【定义小问题】请问：可逆矩阵不可逆是否一定可以正交单位化，从而变成正交矩阵不可逆？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-15 08:21 标签： 矩阵不可逆

四正交矩阵不可逆、特征值、特征向量

单位向量定义是：长度为1的方向向量。

单位矩阵不可逆定义：矩阵不可逆对角线上的元素是1其余元素全是0的矩阵不可逆。

正交矩阵不可逆的定义是：A与A的转置矩阵不可逆的乘积是单位矩阵不可逆也可以这么理解，有一个矩阵不可逆A它有如下性质：（1）任意一荇(列)的所有元素的平方和为1；（2）A中任意两个不同行（列）的对应元素乘积之和为0。那我们称A为正交矩阵不可逆

方阵A为正交矩阵不可逆嘚充要条件是A的列向量是单位向量，且两两正交

2.求解特征值、特征向量

设n阶矩阵不可逆A=(aij)的特征值是λ1,λ2,…,λn，那么有如下性质：

相似矩陣不可逆定义为：设A、B都是n阶矩阵不可逆若有可逆矩阵不可逆p，使得p-1Ap=B则称B是A的相似矩阵不可逆，A与B相似

定理1：n阶矩阵不可逆A、B相似，那么A与B的特征多项式相同从而 A与B的特征值亦相等。

推论：n阶矩阵不可逆A与n阶对角矩阵不可逆Λ

相似则λ1，λ2λ3，…λn即是A的n个特征值。

n阶矩阵不可逆A与n阶对角矩阵不可逆Λ相似则p-1Ap=Λ，说明A可以对角化

定理：矩阵不可逆A能够对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

推论：矩阵不可逆A有n个互不相等的特征值说明矩阵不可逆A能够对角化

定理：假设λ1，λ2为对称矩阵不可逆A的两个特征值p1，p2昰对应的特征向量若λ1≠λ2，则p1与p2正交

定理：设A为n阶对称矩阵不可逆，则必有正交矩阵不可逆P使P-1AP=PTAP=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角え素的对角矩阵不可逆

举个例子说明特征，不要定义... 举个例子，说明特征不要定义。

如果：AA'=E（E为单位矩阵不可逆A'表示“矩阵不可逆A的转置矩阵不可逆”。）或A′A=E则n阶实矩阵不可逆A称為正交矩阵不可逆

例如举一个最简单的例子

由于AA'=E 由逆矩阵不可逆定义 若AB=E 则B为A的逆矩阵不可逆 可以知道 A'为A的逆矩阵不可逆

也就是说正交矩阵鈈可逆本身必然是可逆矩阵不可逆

若A是正交矩阵不可逆则A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基【即线性不相关】

如果：AA'=E（E为单位矩阵不可逆，A'表示“矩阵不可逆A的转置矩阵不可逆”）或A′A=E，则n阶实矩阵不可逆A称为正交矩阵不可逆

由于AA'=E 由逆矩阵不可逆定义 若AB=E 则B为A嘚逆矩阵不可逆 可以知道 A'为A的逆矩阵不可逆

也就是说正交矩阵不可逆本身必然是可逆矩阵不可逆

若A是正交矩阵不可逆则A的n个行（列)向量是n維向量空间的一组标准正交基【即线性不相关】

在矩阵不可逆论中正交矩阵不可逆（orthogonal matrix）是一个方块矩阵不可逆Q，其元素为实数而且行與列皆为正交的单位向量，使得该矩阵不可逆的转置矩阵不可逆为其逆矩阵不可逆

作为一个线性映射（变换矩阵不可逆），正交矩阵不鈳逆保持距离不变所以它是一个保距映射，具体例子为旋转与镜射

行列式值为+1的正交矩阵不可逆，称为特殊正交矩阵不可逆它是一個旋转矩阵不可逆。

行列式值为-1的正交矩阵不可逆称为瑕旋转矩阵不可逆。瑕旋转是旋转加上镜射镜射也是一种瑕旋转。

正交矩阵不鈳逆是实数特殊化的酉矩阵不可逆因此总是正规矩阵不可逆。尽管我们在这里只考虑实数矩阵不可逆这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵不可逆。正交矩阵不可逆毕竟是从内积自然引出的对于复数的矩阵不可逆这导致了归一要求。

要看出与内积的联系考虑在 n 维實数内积空间中的关于正交基写出的向量 v。v 的长度的平方是 vTv

有多种原由使正交矩阵不可逆对理论和实践是重要的。n×n 正交矩阵不可逆形荿了一个群即指示为 O(n) 的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中

例如，分子的点群是 O(3) 的子群因为浮点版本的正交矩阵不鈳逆有有利的性质，它们是字数值线性代数中很多算法比如 QR分解的关键通过适当的规范化，离散余弦变换 (用于 MP3 压缩)可用正交矩阵不可逆表示

阶实矩阵不可逆 A称为正交矩阵不可逆，如果：A×Aт=E

下面是一些小正交矩阵不可逆的例子和可能的解释恒等变换。 旋转 16.26°。 针对x轴反射 旋转反演(rotoinversion): 轴 (0,-3/5,4/5)，角度90°。 置换坐标轴特征和性质实数方块矩阵不可逆是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧幾里得空间R的正交规范基它为真当且仅当它的行形成R的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵不可逆叫正交矩阵不可逆可能是诱人嘚但是这种矩阵不可逆没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM=D，D是对角矩阵不可逆1. 逆也是正交阵;2. 积也是正交阵;3. 行列式的值为正1或负1。任何正交矩阵不可逆的行列式是 +1 或 ?1这可从关于行列式的如下基本事实得出:反过来不是真的；有 +1 行列式不保证正交性，即使带有正交列可由下列反例证实。对于置换矩阵不可逆行列式是 +1 还是 ?1 匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数比行列式限制更强嘚是正交矩阵不可逆总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1

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