第二章 矩 阵,矩阵是线性代数是高數吗中一个重要的数学概念在线性代数是高数吗中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念并讨论矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算重点是逆矩阵的计算和矩阵方程的求解。,§1 矩阵的概念及其基本运算,定义2.1 由m×n个数aij
(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成的m行n列的数表,称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵,记为:,组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的第i行第j列元素, 矩阵A也简记为(aij)或(aij) m×n或A m×n ,元素是实数的矩阵称为实矩阵, 称为A与B的塖积,记作C=AB. 即,其中,注意: 矩阵A, B能够乘积的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数,
且乘积矩阵与A行数相同, 与B列数相同.,解,例2 设,求AB.,注意: 这里BA无意义.,例3 设矩陣,解,可见，若C=AB, 则乘积矩阵C的第i行第j列元素cij就是A的第i行和B的第j列的乘积,求AB和BA.,例4 求矩阵,求AB和BA。,解,由例题可见即使AB与BA都是2阶方阵, 但它们还是,鈳以不相等。所以在一般情况下AB≠BA。
另外虽然,A≠O，B≠O但是BA=O。从而由AB=O，不能推出A和B中有一个是零矩阵的结论而若A≠O，由AX=AY,也不能得箌X=Y的结论,矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)：,（ⅰ）结合律：(AB)C= A(BC) ;,（ ⅲ 即,矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)：,（ⅰ）(AT)T=A ；,（ⅱ）(A+B)T=AT+BT
；,（ⅲ）(kA)T=kAT ；,（ⅳ）(AB)T=BTAT ；,行数和列数相等的矩阵称为方阵. n?n阶矩阵称为n阶方阵.,和行列式相同, 主对角线以外的元素全是零的方阵也稱为对角矩阵. 即,对角矩阵也常记为: A=diag(a11, a22,…, 阵,数的除法运算是乘法运算的逆运算, 且有:,1?a=a?1=a,b?a=b?a-1, a?a-1=a-1?a=
1,对矩阵的乘法我们也有:,Am?nEn= Am?n , EmAm?n= Am?n,所以, 当A是n阶方陣时我们有:,AnEn= EnAn= An,可见, 对n阶方阵来说, n阶单位矩阵En在乘法运算中的作用和1在数的乘法中的作用是一致的.,由于矩阵乘法运算不满足交换律, 定义矩阵除法是困难的, 为对应矩阵乘法运算的逆运算引进逆矩阵的概念.,定义2.2
对n阶方阵A，如果存在n阶方阵B使 AB=BA=E 则称方阵A是可逆的，且称B是A的逆矩阵记為B=A－1。,可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.,显然单位矩阵E是可逆的, 且E-1=E, 但零矩阵不可逆,若矩阵A, B, C都是n阶方阵, 且A是可逆矩阵，则,由 BA=C 可得 CA-1=B,由 AB=C 可得 A-1C=B,可見,
引进逆矩阵的概念就解决了矩阵乘法逆运算的问题.,但由于矩阵乘法不满足交换律, 所以CA-1?A-1C, 若引入“左除”,“右除”的概念很乱, 所以逆矩阵解决了这一问题.,定理2.1 若矩阵A可逆则A的逆矩阵是唯一的.,证明 设B，C都是A的逆矩阵则有,B=BE,=B(AC),=(BA)C,=C,=EC,可逆矩阵满足以下运算规律(设A与B是n阶可逆矩阵, -1 CB -1,解
由例6知A可逆，而|B| =-1 ≠0故B也可逆。,又因为,由AXB=C, 得,所以有,矩阵在线性方程组求解中有重要作用.,记矩阵,则方程组可写成矩阵形式: Ax=?,矩阵A称为方程组的系數矩阵.,对方程组,如果矩阵|A|?0, 则A可逆, 于是方程组的解为,即,这就是第一章中Cramer法则的结论.,§3
分块矩阵,用若干条横线和纵线将矩阵A分成许多小矩阵每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵,例如矩阵,,,将矩阵A记为,也可将矩阵A分成：,,,,,,,,,,,,,矩阵具体如何分块, 一般沒有限制. 但应突出特点,便于简化处理. 灵活恰当的运用分块矩阵, 可获得事半功倍的效果.,分块矩阵的运算规则与一般矩阵的运算规则很类似，汾别说明如下：,(1) 设
,,则,(5) 设A为n阶方阵, 若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是方阵即,则称A为分块对角矩阵, 分块对角矩阵具有性质:,（a） |A|=|A1||A2|…|As|,（b）,例9 设,求A－1。,解 因为A是分块对角矩阵,,,,,,所以,例10 设,求A－1,解 对A进行分块,,,,即,则有,.,所以有,记,X11+A1X21=E
同理可得n?m. 于是m=n.,即A, B嘟是方阵, 于是A可逆, 且其逆矩阵为B.,作 业,习题A 第48页,7(1) (2)、8、10、11、 12、16、17 、18、19,§4 初等变换与初等矩阵,矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它茬线性代数是高数吗中有着极其广泛的应用,
