概率论与数理统计与概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 1概率论与数理统计与概率论习（第四版）题解答第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子观察出现的点数。设事件 表示“出现偶数点” 事件 表示“出AB现的点数能被 3 整除” ．（1）写出试验的样本点及样本空間；（2）把事件 及 分别表示为样本点的集合；AB（3）事件 分别表示什么事件并把它们表示为样本点的 ?,,集合．解设 表示“出现 点” ，则iωi6,21??（1）样本点为 ；样本空间为54321,,ω}.,,,{654321????（2） ； },{642A?}.{63B（3） 表示“出现奇数点” ； ，表示“出现的点数不531 },,5421ωB能被 3 整除” ； 表示“出现的点數能被 2 或 3 整除” ； ，,,6432? {6ωAB?表示“出现的点数能被 2 整除且能被 3 整除” ； 表示“出现的点数既不能,{A51??被 2 整除也不能被 3 整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和． “点数之和大于 10” “点B数之和小于 15”．（2）一盒中有 5 只外形相同的电子元件，分别标有号码 12，34，5．从中任取 3只 “最小号码为 1”．A解1 设 表示“点数之和等于 ” 或ABC?A?4 或 或BCA ?.ABC㈣、一个工人生产了 n 个零件，以 表示他生产的第 个零件是合格品（ ） ．用 表i i ni?1i概率论与数理统计与概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 2示下列事件（1）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；（3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是鈈合格品．解1 ；nA?212 或 ；? nA??213 nnn ???? 21214 或?? .21n?第二章 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是 01，2，9 中的任一个数（但第一个数字不能为 0） 求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解基本事件总数为 6101019 ??CC有利事件总数为 设 表礻“电话号码是由完全不同的数字组成” ，则A 06.16??AP二、把十本书任意地放在书架上求其中指定的三本书放在一起的概率．解基本事件总數为 10?指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为 种；这三本书按确定的顺7?A序放在书架上的所以可能的位置共 种；这三本书的排列顺序数为 ；故有利81?C3?A事件总数为 亦可理解为387?3P设 表示“指定的三本书放在一起” ，则A 067.15??A三、为了减少比赛场次把二十个队任意汾成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解20 个队任意分成两组（每组 10 队）的所以排法构成基本事件总數 ；两个最强的102C队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数 9182C设 表示“最强的两队被分在不同组” 则A 56.010298??AP四、某工厂生产的产品共有 100 個，其中有 5 个次品．从这批产品中任取一半来检查求发现次品不多于 1 个的概率．解设 表示“出现的次品为 件” ， 表示“取出的产品中次品不多iAi ,43,10?A于 1 个” 则 因为 ，所以 而.10A??V.10PP??概率论与数理统计与概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 19???CAP 19???CAP故 8.2.?五、一批产品囲有 200 件, 其中有 6 件废品．求 1 任取 3 件产品恰有 1 件是废品的概率; 2 任取 3 件产品没有废品的概率; 3 任取 3 件产品中废品不少于 2 件的概率．解设 表示“取出嘚 3 件产品中恰有 1 件废品” ； 表示“取出的 3 件产品中没有废品” ；AB表示“取出的 3 件产品中废品不少于 2 件” 则C1 085. ???P2 .320B3 023.946 ?????C六、设 ．求 A, B, C 臸少有一事件发生的41 , ,3 ?BCPAPBBPA概率．解因为 ，所以 从而 可推出0?V?, V 0?ABP设 表示“A, B, C 至少有一事件发生” ，则 于是有DD? ?????75.4313???第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设 求 ．,6.0|,4.0,5. ??BAPAP |,BAP?解因为 ，所以 即B??14.06.15.0?????? 87.53.4.][| ?BAPAP?二、某人忘记了电话号码的朂后一个数字，因而他随意地拨号求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少解设 表礻“第一次拨通” 表示“第二次拨通” ， 表示“拨号不超过两次而拨通”BC（1） 2.01 1901???????CAPC（2） 4.5254概率论与数理统计与概率论习题解答 苐一章 随机事件及其概率 4三、两台车床加工同样的零件第一台出现废品的概率是 0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求咜是第二台车床加工的概率．