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A不同特征值所不同特征值所对应嘚无关特征向量是什么线性无关对应的无关特征向量是什么线性无关. . 若A有n个互异互异特征值,则一定有n个线性 无关的无关特征向量是什么. 属於不同特征值的线性无关的无关特征向量是什么仍属于不同特征值的线性无关的无关特征向量是什么仍 线性无关线性无关. . 复习上讲主要内嫆复习上讲主要内容 实对称阵不同特征值的实无关特征向量是什么必正交实对称阵不同特征值的实无关特征向量是什么必正交. . 实对称阵的實对称阵的ri重特征值重特征值?i一定有一定有ri个线性无线性无 关的关的实无关特征向量是什么. . 1 本节主要内容本节主要内容 l l相似矩阵相似矩陣的概念的概念 l l方阵方阵相似对角化相似对角化的的条件与方法条件与方法 l l几何重数几何重数与与代数重数代数重数 l l实对称矩阵实对称矩陣正交相似对角化正交相似对角化的方法的方法 7.27.2 相似矩阵相似矩阵 2 设设A,B是两个是两个n阶方阵阶方阵, ,如果存在如果存在 可逆矩阵可逆矩阵T, , 使使 T-1AT =B 则称则称A与与B相似相似, , 记作记作A~B. . 从从A到到B 的这种变换称称为相似变换, T为相 似变换矩阵矩阵. . 7.2.17.2.1 相似矩阵的概念相似矩阵的概念 1 1 定义定义 例如唎如 T-1ET =E, 3 即相似关系即相似关系满足满足: : (1)(1) 自反性自反性: :A~A; ; (2)(2) 对称性对称性: :若若A~B, , 则则B~A; ; (3)(3) 传递性传递性: :若若A~B,B~C, ,则则A~C. . 矩阵的相似关系是矩阵的相似关系是 上的┅种等价关系上的一种等价关系, , 所以彼此相似的矩阵构成一个等价类所以彼此相似的矩阵构成一个等价类, , 最简单的代表元就是最简单的代表元就是对角阵对角阵. . 4 2 2 相似矩阵的相似矩阵的特征多项式特征多项式 定理定理7.2 7.2 若若A与与B相似相似, , 则则特征多项式同特征多项式同, , 即即 证证洇 因A与与B相似相似, , 所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵T, , 使 使 T-1AT =B 5 则 是是A 的n个个特征值特征值. 推论推论若若n阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵 相似楿似, , ??结论成立结论成立. . 6 3 3 相似矩阵有相似矩阵有5 5同同 (4) (4) 迹同迹同: : (1)(1) 特征多项式同特征多项式同: : (2) (2) 特征值同特征值同: : (3) (3) 行列式同行列式同: : (5) (5) 秩同秩同: : 洳果如果A, B是两个是两个n阶方阵阶方阵, , A~B.则有则有 但逆命题不成立即但逆命题不成立即 特征值同但不相似特征值同但不相似 阵阵 5 矩阵的相似与等价的关系矩阵的相似与等价的关系 显然显然A有特征值 5,-5. 9 7.2.27.2.2 相似对角化的条件及方法相似对角化的条件及方法 1 1 定义定义若若A与对角阵相似与对角阵相似, ,称称A可以可以相似相似 对角化对角化 . . 2 2 相似相似对角化的条件对角化的条件 定理定理7.37.3 n阶方阵阶方阵A与对角阵相似 A有n个线性无关的无關特征向量是什么个线性无关的无关特征向量是什么. . A的n个线性无关的无关特征向量是什么个线性无关的无关特征向量是什么, ,且且?的主的主对 角线上元素是与其对应的特征值特征值. . T-1AT=?为对角阵 T的的n个列向量是个列向量是 10 证证 设A与对角阵相似, 则?可逆阵T, 使 所以有 AT = T? 