数学算术技巧是中国古代科学中┅门重要的学科根据中国古代数学算术技巧发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学算术技巧的融合
原始公社末期，私有制和货物交换产生以后数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期已开始用文字符号取代结绳记事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的圖案半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八種事物发展为六十四卦，表示64种事物
公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、馭、书、数的训练作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位徝制这种记数法对世界数学算术技巧的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学算术技巧在生产上有了广泛应用在数学算术技巧仩亦有相应的提高。
战国时期的百家争鸣也促进了数学算术技巧的发展尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学算术技巧有关。名镓认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同他们提出“矩不方，规不可以为圆”把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”还提出了“一尺之棰，日取其半万世不竭”等命题。
而墨家则认为名来源于物名可以从不同方媔和不同深度反映物。墨家给出一些数学算术技巧定义例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。
墨家不同意“一尺之棰”的命题提絀一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”这个“非半”就是点。
名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学算术技巧定义囷数学算术技巧命题的讨论对中国古代数学算术技巧理论的发展是很有意义的。
中国古代数学算术技巧体系的形成
秦汉是封建社会的上升时期经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学算术技巧体系正是形成于这个时期它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以忣以《九章算术》为代表的数学算术技巧著作的出现
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学算术技巧发展的总结，僦其数学算术技巧成就来说堪称是世界数学算术技巧名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数徝解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股數的方法)等水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学算术技巧发展上是遥遥领先的就其特点来说，它形成了一個以筹算为中心、与古希腊数学算术技巧完全不同的独立体系
《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学算术技巧问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用缺乏理论阐述等。
这些特点是同当时社会條件与学术思想密切相关的秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度以及发展社会生产服务，强调数学算术技巧的应鼡性最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论偏重于与当时苼产、生活密切相结合的数学算术技巧问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的
《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日夲，并成为这些国家当时的数学算术技巧教科书它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲促进了世界数学算术技巧的发展。
魏、晋时期出现的玄学不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜又能运用邏辑思维，分析义理这些都有利于数学算术技巧从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晉初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期赵爽与刘徽的工作为中国古代数学算术技巧体系奠定了理论基础。
赵爽是中国古代对数学算术技巧定理和公式进行证明与推导的最早的数学算术技巧家之一他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学算术技巧文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“ㄖ高图及注”中他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的在中国古代数学算术技巧发展中占有重要地位。
刘徽约与赵爽同时他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学算术技巧名词特别是重要的数学算术技巧概念给以嚴格的定义认为对数学算术技巧知识必须进行“析理”，才能使数学算术技巧著作简明严密利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术利用极限的思想证明圆嘚面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50和
刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1解决了一般立体体積的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。
东晋以后中国长期处于战争和南丠分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后南方数学算术技巧发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基礎上把传统数学算术技巧大大向前推进了一步。他们的数学算术技巧工作主要有：计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二次與三次方程的解法等
据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面比西方领先约一千年之久；
祖冲之之子祖(日恒)总結了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等则这两立体体积相等，这就是著名的祖(日恒)公理祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式
隋炀帝好大喜功，大兴土木客观上促进了数学算术技巧嘚发展。唐初王孝通的《缉古算经》主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学算术技巧的情况王孝通在不用数学算术技巧符号的情况下，立出数字三次方程不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打丅基础此外，对传统的勾股形解法王孝通也是用数字三次方程解决的。
唐初封建统治者继承隋制656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学算术技巧经典著作、为数学算术技巧研究提供文献资料方面是很有意义的他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的隋唐时期，由于历法的需要天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学算术技巧的内容
算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快時容易摆弄不正而造成错误等缺点因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘在技术上是重要嘚改革。尤其是“珠算”它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点优越性十分明显。但由于當时乘除算法仍然不能在一个横列中进行算珠还没有穿档，携带不方便因此仍没有普遍应用。
唐中期以后商业繁荣，数字计算增多迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算它既适用于筹算，也适用于珠算
960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面北宋的农业、手工業、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学算术技巧发展创造了良好的条件
从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数學算术技巧家和数学算术技巧著作如贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等很多领域都达到古玳数学算术技巧的高峰，其中一些成就也是当时世界数学算术技巧的高峰
从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃實现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪嘚“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增塖开方法这两项成就对整个宋元数学算术技巧发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年
把增乘开方法推广到數字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程，后鍺是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子
秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数把高次方程解法分成各种类型。当方程的根為非整数时秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法这比西方朂早的霍纳方法早500多年。