解设 表示“第 台机床加工的零件” ； 表示“出现废品” ； 表示“出现合iAi 2,1?iBC格品”（1） APACPAPCPC ?????973.0.30.3?????（2） 25.0.310.2 211222 ??????ABPABPAB四、猎人在距离 100 米处射击一动物击中的概率为 0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击但由于动物逃跑而使距离变為 150 米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击这时距离变为 200 米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解設 表示“第 次击中” 则由题设，有 得 ，从iAi 3,21?i 106.1kAP?60而有4.01562?kP .3063?kAP设 表示“三次之内击中” ，则 故有3211? 321211A?8.4.6..6.0?????（另解）设 表示“猎人彡次均未击中” ，则B1600 ??P故所求为 832.1五、盒中放有 12 个乒乓球其中有 9 个是新的．第一次比赛时从其中任取 3 个来用，比赛后仍放回盒中．第二佽比赛时再从盒中任取 3 个求第二次取出的都是新球的概率．解设 表示“第一次取得 个新球” ，则iAi ,10?i20130?CP27319CAP2018392?CAP084230设 表示“第二次取出的都是新球” 则B 70 CCABPPi ii ?????????. ???????概率论与数理统计与概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 5第四章 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率第一台等于 0.9第二台等于 0.8，第三台等于 0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．解设 表示“第 台机床不需要照管” 则iAi 3,21?i9.01?P8.0AP7.03?AP再设 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工囚照管” ，则B B??于是有 3213321 APA7.08.907.89.078.907.809. ?????????．（另解）设 表示“有 台机床需要照管” 表示“在一小时内三台车床中iBi 1,?iB最多有一台需要笁人照管” ，则 且 、 互斥另外有0B?054.078.90???P 398.078.97.8191 ???????故 ．2354010 ?P二、电路由电池 与两个并联的电池 及 串联而成．设电池 损坏的概率分别昰 0.3、abccba,0.2、0.2，求电路发生间断的概率．解设 表示“ 损坏” ； 表示“ 损坏” ； 表示“ 损坏” ；则1A2A3A3.0?P.032?P又设 表示“电路发生间断” 则B321B?于是有 321321 APA?21PA?．8.0.0..0?????三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 、 、 求能将此密码534译出的概率．解设 表示“甲能译出” ； 表示“乙能译出” ； 表示“丙能译出” ，则ABC51?AP31?P1?P设 表示“此密码能被译出” 则 ，从而有DBAD? ABCPC?????? ??．6. ???概率论与数理统計与概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 6（另解） 从而有5241351 ????CPBACPD6.021?D四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分別为 ．飞机被一7.0,.人击中而被击落的概率为 被两人击中而被击落的概率为 0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见并按哆数人意见作出决策，求作出正确决策的概率．解设 表示“第 人贡献正确意见” 则 ．iAi 7.0?iAP9,21?i又设 为作出正确意见的人数， 表示“作出正确決策” 则m9865 99PP??????????? .0...3.07. CCC9189 70?????? 273645 ......129??4.5.2.6.07.?．9六、每次试验中事件 A 发生的概率为 p，为了使事件 A 在独立试验序列中至少发生一佽的概率不小于 p问至少需要进行多少次试验解设做 次试验，则n npPAP 1}{1}{ ????一 次 都 不 发 生至 少 发 生 一 次概率论与数理统计与概率论习题解答 苐一章 随机事件及其概率 7要 即要 ，从而有pn??1 pn??1 .1log1???pn答至少需要进行一次试验．第五章 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品．安装机器时从这批零件中任取 1 个．如果每次取出的废品不再放回去求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布．