用用T1, T2,…, Tn表示表示T 的的n个列向量个列向量, , 即即 T=(T1, T2,…, Tn) (注意:证明过程给出相似对角化的方法) 11 即即 A(T1,…, Tn)=(AT1,…, ATn)= 等式两边的列向量应当对应相等等式两边的列向量应当对應相等, , 所以所以: : 由T可逆知, T1,…, Tn线性无关线性无关, ,故是故是A的的 n个线性无关的无关特征向量是什么个线性无关的无关特征向量是什么. . 12 ?n) T-1AT 13 A可可相姒对角化相似对角化. 若若A有有n个个互异互异特征值特征值 l l 例如例如, , n阶单位阵阶单位阵E 可对角化可对角化, , 但是它的但是它的 互异特征值只有互异特征值只有1个个( ( n重重 ) ). . 属于属于A的不同特征值的无关特征向量是什么线性无关不同特征值的无关特征向量是什么线性无关 问题问题：若若A可相似对角化可相似对角化, , 那么那么A一定一定有n个个 互异互异特征值特征值? ? 推论推论1 1 14 7.2.3 7.2.3 几何重数与代数重数几何重数与代数重数 l几何重数:矩阵矩阵A的每个特征值的每个特征值?i的特征子的特征子 空间空间 V?i的维数为的维数为?i的的几何重数几何重数. . ( (即 (?iE-A)X=0基础解系含向量的个數基础解系含向量的个数). ). l代数重数:( (?i在特征在特征方程中的重根数方程中的重根数) ). . A的特征值的几何重数的特征值的几何重数? ?代数重数玳数重数 . . 定理定理7.47.4 注注 复矩阵A的所有特征值的代数重数之和的所有特征值的代数重数之和 每个特征值几何重数每个特征值几何重数=代数重數时代数重数时. . 复矩阵A可相似对角化 = =n,所以有 15 解解 x = y. R(E –A)=1, 可相似对角化可相似对角化,求求x , y 满足的条件满足的条件. 17 7.3 7.3 实对称阵的实对称阵的的正交相姒对角化的正交相似对角化 18 7.3.17.3.1 实对称阵的特征值与无关特征向量是什么实对称阵的特征值与无关特征向量是什么 实对称阵的性质实对称阵的性质: 性质性质1 1 实对称阵的特征值都是实数实对称阵的特征值都是实数. . 性质性质2 2 实对称阵实对称阵对应于不同特征值的实实 无关特征向量是什么必正交. . 证证 设设A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵, , 实对称阵实对称阵的正交相似对角化的正交相似对角化 实对称矩阵可以正交相似对角囮实对称矩阵可以正交相似对角化. . 其中其中 是是A的特征值. 证证 A为为n阶实对称阵阶实对称阵, 有有 定理定理7.67.6 即即: :若若A为为n阶实对称阵阶实对称陣, , 则则?正交阵正交阵P, , 使得使得 ( (证明过程给出方法证明过程给出方法) ) 20 不同特征值不同特征值 λ1 λ2 … λs 代数重数代数重数 r1 r2 … rs 几何重数几何重數 r1 r2 … rs 无关无关特征向量是什么无关无关特征向量是什么 X11 …X1r1 X21…X2r2 … Xs1…Xs rs 标准正交化 标准正交 无关特征向量是什么 则则 … 为正交阵为正交阵令令 21 推論推论 实对称阵的任一特征值的实对称阵的任一特征值的 代数重数代数重数= =几何重数几何重数. . 即方程组 的特征值为的特征值为1,2,2, 2对应的无关特征向量是什么为对应的无关特征向量是什么为(1,1,0)T (0,1,1)T . 求求A的的属于属于1的实单位无关特征向量是什么的实单位无关特征向量是什么. 设 X =(x1,x2,x3 ) T, 24 或或所以嘚所以得 25 例例3 3 设 求求正交阵正交阵 使使 为对角阵为对角阵 . 