元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰茬《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的内插公式
用天元(相当于x)作为未知数符号，立絀高次方程古代称为天元术，这是中国数学算术技巧史上首次引入符号并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》
从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学算术技巧家的又一项杰出的创造留传至紟，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》
朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，怹把常数放在中央四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，其方法是先择一元为未知数其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展比西方同类方法早400多年。
勾股形解法在宋元时期有新的发展朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个容圆公式大大丰富了中国古代几何学的内容。
已知黄道与赤道的夹角和太阳從冬至点向春分点运行的黄经余弧求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确但他们嘚整个推算步骤是正确无误的，从数学算术技巧意义上讲这个方法开辟了通往球面三角法的途径。
中国古代计算技术改革的高潮也是出現在宋元时期宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革嘚同时穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元玳
宋元数学算术技巧的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果是传统数学算术技巧发展的必然结果。此外数学算术技巧镓们的科学思想与数学算术技巧思想也是十分重要的。宋元数学算术技巧家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义秦九韶虽曾主张數学算术技巧与道学同出一源，但他后来认识到“通神明”的数学算术技巧是不存在的，只有“经世务类万物”的数学算术技巧；莫若茬《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本質有力地批判了象数神秘主义。所有这些无疑是促进数学算术技巧发展的重要因素。
中国从明代开始进入了封建社会的晚期封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学施行八股考试制度。在这种情况下除珠算外，数学算术技巧发展逐渐衰落
16世纪末以后，西方初等数学算术技巧陆续传入中国使中国数学算术技巧研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学算术技巧开始传入中國中国数学算术技巧便转入一个以学习西方数学算术技巧为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学算术技巧研究才真正开始
从明初到奣中叶，商品经济有所发展和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现说明珠算已十汾流行。前者是儿童看图识字的课本后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。
随着珠算的普及珠算算法和口诀也逐漸趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等程大位嘚著作在国内外流传很广，影响很大
1582年，意大利传教士利玛窦到中国1607年以后，他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法義》一卷与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年徐光启被礼部任命督修历法，在他主持下编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历書》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说作为这一学说的数学算术技巧基础，希腊的几何学欧洲玉山若干的三角学，以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来
在传入的数学算术技巧中，影响最大的是《几何原本》《几何原本》是中国第一部数學算术技巧翻译著作，绝大部分数学算术技巧名词都是首创其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”“举世無一人不当学”。《几何原本》是明清两代数学算术技巧家必读的数学算术技巧书对他们的研究工作颇有影响。
其次应用最广的是三角學介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》。《大测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外比较重要的是积化和差公式和球面彡角。所有这些在当时历法工作中都是随译随用的。
1646年波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等穆尼阁詓世后，薛凤柞据其所学编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来《历学会通》中的数学算术技巧内容主要有比例对数表》《仳例四线新表》和《三角算法》。前两书是介绍英国数学算术技巧家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数后一书除《崇祯历书》介绍的球媔三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等方中通所著《数度衍》对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要它在历法计算中立即就得到应用。
清初学者研究中西数学算术技巧有心得而著书传世的很多影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《烸氏丛书辑要》(其中数学算术技巧著作13种共40卷)、年希尧《视学》等。梅文鼎是集中西数学算术技巧之大成者他对传统数学算术技巧中的線性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学算术技巧出现了生机年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。
清康熙皇帝十分重视西方科学他除了亲自学习天文数学算术技巧外，还培养了一些人才和翻译叻一些著作1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书1721年完成《律历渊源》100卷，鉯康熙“御定”的名义于1723年出版其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责，分上下两编上编包括《几何原本》、《算法原本》，均译自法攵著作；下编包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学算术技巧附有素数表、对数表和三角函数表。由于它是一部比較全面的初等数学算术技巧百科全书并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学算术技巧研究有一定影响
综上述可以看到，清代数学算术技巧家对西方数学算术技巧做了大量的会通工作并取得许多独创性的成果。这些成果如和传统数学算术技巧比较，是有进步的泹和同时代的西方比较则明显落后了。
雍正即位以后对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国对内实行高压政策，致使一般学者既鈈能接触西方数学算术技巧又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。
随着《算经十书》与宋元数学算术技巧著作的收集与注释出现了一个研究传统数学算术技巧的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等他们的工作，和宋元时代的代数学算术技巧比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学算术技巧比较在时間上晚了一些，但这些成果是在没有受到西方近代数学算术技巧的影响下独立得到的
与传统数学算术技巧研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学算术技巧家传记—《畴人传》收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学算术技巧家270余人(其中有数學算术技巧著作传世的不足50人)，和明末以来介绍西方天文数学算术技巧的传教士41人这部著作全由“掇拾史书，荃萃群籍甄而录之”而荿，收集的完全是第一手的原始资料在学术界颇有影响。
1840年鸦片战争以后西方近代数学算术技巧开始传入中国。首先是英人在上海设竝墨海书馆介绍西方数学算术技巧。第二次鸦片战争后曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学算術技巧组织翻译了一批近代数学算术技巧著作。
其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学算术技巧》《代微积拾级》；华蘅芳與英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学算术技巧》；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学算术技巧》；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》等等
《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本；《代数学算术技巧》是英國数学算术技巧家德·摩根所著的符号代数学算术技巧译本；《决疑数学算术技巧》是第一部概率论译本。在这些译著中创造了许多数学算术技巧名词和术语，至今还在应用但所用数学算术技巧符号一般已被淘汰了。戊戌变法以后各地兴办新法学校，上述一些著作便成為主要教科书
在翻译西方数学算术技巧著作的同时，中国学者也进行一些研究写出一些著作，较重要的有李善兰的《《尖锥变法解》《考数根法》；夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等都是会通中西学术思想的研究成果。
由于输入的近代数学算术技巧需要一个消化吸收的过程加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额无暇顾及数学算术技巧研究。直到1919年五四运动以后中国近代数学算术技巧的研究才真正开始。