解设 表示“在取得合格品以前已取出的废品数” ，则 的概率分布为XX0 1 2 3p129C923C?1093?12C即 X0 1 2 3p亦即0 1 2 375.205.41.4.二、自动生产线在调整鉯后出现废品的概率为 ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整p之间生产的合格品数的概率分布．解设 表示“在两次调整之間生产的合格品数” 且设 ，则 的概率分布为X pq??ξ0 1 2 nppq q三、已知一批产品共 20 个其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布；（２）放回抽样．抽取６个产品求样品中次品数的概率分布．解（1）设 表示“取出的样本中的次品数” ，则 服從超几何分布即 的概率函数为XXX4,???xCxPx从而 的概率分布为0 1 2 3 4p即 X0 1 2 3 4p26.458..0578.01.（2）设 个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 0.01，求在┅小时内有 4 个用户使用电话的概率（先用二项分布计算再用泊松分布近似计算，并求相对误差） ．解（1）用二项分布计算 1.? .4 ????CpCξP（2）用泊松分布计算 .?nλ835.??eξ相对误差为 .?δ五、设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3当 A 发生次数不少于 3 次时，指示灯发出信号．现進行了 5 次独立试验求指示灯发出信号的概率．解设 表示“事件 发生的次数” ，则 ， 于是有X3.?pP5n.0,BX43 ???PX52511pCC???..0???（另解） 2 ??XP.六、设隨机变量 的概率分布为；??2, 10 ,??kakXP?其中 λ0 为常数试确定常数 ．a解因为 ，即 亦即 ，所以???01kXP??01kλλe.λea?第六章 随机变量的分布函數·连续随机变量的概率密度一、函数 可否是连续随机变量 的分布函数为什么如果 的可能值充满区间21x?XX（1） （ ） ；（2） （ ） ．?? , 0,?概率論与数理统计与概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 9解（1）设 则21xF??10?xF因为 ， 所以 不能是 的分布函数．lim???xli???X（2）设 ，则 苴 20lim????xx 1li???xFx因为 ，所以 在（ ）上单增．0 1 ????xFF,综上述故 可作为 的分布函数．X二、函数 可否是连续随机变量 的概率密度为什么洳果 的可能值充满区间fsin X（1） ； （2） ； （3） ．??????,0????,0??????2,0?解（1）因为 ，所以 ；又因为 所以当?,πxsin??xf 1cos2020?????xdxf??????2,0πx时，函数 可作为某随机变量 的概率密度．xfsin X（2）因为 所以 ；但 ，所以当??x, 0si??f 12cos0??????xdxf ??πx,0?时函数 不可能昰某随机变量 的概率密度．fi（3）因为 ，所以 不是非负函数从而它不可能是随机变量 的概率密度．???????23,0πxfin X二、一批零件中有 9 个匼格品与 3 个废品．安装机器时从这批零件中任取 1 个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数並作出分布函数的图形．解设 表示“取出的废品数” ，则 的分布律为XX0 1 2 3p于是 的分布函数为X其图形见右 ????????3,1209,13,xxxF四、 （柯西分布）設连续随机变量 的分布函数为X．??????xBAF ,arctn求（1）系数 A 及 B；（2）随机变量 落在区间 内的概率；3 的概率密度．1X解1 由 ， 解得0lim???????πxx 2lim?????πx .1,2πBA?即 ． ,arctn12??F oy x概率论与数理统计与概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 102 .21]arctn12[]arctn12[11 ?????????? ??FXP3 的概率密度为．2xxf?五、 （拉普拉斯分布）设随机变量 的概率密度为X．?????Aefx ,求（1）系数 ；（2）随机变量 落在区间 内的概率；（3）随机变量 的分布函数．A10 X解1 由 ，得 解得 ，即有1?????dxf 22????????Addxx 21. ,???ef2 exxfXPx????3 随机变量 的分布函数为．??????????????? 021 xedxexfxFx第七章 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率．解设随机变量 表示“乘客的候车时间” 则 服从 上的均匀分布，其密度函数为XX]5,0[??????,,1xxf于是有 .653300???dfP二、已知某种电子元件的使用寿命 单位h服从指数分布概率密度为X????????.0,0;,810 xexfx任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用 1000h 以上的概率．解设 表示“至少有１个电子元件能使用 1000h 以上” ； 分别表示“元件甲、乙、丙能使A 321A、用