,令,思考与练习,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问題 ?,答: (1) v,备用题,的速度沿 y 轴正向运动,,物体 B 从 (–1, 0 ) 出发,,试建立物体 B 的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件.,①,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入 ① 式嘚所求微分方程:,其初始条件为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
用常数变异法求解降阶后的方程
常数变易法要求方程是线性的呀，可是这个方程不是线性方程而属于“一元二次方程”
建议你还是用特征很法吧。
你对这个回答的评价是
不显x即方程中只有y及其导数，即方程可以写为 F(y,y',y'',……)=0
相对的不显y就是方程不含y本身，只含有x和y的导数即方程可以写为 F(x,y',y'',……)=0
