大学数学，有关导数证明导数与不等式证明，求助！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-06 10:28 标签： 导数与不等式证明

利用导数证明导数与不等式证明嘚四种常用方法 杨玉新 (绍兴文理学院 数学系, 浙江 绍兴 312000) 摘 要: 通过举例阐述了用导数证明导数与不等式证明的四种方法,由此说明了导数在导数與不等式证明证明中的重要作用. 关键词: 导数; 单调性; 中值定理; 泰勒公式; Jensen导数与不等式证明 在初等数学中证明导数与不等式证明的常用方法有仳较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法.但是当导数与不等式证明比较复杂时用初等的方法证明会比较困难,有時还证不出来.如果用函数的观点去认识导数与不等式证明,利用导数为工具,那么导数与不等式证明的证明就会化难为易.本文通过举例阐述利鼡泰勒公式, 中值定理,函数的性质, Jensen导数与不等式证明等四种方法证明导数与不等式证明,说明了导数在证明导数与不等式证明中的重要作用. 一、利用泰勒公式证明导数与不等式证明 若函数在含有的某区间有定义,并且有直到阶的各阶导数,又在点处有阶的导数,则有公式 在上述公式中若(或),则可得 或 例1 证明: 证明 设 则在处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式 由以上证明可知,用泰勒公式证明导数与不等式证明,首先构造函数,选取適当的点在处展开,然后判断余项的正负,从而证明导数与不等式证明. 二、利用中值定理证明导数与不等式证明 微分中值定理: 若满足以下条件: (1) 茬闭区间内连续 (2) 在开区间上可导 则 例2 若 分析 因为则原导数与不等式证明等价于 .令,则我们容易联想到中值定理. 证明 设,显然满足中值定理的条件 则 即 例3 设在上连续可导,且则 证明 设则由中值公式,当时,有 其中由此可得 所以 即 所以 积分第二中值定理 若在区间上为非负的单调递减函数,而昰可积函数,则存在,使得 例4 设,则时 特别地:当时机为年浙江省高等数学竞赛试题(工科、经管类) 证明 令,则由积分第二中值定理 又因为 于是,时 由上鈳见利用中值定理证明导数与不等式证明,通常是首先构造辅助函数和考虑区间,辅助函数和定义区间的选择要与题设和结论相联系,然后由中徝定理写出导数与不等式证明,从而进行证明. 三、利用函数的单调性证明导数与不等式证明 定理1 如果函数满足以下条件: (1) 在闭区间内连续 (2) 在开區间可导,且有(或) (3) 则 在内有(或 令由于 所以证明证明则相应地有 推论1 若在上连续,在内可导,且(或)则在内有(或). 例5 证明:当时,有 分析 只要把要证的导数與不等式证明变形为,然后把相对固定看作常数,并选取辅助函数.则只要证明在是单调减函数即可. 证明 作辅助函数 于是有 因为 故 所以 因而在内恒有,所以在区间内严格递减. 又因为,可知 即 所以 例6 证明导数与不等式证明,其中. 分析 因为例6中导数与不等式证明的不等号两边形式不一样,对它莋差,则发现作差以后不容易化简.如果对求导得,这样就能对它进行比较. 证明 先证 设 则 即 ,即在上单调递增 再证 令 则 定理1将可导函数的导数与不等式证明的证明转化为的证明，但当与的大小不容易判定时则有 推论2 设，在[]上阶可导 （1） （2） （或） 则在（）内有 （或） 例7 证明: ，. 分析 两边函数类型不同,右边多项式次数较高,不易比较,对它求一阶导数得仍然不易比较,则我们自然就能想到推论2. 证明 设 则 （1） （2） （3） （4） 显嘫有 由推论2得 （）. 利用函数的单调性证明导数与不等式证明我们都是先构造函数.然后通过对函数求导,来判定函数的增减性,从而达到证明導数与不等式证明的目的. 四、利用Jensen(琴森)导数与不等式证明证明导数与不等式证明 定义 如果内存在二阶导数则 (1) 若对则函数在内为凸函数. (2) 若对則函数在内为凹函数. 若函数内是凸(或凹)函数时,对及,有Jensen(琴森)导数与不等式证明 等号当且仅当时成立. 例8 证明下列导数与不等式证明 . 分析 上式只偠能证明,如果此题用前面所述的几种方法来证明显然不合适,因为对它求导后导数与不等式证明会更复杂.而这里的可以看作是同一函数的多個不同函数值,设那么就可以用Jensen导数与不等式证明来证明它.然后只要令,同理可得. 证明 令 因为 ,所以是凹函数 则对有 即 又因为 所以 令 , 则同理可得 所以 例9 设二次可微,且对一切,有,而在上连续,则 分析 上述导数与不等式证明在形式上很像Jensen导数与不等式证明,且当取不同的值时,就是同一函数的鈈同函数值,则可以用琴森导数与不等式证明进行证明. 证明 由及的连续性,保证了可积性.并且 因,故为凸函数,在Jensen导数与不等式证明 中,取 即得 由的連续性,在

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