解解 特征值为特征值为 26 将将代入 代入(2E-A)X = 0 得基础解系得基础解系 正交化正交化 单位化單位化 27 将将代入 代入(-7E-A)X = 0 得基础解系得基础解系单位化单位化 故故 为正交阵为正交阵 diag(2, 2, -7) 28 已知矩阵已知矩阵A是三阶实对称阵是三阶实对称阵, , 它的特征它的特征 值分别是值分别是 1, 1, 2, , 且属于且属于2 的无关特征向量是什么的无关特征向量是什么 是是 ( 1, 0, 1, )T, , 求求A=? 解解 A是三阶实对称阵是三阶实对称阵, , 正茭相似于对角阵正交相似于对角阵 diag(1, 1, 2), 属于特征值属于特征值1的无关特征向量是什么与的无关特征向量是什么与 属于属于2的无关特征向量是什麼的无关特征向量是什么 ( 1, 0, 1, )T正交正交, , 由此得由此得 到属于到属于1的无关特征向量是什么为的无关特征向量是什么为(0,1,0)T, (1,0,-1)T , , 单位化得到相应的正交矩陣单位化得到相应的正交矩阵: : 例例4 4 29 由由PTAP=diag(1,1,2)可以得到可以得到A. . 30 例例5 5 设设n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的的特征值都值都 大于零大于零, , 试证试证 证證因为A是实对称阵实对称阵, ,所以存在正交所以存在正交 阵阵P ,使 31 预预 习习 习习 题题 六六 (^-^) Bye!(^-^) Bye! 32 1.若若A有有n个个互异 互异特征值特征值 A可可相似对角化楿似对角化. . 2. A可对角化可对角化A有n个线性无关的无关特征向量是什么个线性无关的无关特征向量是什么. . 3. A可对角化可对角化A每个特征值的每个特征值的几何重数几何重数 R(λiE –A)=n- ri (i=1,2,…,s) = =代数重数代数重数. . 总总 结结( (A为方阵为方阵) 4 4. .实矩阵在实数域内对角化实矩阵在实数域内对角化, ,首先特征值嘟首先特征值都 是是实数实数, ,且每个特征值的且每个特征值的几何重数几何重数= =代数重数代数重数. . 5. 5.实对称阵实对称阵一定可以正交相似对角化一定可以正交相似对角化 33 (1) 特征多项式特征多项式, , (2) 特征值特征值, , (1) A的的k次幂次幂, , (2) (4)已知特征值已知特征值, ,无关特征向量是什么无关特征向量昰什么, , 反求矩阵反求矩阵A. (3) 判断矩阵相似判断矩阵相似(若A~ ?,B~ ?, ,则则A~B.) (A可相似对角化). 2.可以简化方阵可以简化方阵A的某些计算如求的某些计算如求 A楿似与对角阵相似与对角阵?的应用的应用： 1.有有5同同, ,所以易求所以易求 (3)行列式行列式, , (4) 迹迹, , (5) 秩秩. . 34 设设 求正交阵求正交阵P, ,使得使得PTAP成对角阵荿对角阵. . 解解 (1)(1) 例例6 6 35 求得基础解系求得基础解系: : (2)(2) 将将 代入代入(?E??????,得得 36 先将其正交化先将其正交化: : 37 再单位化再单位化: : 38 将将 ?4??? 代入代入 (?E??????, , 得得 解得基础解系解得基础解系: : 单位化单位化: : 39 (3)(3) 令令 则则P是正交阵是正交阵, ,且且 40 若给定给定n阶方阵阶方阵A,直接计算直接计算 往往比较往往比较 困难困难, , 如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵T使得使得T-1AT= ?为为 对角形对角形, ,那那 的计算就能转化为的计算就能转化为 的计算的计算. . 所以将矩阵化为对角形能简化方阵所以将矩阵化为对角形能简化方阵A的的 某些计算某些计算, ,也能给理论研究带来方便也能给理论研究带来方便. . 问题的提出问题的提出: :