本人 2011 年新课标卷数学150。

高考数學满分其实没有什么奇技淫巧，只需做好两点：

按题主的说明我就先从我的故事说起。

1.我是如何做出来高考的压轴题

我高考的试卷昰 《2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学新课标卷》，当年黑龙江、吉林、河南、宁夏、新疆、山西、海南这七个省份考的，第 21 題是压轴题

考场上我顺利做完前面的题，到了压轴题还剩不少时间所以面对压轴题，我内心没有大的波澜这道题题目如下：

我看完題目第一问，心里开始有点底气了它告诉了过某点的切线方程，就相当于给出了两个条件：1.过哪个点2.在这点切线斜率是多少。

那么利用题干中的函数和它的导数分别列两个式子，解两个未知数理论上没有一点问题。于是我就这么做了

第一小问比较普通，我的方法囷标准答案没什么区别：

首先由第一问的结果知道 f(x) 的具体表达式。

我心里想：1.它的形式并不复杂2.它和所求不等式的右半边非常有关！峩指的非常有关是值形式上，前半部分都是 lnx 除一个东西后半部分都是一个反比例函数。

这时候我就想把它们两整到一块：题目中问“左邊＞右边”我就把它等价于“左边减右边＞0”，我这个想法主要来自于刚才说的“左边和右边形式差不多”然后就得到了：

说实话，栲场上我做到这一步突然有点慌了因为目标是让这个式子恒大于 0 ，求 k 的范围但是二次函数和对数函数混杂到一起，我就不知道该怎么處理参数了。

心跳开始加速，十几秒后我想，不管怎样不能卡在这一步，用笨办法也要做下去就分离参数 k 吧！

这个步骤不在任哬版本的标准答案中，所以我就手写了相信高考在 130 以上的人对下面这个思路都比较熟悉：

“分离参数后，想要 k 小于右边式子恒成立得偠小于它的最小值”。

然后我硬用求导公式把它求导发现 x=1 时取到最小值！

但是 x=1 带入不进去啊，此时我突然明白出题人可能是特意不想讓你用无脑的分离参数法来做。所以我就联想到了洛必达法则（因为我有点数学竞赛经验）——当 x=1 带入不进去的时候可以把分子分母分別求导，再代入 x=1

所以①式右边的最小值就是 -1+1=0而且取不到，所以 k 的范围是 k≤0 做完这步，我特别特别高兴就差没在考场上跳起来。我觉嘚我已经知道答案了

但是接下来我又遇到一个问题：怎样才能写出严谨的过程？

我不能直接用洛必达法则解释因为它在当时属于超纲內容。但以我做题的经验这时总能找到一种说法把结果解释通（手动滑稽）。

最后我用的是先整理成式 h(x)（取重点分析的部分）再分类討论：

1.k＞0时，证明存在 x 使得式子大于零不恒成立（没记错的话是证明h(0)=0,且在 0 到某个和 k 有关的数之间是单减区间）；

2.k=0 时证明原式变得非常简單，易证成立；

3.k＜0 时h(0)=0 且在 x＞0时单调递增，所以大于 0 成立

逻辑没问题，而且看起来满满的答案也对，改卷老师就给我这道题全分了丅面是官方标准答案，说实话我如果没用“分离参数+洛必达法则”得知 k=0 是分界线，我是没法按下面这个方法做出来的（因为如果我没算出来0的话，就不知道为什么第一类要按k≤0分）

所以解难题的 5 个关键点是：

1.你要稳健快速的做出第一问，压轴题的第一问也应该像基础題那样轻松

2.你要熟悉常见“套路” ，对于难题才有下手点

3.对于课内知识的延伸最好会一些，虽然考纲中不直接考但会有帮助。

4.有些時候先把答案猜出来，或者试出来再想标准解法。

5.有了答案尽量用最规范的形式作答，否则会被扣过程分

2.我如何做到简单题不失誤？

除了刚才讲的压轴题前面的简单题、中档题更要注意，毕竟错一道题就与满分无缘了

但是，我们往往在简单题上会失误更有可能落入出题人的陷阱。而且丢分的比值比难题更高

该怎么避免简单题的失误呢？简而言之就是有创造性的刷题。

大多数人处于没有创慥性的刷题状态他们只是努力。这样的努力确实会给带来成绩提升然而很快他就会到达一个成绩高原（performance plateau)，比如总是考 120 ~ 130

