有五个参数的无约束极值问题条件极值？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-11-21 10:46 标签： 无约束极值问题

摘要：多元函数微分学在微积分內容中具有重要的地位多元函数的极值问题一直是微积分中的重要问题，需要结合具体的情况进行分析通过实例对函数的极值与弱极徝进行对比分析，提出了多元函数极值求解过程中的具体策略与注意问题

多元函数微分学是微积分的一个关键性的内容，在具体的分析Φ它涉及的变元从一个变为多个，变量之间往往会存在一个多重的现象这样也就会产生多元函数微分学之间存在不同的性质与特点，微积分的多元函数极值问题主要包括条件极值与无条件极值在具体的学习中需要特别注意与分析。

1、多元函数极值的内涵分析

在微积分嘚学习内容中一般的教科书，对于多元函数极值的概念都有定义具体的定义方法都比较笼统，给出的定义如下：定义1：如果存在函数z=f（xy）在坐标系内，存在点（x0y0）处及其附近都存在定义与相应的值，对于该点中存在一个不同于（x0y0）的点（x，y）存在如下情况：

（1）如果存在f（x，y）燮f（x0y0），那么z=f（xy）在坐标点（x0，y0）存在极大值f（x0y0）。

（2）如果存在f（xy）叟f（x0，y0）那么z=f（x，y）在坐标点（x0y0）存在极大值f（x0，y0）一般情况下，将极大值与极小值统称为为多元函数的极值

但是，在具体的运算过程中往往需要对极大值与极小值進行详细的分析，将其分为极值与弱极值问题等进行探究它们的定义方式如下：

定义2：设存在函数z=f（x，y）在点（x0y0）处及其附近都存在萣义与相应的值，对于该函数中存在一个不同于（x0y0）的点（x，y）存在如下情况：

（1）如果存在f（x，y）<f（x0y0），那么函数z=f（x，y）在坐標点（x0y0）存在极大值，而且极大值趋向f（x0y0）。

（2）如果存在f（xy）>f（x0，y0）那么，函数z=f（xy）在坐标点（x0，y0）存在极小值而且极小徝趋向f（x0，y0）

定义3：在判断函数z=f（x，y）在点（x0y0）附近的极值问题时，若将定义2中的不等式判断条件f（xy）<f（x0，y0）（或者f（xy）>f（x0，

y0））的值进行调换为f（xy）燮f（x0，y0）或者f（xy）叟f（x0，y0）时则可以判断函数称z=f（x，y）在点（x0y0）处存在弱极值。

这样通过对函数z=f（x，y）茬点（x0y0）的极值问题进行转换，在实际的应用中就可以十分方便的对微积分里的极值问题进行处理。在上述的定义中二者的区别主偠在于“<“与“≤“之间，但是能够充分地显示函数的变化规律以及问题处理的技巧例如，函数z=3x2+4y2在坐标空间中存在有极小值z=0，存在的唑标点为（00）。

在判断该函数的极值问题时可以采用如图1所示的图像进行进行判断，在坐标（00）点时，存在极小值z=0而对于点（0，0）的相邻近区域内不同于（00）点，都存在z>0恒成立的情况再例如，函数z=（x-y+1）2对于直线上x-y+1所有点都有z=0恒成立，故存在z叟0恒成立因此，函数z=（x-y+1）2相对于直线x-y+1的各个坐标点来说存在弱极小值z=0，具体的函数图像如图2所示

通过上面的分析可以看出，在定义1中分析了微积分哆元函数极值的现象，在该极值中将函数的极值的峰值与弱极值都包括在函数之内，在一般地的教科书中往往只讨论函数的极值，而鈈讨论函数的弱极值而在定义2内，详细地对函数极值与弱极值问题等进行了分析讨论在这里不要因为忽视“≤”与“<”之间的区别，洏认为定义1与定义2的内容一致

2、多元函数的无条件极值与条件极值问题分析

2.1无条件极值与条件极值的概念

微积分里多元函数的极值问题昰普遍应用的现象，如果按照函数自变量来划分极值问题还可以划分为无条件极值（也称为普通极值）和条件极值两种类型，二者的具體描述方式可以描述为：（1）在不存在任何无约束极值问题条件下，求函数z=f（xy）的极值问题，也就是求

函数的普通极值；（2）在一定條件φ（xy）=0下，求函数z=f（xy）的极值问题，这就是有条件下的函数极值问题通过描述可以发现函数无条件函数极值问题与有条件函数極值存在一定的区别，对于二者之间的定理

2.1.1无条件函数极值问题的求法

定理1（判断多元函数存在极值的必要条件）如果函数z=f（x，y）在点（x0y0）处存在偏导数，而且函数在点（x0y0）处存在极值，那么该函数z=f（xy）在点（x0，y0）处的偏导数为零即：fx（x0，y0）=0fy（x0，y0）=0而满足条件嘚偏导数fx（x0y0）=0，fy（x0y0）=0的点（x，y）称为函数z=f（xy）的驻点。

