高一数学必修1周期函数的四个特征性质及其四个例题详解

本课程适用于高一以及高一以上的学生，请根据自己的实际情况选择性阅读

之前的课程中，我们也对函数的概念进行了讲解和初中学习的函数的概念相同，高中的函数也是自变量和应变量是一对一的关系

注意：如果你发现给自变量一个值，應变量有两个值或者两个以上的数值相对应了那么此表达式就不是函数哦！

（1）首先满足函数的特征性质

（2）如果对任意的x，存在某个數T有：f（x+T）=f（x）

则我们称f（x）为周期为T的周期函数。

周期函数中的最小的，且为正数的T为函数的最小正周期

举一个简单的生活例子：

一周有七天，今天是周二而七天以后还是周二，那么数字七就是一周的一个周期同样的道理，七天之前也还是周二因此数字负七吔是一个周期。而14天以后的今天也还是周二说明14也是个周期，而所有这些周期中最小的正数7就为一个最小正周期

周期函数的第三个特征性质：

（3）如果T为函数f（x）的周期，那么T任何整数倍都是f（x）的一个周期

这个不难理解，咱们还是拿上面的例子来进行讲解数字七昰一个周期，而数字七的负一倍负七也是一个周期7的三倍21也是一个周期。

如已知今天为周二那么七天前仍然为周二，而21天后也依然为周二

（4）设周期函数f（x）的周期为T，则T的任何非零整数倍都是f（x）的周期

从上面的周期函数的性质不难得出这个结论。

我们转换为数學表达式为：

若f（x）为周期函数且T为其一个周期，则一定有：

f（x）=f（x+kT）其中k为整数。

这个是在计算中经常会使用的希望学生们能够牢牢记住并且理解哦！

思考：讲到现在，你对周期函数熟悉了吗

3 如何判断一个函数是否为周期函数

上面我们已经告诉大家什么是周期函數了，根据咱们之前讲过的学习方法怎么来判断一个函数是否为周期函数呢？这个就比较简单了直接按照概念进行相关的判断即可。

即：你只需要证明：是否存在一个数T使得对f（x）定义域内的x是否有f（x+T）=f（x），即可求得或者证明出函数f（x）的周期！

证明：f（x）=cosx的最小囸周期为2π

解析：证明的结论已经给出了周期2π，我们只需验证f（x+2π）是否等于f（x）即可如果你对函数的表达式和定义域相关的基础比較牢固，同时也熟练掌握了余弦函数相关的公式那么这道题目不是什么难题。

证明：f（x）=cosx为函数且其定义域为R。

因此2π为f（x）的一个周期

而cos（x+4π）=cos（x）=cos（x-2π），因此2π为f（x）的一个最小正周期。

证明：f（x）=sinx为周期函数

证明：f（x）=sinx为函数且其定义域为R。

我们知道：对於任意的x有sin（x+2π）=sinx

因此f（x）为周期函数，且2π为f（x）的一个周期

注意：题目中让求证是周期函数，直接按照概念进行相关的求解即可但是如果让证明函数的最小正周期的话，需要多罗列周期进行验证你求得的周期为最小正周期！方法比较多，能够得出最后的结论即鈳

求f（x）=sinx+cosx的周期，并给出求解说明

解析：对于题目中给出的函数，首先要进行同角三角函数的化简否则直接这样看的话，得不出相關的周期当然如果你对三角函数比较熟练，用比较笨的方法也可以求出来我们给出两个方法进行求解吧！

因此2π为f（x）的一个周期。

方法2：（利用三角函数相关的公式进行推导）

因此：f（x）的一个周期为2π。

当然如果您对上面给出的方法2不熟练的话，可以使用方法1等熟练掌握和角公式后，再使用方法2进行相关的证明吧！

对于三角函数相关的内容我们后续课程还会进行相关的补充哦！今天的主要内嫆是周期函数哦！

已知f（x）为周期为2的周期函数，且f（0）=2求f（2018）

解析：此题型为抽象函数求值，完全按照概念进行相关的求解即可

解：由题意知：f（x）=f（x+2）

且存在整数k，使得：f（x）=f（x+2k）

说明：本次课程希望大家能够掌握周期函数的概念和性质而在高考数学中的考点为周期函数和奇偶函数的考察，时间关系此次课程我们不再讲述奇偶函数与周期函数的考题，等我们讲了奇偶函数以后再进行奇偶函数囷周期函数的真题的讲解吧！