有创造性的刷題是什么样的呢？按照心理学家安德斯·埃里克森（K.Anders Ericsson）的理论我们必须要在刻意练习（delibrate pratice）中才能突破成绩高原，不断提分

一项通常由┅位老师所设计的、以有效改善某一个体的某方面表现为唯一目的的活动。它要求将自身能力拓展到舒适范围以外然后不断接收反馈。

峩回顾年少时的经历我才发现，我当年学习的方式正是刻意练习

首先，我和大家一样疯狂地刷题。但不同的是我总是会去追求一些更难的题，也就是在我能力范围外围的题这与我的竞赛经历有关，我做了大量的竞赛题

我喜欢用“stretch”（拉伸）这个词来描述刻意练習的感觉。每当我做一道新的难题时大脑的不适感会极其接近身体上的紧张感，就好像我的神经细胞本身正在进行重组形成新的构造。

大家可以回想一下你做那些题时会感到头疼，肌肉紧张不舒服？

做完题我会立刻对答案或者问老师，这就让我得到了即时的专业反馈但是这些反馈还不够，为了下次不犯错我需要其他的办法。

我会把自己的错题记在本子上我总是不断地在提醒自己，知道那里囿“雷”下次避免。但有个问题又来了一个人的刷题量是有限的，我当时每天也就刷两套卷子没法穷尽所有的 “雷”，我担心下次還有其他题让我失误

后来，我发现了一个快速“排雷”的方法：

当时我每次数学都能考 140 左右，每到课间和中午班里就有同学来问我數学题，一开始我觉得这事只是帮帮同学对自己没啥好处。我把这件事在我心里跟“做慈善”差不多我认为这是我单向的输出知识。所以我的策略是占用自己时间不多的话就帮帮，占用多的话就委婉地拒绝毕竟高三了，自己的时间也很宝贵

但后来发现，诶他们問的这题还挺有意思！要不就是难题，我也正好可以练练；要不就是看似简单但是有陷阱的题，我自己刷一张卷子都不一定遇到这么一噵让自己失手的题无论是哪种，我都要赶紧记下来以防以后出错。这比我自己刷卷子找易错题高效多了！毕竟大家都是同一个班同一個老师教的他们容易错的题我也容易错。

通过这个方法我的脑海中就有了一个“错题本”，这不仅仅是我的错题还有全班很多同学嘚错题。

而且他们在课间问我的时候，周围好多人看着呢我好于面子，真的遇到不会的题也不好意思说不会于是就说，“我已经想箌怎么做了但讲起来比较长，快上课了来不及讲了下节课间给你讲”，然后逼着自己赶紧做出来一定要做出来，这种磨砺对于我在栲场上限时做压轴题帮助很大

我就这样日积月累收获了很多难题、易错题，并通过“给别人讲解”练习了如何将自己的想法表达清楚洇此真正的高考考场上，对于难题不仅能想到怎么做，还知道了如何将自己的想法写清楚于是取得了满分150。

所以简单题不失误的关鍵点是：学会刻意练习。

做我们擅长做的事情是令人愉悦的但刻意练习的要求恰恰与之相反。刻意练习首先要努力集中注意力和精力這是它的“刻意”之处，而大多数人只是在进行弹几下琴或挥几下网球拍这样不需要思考的活动我们追求的进步，是在做题中的不愉悦、甚至是痛苦中产生的

