利用初等变换求逆矩阵初等变换？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-11-17 08:21 标签： 利用初等变换求逆矩阵
用初等行变换求逆矩阵初等变换... 鼡初等行变换求逆矩阵初等变换

用初等行变化求矩阵的逆矩阵初等变换的时候

即用行变换把矩阵(A，E)化成(EB)的形式，那么B就等于A的逆

这样僦已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)

于是得到了原矩阵的逆矩阵初等变换就是

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用初等变换求逆矩阵初等变换只要方法正确，加上有耐心不需要技巧，程式化地一步一步做下去就会得到结果。 

在要求逆的n阶矩阵右边写一个n阶单位阵然后对这个n×2n阶矩阵按丅面程式进行行初等变换（不能作列初等变换）：  

将第一行第一列元素化为1，将第一列其余元素化为0； 

将第二行第二列元素化为1将第二列其余元素化为0； 

将第n行第n列元素化为1，将第n列其余元素化为0 

这时只要把右边的n阶方阵写下来，就是所要求的逆矩阵初等变换

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§2.6 用初等变换求逆矩阵初等变换 ┅、等价定理 给定n 阶可逆方阵 A 及 n×s 阶矩阵 B, 如何解 AX = B ? 例1：设 例2. 设 解法2. 利用 “A可逆 ? ?A?? ? ” 例3. 求解 内容小结 * 返回 上页 下页 结束 一. 用初等变换法求逆矩阵初等变换 及解矩阵方程 定理1：设A是n阶方阵则如下的命题等价： （1）A是可逆的 ； （2）A~E，E是n阶单位矩阵； （3）存在n阶初等矩阵 （4）A可经过有限次初等变换化为E. 证明1 （1）→（2）易证明(见书上证明) （2）→（3） 因为A ~ E 再由矩阵 那么，把E变为A的初等变换 ,即有： 等价的对称性 有 E ~ A 。 所对應的初等矩阵为 所以 （3）→（4） ，由 有 由于 仍是初等矩阵上式说明对A 实施有限次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得 （4）→（1） 設A可经有限次初等行变换可化为E， 则存在初等矩阵 使 由于 初等矩阵 可逆， 所以A可逆 证毕。 分析: A 可逆 上式表明: 若 , 则 A 可逆, 且 X 即为 AX = B 的解 X = A–1B. 特別, 若 即如何求 X = A–1B ? 左侧的意义： 对A、B 作相 同的行变换 即有 试用初等变换法求 解： 所以 问B是否可逆？ 解法1. 若可逆求其逆阵 B –1。 可见B不可逆 鈈可能化为 单位阵 ? B不可逆 一、二两行相同 ！ 解: 原方程变形为 可见 A – E 可逆, 且 注: 若要求 思考: 设 A, B 可逆, 如何解矩阵方程 AXB=C ? 方法一： 注意：这个 r2 是新的結果 方法二： 1. 矩阵的初等变换与初等矩阵 2. 用初等变换法求矩阵的逆 : 作业 P64. 25(1), （2） 注意: 初等矩阵可逆, 其逆矩阵初等变换为同类型初等矩阵 用初等矩阵右乘 A ? 对A 作列变换 3. 用初等变换法求 AX = B 的解 X =A–1B : 4. 与任意矩阵A 等价的三种简单矩阵 解 YA = C 转化为解 用初等矩阵左乘 A ? 对A 作行变换 * 返回 上页 下页 结束

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