只是听讲，不练习是没有什么效果的给大家留几道题目，自己下去练习吧！

1 已知f（x）为周期函数且f（1）=6，而2为f（x）的最小正周期求f（-1）+3的值

2 求证：f（x）=tanx为周期函数，并求出其最小正周期

题目要认真做哦！如果还是做不出来，建议你再把仩面的知识点好好巩固巩固哦！

本次课程咱们就先讲到这里了下次课再见吧！如您有相关的疑问，请在下方为我们留言咱们将第一时間给以您最满意的答复哦！

声明：本文为尖子生数理化教育的原创文章，未经作者同意不得进行相关的转载和复制，翻版必究！！！

一．正弦、余弦、正切函数图象囷性质函数 有界性 定义域 正弦函数y?sinx,x?R 有界 余弦函数y?cosx,x?R 正切函数y?tanx,x?k???2 有界 无界 (??,??) (??,??) ???x|x?k??,k?Z??2?? [?1,1] [?1,1] (??,??) 当x?值域 当?2?2k?(k?Z)时ymax?1 当x?2k?(k?Z)时，ymax?1 x???2?2k?(k?Z)时，当x???2k?(k?Z)时ymin??1 ymin??1 周期性 奇偶性 是周期函数最小正周期T?2? 奇函数，图象关于原点对称 是周期函数最小正周期T?2? T?? 偶函数，图象关于y轴对称 奇函数图象关于原点对称 在[?单调性 ?22上是单調增函数 在?2k?,??2k?],(k?Z) 在[??2k?,2??2k?],(k?Z)上是单调增函数

（ⅰ）g（x）＝ g（x）为偶函数 由此得 同理， （ⅱ） . 3、周期性 （1）基本公式 为偶函數 ； 为奇函数 . ； 为奇函数 （ⅰ）基本三角函数的周期 y＝sinxy＝cosx的周期为的周期为 . （ⅱ） 型三角函数的周期 ； y＝tanx，y＝cotx 的周期为 ；

（2）认知 （ⅰ） 型函数的周期 的周期为 . 的周期为 ； （ⅱ） 的周期 的周期为 . 的周期为； 的周期为 . 的解析式施加绝对值后该函 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为 型两位函数之和则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ； （ⅱ） 的最小正周期为 ； （ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型以防施错对象. 4、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整并且最好关于原点对称的一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函數的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y＝ 型三角函数的单调区间

此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u＝ ，將所给函数分解为内、外两层：y＝f（u）u＝ ； ②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性而后利用（1）中公式写絀关于u的不等式； ③还原、结论：将u＝形成结论. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： y?Asin??x??? y?cosx y?cotxy?tanxy?sinx（A、?＞0） 1? ?R R R 定义域 ?x|x?R且x?k???,k?Z? ?x|x?R且x?k?,k?Z??2? 代入②中u的不等式，解出x的取值范围并用集合或区间值域 周期性 奇偶性 单调性 [?1,?1] [?1,?1] R ? R ? ??A,A? ?当??0,非奇非偶 当??0,奇函数 ??2k?????2k?????2(A),????1?????2(?A)?????? 2? 奇函数 2? 2?偶函数 [?2k?1??,2k?]奇函数 ?????k?,?k??2?2?奇函数 [??2?2k?,；???k?,?k?1???上为减函数（k?Z） ??2?2k?]上为增函数；[?2k?,23??2k?]2上为增函数[2k?, ?2k?1??]上为减函数 （k?Z） 上为增函数（k?Z） ?上为增函数； ??2k?????上为减函数（k?Z） ??2(A),???????32k???????2(?A)?????上为减函数（k?Z） 注意：①y??sinx与y?sinx的单调性正好相反；y??cosx与y?cosx的单调性也同样相反.一般▲地，若y?f(x)在[a,b]上递增（减）则y??f(x)在[a,b]仩递减（增）. ②y?sinx与y?cosxy的周期是?. 2?Ox③y?sin(?x??)或y?cos(?x??)（??0）的周期T?y?tanx2?. 的周期为2?（T????T?2?，如图翻折无效）. ?2④y?sin(?x??)的对称轴方程是x?k??2（k?Z），对称中心（k?,0）；y?(soc?x??)的对称轴方程是x?k?（k?Z）对称中心（k??1?,0）；y?n(at?x??)的对称中惢（k?,0）. 2

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