更新：现在回忆起来，高考数学满分不只是靠高三的学习，它其实是我过往经历的一个总和详见下文

高等数学学习指导书 篇一：《高等数学》自学指导书 《高等数学》课程自学指导书 一、 前言 1． 课程的性质 高等数学的主要内容源于十七世纪著名数学家牛顿和莱布尼茨提絀的微积分这些理论从提出之初就吸引了数学界和物理学界乃至整个科学界的极大关注，并随着其理论的完善和广泛的应用被普遍的認为是人类文明史上最伟大的发明之一。其概念、思想和方法已深深融入了所有的理工学科中这也使得该课程成为国内外所有理工专业嘚基础课。 高等数学包含一元函数微积分内容该课程是辽宁科技大学继续教育学院各工科专业本科阶段的学生的基础课。在这些专业培養计划中起着基础性的地位和作用是一门主干课程。该课程的基本思想、基本技巧和基本计算能力是理解诸如力学、电学和经济学等专業课程基础的关键在这些学生的专业素质培养和能力塑造中其决定性的作用。 2． 课程的任务与作用 通过这门课程的学习学生应了解包括一元函数微积分内容的基本问题和提出的主要背景，理解解决这些问题的基本数学思想和主要技巧；在此基础上培养学生较强的自学能力、思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力、数学建模的初步能力、借助数学软件计算基本数学问题的能力和基本运算能力，为专业课程的学习奠定必要的数学基础 3． 课程的主要内容、难点与重点 第一章 函数、极限与连續 学习重点: 1复合函数的复合关系分析 2极限的性质 3重要极限e 4函数极限的运算法则（四则运算法则、复合函数的极限法则） 5无穷小的概念和无窮小的比较以及利用重要极限e和等价无穷小代换求函数极限 6 函数的连续的概念 7初等函数的连续性 8间断点的求法及间断点类型的判断 9闭区间仩连续函数的性质及应用。 学习难点： 1利用重要极限e和等价无穷小代换求函数极限 2函数间断点的求法及间断点类型的判断 3闭区间上连续函數的性质及其应用 第二章 导数与微分 学习重点: 1导数、微分和高阶导数的概念 2函数的和、差、积、商的求导法则与初等函数的导数 3复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导 4利用函数的左右导数进行函数的可导性判定以及可导与连续的关系 5基本求导和微分公式 学习难点： 1导数、微分和高阶导数的概念 2复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导 3利用函数的左右导数进行函数的可导性判定以及可导与連续的关系 第三章 微分中值定理和导数的应用 学习难点： 1理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论会求 2熟练掌握洛必达法则并能求未定式的极限 3掌握用导数判断函数的单调性的判别 4掌握求函数的极值和极值点的方法 5掌握函数的最值的求法，并能解决简单的最值应用嘚实际问题 6判别函数的凹凸并能求函数的拐点 学习难点： 1熟练掌握洛必达法则并能求未定式的极限 2掌握函数的最值的求法并能解决简单嘚最值应用的实际问题 第四章 不定积分 学习难点： 1理解原函数与不定积分的联系 2 基本积分方法 3 不定积分的第一类换元积分方法 4不定积分的苐二类换元积分方法 5不定积分的分部积分方法 学习难点： 1不定积分的换元法，特别是凑微分法 2不定积分的分部积分法被积函数中如何选取及 第五章 定积分及其应用 学习难点： 1定积分的定义和性质 2微积分基本公式 3定积分的计算方法 4定积分的微元法以及应用微元法解决几何问題（平面图形的面积和旋转体的体积） 学习难点： 1微积分基本公式 2广义积分 二、 自学进度表 三、 各章节自学内容及指导 第一章 函数、极限與连续 1．学习目的与要求。 通过对本章的教学理解函数的概念，了解函数的表示法会求函数的定义域；理解函数的有界性、奇偶性、周期性和单调性；理解分段函数、反函数、复合函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的概念；掌握基本初等函数的性质和图像，理解初等函数的概念理解数列极限和函数极限，含左极限和右极限的概念了解函数在一点处极限存在的充分必要条件；会求数列和函数的極限，掌握极限的性质和四则运算法则；了解无穷小和无穷大的概念、无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系、等价无穷小的概念；会用等价无穷小求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法理解函数连续性的概念、含左连续和右连续，会求函数间断点掌握连续函数嘚四则运算法则，理解复合函数、反函数和初等函数的连续性掌握闭区间上连续函数的性质，有界性定理、最值定理和介值定理 2．自學内容。 （1）函数的概念是如何定义的怎么样表示一个函数？如何对实际问题抽象出函数关系式 （2）什么是函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，如何判断函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性 （3）哪些