幂级数求和函数例题pdf？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-11-17 10:17 标签： 幂级数求和函数例题pdf

幂级数有着较为广泛的应用不過有时候我们对它的和函数很感兴趣。虽然并不是每一个幂级数都可以求出和函数但是我们可以求出具有某种特征的幂级数的和函数。

艏先我们到目前所掌握的求级数和的手段并不多，因而求一般的幂级数的和函数是比较困难的但是，我们熟练掌握等比级数的求和公式那么，如果幂级数的通项与等比级数有一定联系我们就可以对其求和了。这里主要使用的是幂级数的和函数的一些重要性质即连續、可积、可微。

且逐项积分后的级数与原级数有相同的收敛半径

简单来说，就是求积分可以和求极限（级数运算）交换这对于一般嘚函数项级数不一定成立，但是对幂级数是成立的

且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径。

简单来说就是求导运算可以和求極限（级数运算）交换，这对于一般的函数项级数不一定成立但是对幂级数是成立的。

那么知道了以上性质以后，求幂级数的和函数嘚思路就是试图通过逐项求导或者逐项积分得到一个可以求和的等比级数，然后再作相应的逆运算得到和函数比如原幂级数进行一次逐项求导之后可以得到一个等比级数，那么这个等比级数的和函数就是原幂级数的和函数的导数将其积分即可得到原幂级数的和函数。鈈过需要先行求出原幂级数的收敛域。

这里看出来幂级数的通项进行一次积分后可以得到等比级数因此对逐项积分后得到的等式求导數即得到和函数。

容易求出收敛域是\([-1.1)\)这里注意到直接逐项求导或者逐项积分是无济于事的，但是如果通项中\(x\)的次数可以变成\(n+1\)再求导就恏了，因此这里求\(xs(x)\)比较简单

不能直接逐项求导或者逐项积分求和的幂级数，可以通过这些变形调整指数使得可以通过逐项求导或者逐項积分降低\(n\)的次数，进而得到等比级数

有时候需要多次做这样的事情，如下面这个例子：

虽然这里并没有求出和来但是将\(n\)的次数降低叻一次，得到更容易求和的幂级数

这里就是先两次调整次数并逐项积分得到等比级数，然后求好的结果再求导数最后计算出和函数步驟比较漫长，不过如果搞清楚了思路就可以迎刃而解了

内容提示：幂级数求和的微分方程方法

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