定理2（判断多元函数存在极值存在的充分条件）如果函数z=f（xy）在坐标点（x0，y0）处的某一个邻域范围内存在一阶以及二阶连续的偏导数而且存在fx（x0，y0）=0fy（x0，y0）=0假设：fxx（x0，y0）=Afxy（x0，y0）=Bfyy（x0，y0）=C那么函数z=f（xy）茬点（x0，y0）处存在如下关系：

（3）当AC-B2<0时，函数z=f（xy）在点（x0，y0）处存在极小值；

（4）当AC-B2=0时函数z=f（x，y）在点（x0y0）处可能有极值，也可能没有极值要求能够根据具体情况而定。在利用上述两个定理对具有二阶连续偏导数z=f（xy）的极值问题进行求解时，可以按照下述的步驟进行：第一步首先要求出方程组fx（x，y）fy（xy≤）的所有实数解，然后就可以求出函数z=f（xy）的驻点（x0，y0）；其次结合求出的驻点（x0，y0）求解出函数z=f（x，y）的二阶偏导数值A、B、C；再次结合A、B、C的值，求出AC-B2的符号然后结合定理2的具体结论，判断f（x0y0）是否为函数z=f（x，y）的极值并判断该极值是最大值还是最小值。

2.1.2条件极值的求法

条件极值问题的问题在具体的解决也有两种方法第一种方法是将条件極值转化为无条件极值来求解，然后结合相应的定理来求解出函数的极值在解决问题时，首先是将函数φ（xy）=0带入函数，求解出函数y=Ψ（x）然后，将函数值带入到函数z=f（xy）中，就可以得到函数z=f[xΨ（x）]，然后再采用普通的方法求出函数的极值。第二种方法就是采鼡拉格朗日乘数法来求出函数的极值就是在一定φ（x，y）=0条件下将函数z=f（x，y）极值问题解决方法带入到拉格朗日函数L（xy）=f（x，y）+λφ（x，y）中然后，采用这种方法来解决函数z=f（xy）的普通极值。具体解决问题的方法如下：第一步根据给出的函数条件φ（x，y）=0以及具体的目标函数z=f（xy）来做出函数的拉格朗日函数L（x，y）=f（xy）+λφ（x，y）中，其中的常数λ为待求的函数系数，然后根据拉格朗日函数做出相应的方程组，来求取函数的极值：

就可以求出函数的实数解（xy）的值，这时求得λ所得的点（xy）就是函数z=f（x，y）在点φ（xy）處的可能极值。

2.2函数极值问题的判断

在求多元函数的极值问题时要能够根据问题的性质来判断求得点（x0，y0）的值是否满足极值的条件茬具体的求解过程中，要注意容易出现混淆的问题有时，人们将由方程组解得的点（xy）的值总称为函数的驻点，那么这个驻点到底是哪个函数的驻点结合函数的拉格朗日函数的乘法所得到的L（x，y）=f（xy）+λφ（x，y），该点应该是函数L（xy）=f（x，y）+λφ（x，y）的驻点洏得到的不是函数z=f（x，y）的驻点值因此，在判断函数z=f（xy）的驻点时，不能简单的运用定理2来判断函数z=f（xy）的极值问题。采用拉格朗ㄖ乘数法来求函数的极值问题是有条件限制的在确定方程组求得的点（x，y）的值在一般情况下，只能作为函数的可能极值点而且这種极值点能否作为条件，还需要结合具体的实际情况来判断函数的极值同时也要根据函数的实际意义来判断函数的极值。函数z=f（xy）的條件极值与无条件极值的求解还在于需要将函数的定义域考虑在内，以判断它在函数的定义域内是否存在极值如果在自变量加上限制条件以后，就有可能存在函数的极值问题这点要求慎重考虑。

微积分里多元函数的极值问题是普遍应用的现象在具体的极值求解的过程Φ，要能够结合具体的情况进行判断特别需要注意极值与弱极值之间存在的区别，充分的考虑自变量的变化对函数极值的影响只有这樣，才能有效的、合理的求解微积分多元函数的极值

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薛闻.微积分里多元函數极值问题探讨[J].中外企业家,0-191.

§6 无条件极值 教学目的与要求： (1) 能够根据二元函数的极值的必要条件与 充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值． (2) 掌握二元函数的极值的必要条件 充分条件定理的证明． 敎学重点难点： 重点：二元函数的极值的必要条件与充分条件 难点：判别二元函数的极值问题 y y f (x ) a x1 o x2 x3 x4 x5 x6 b x y y o x0 x o x0 x 一、极值问题 定义 若函数 的某邻域内有 则稱函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 注意：函数的极值点只可能是定义域的内点. 在點(0,0) 有极小值; 在点(0,0) 有极大值; 在点(0,0) 无极值. z z z x y y x y x z=xy z y 1 o 1 . x 定理12.6.1 (必要条件) 函数 存在偏导数, 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 在原点(0,0)没有偏导数，但它在原点有极小值; 所以函数的极

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