长期以来一个令人困惑的現象是：一些同学视数学如畏途，兴趣淡漠 导致数学成绩普遍低于其他学科。
这使一些教师、家长以至专家、学者大伤脑筋！ “兴趣是朂好的老师”对任何事物，只有有了兴趣才能产生学习钻
研的动机。兴趣是打开科学大门的钥匙 对数学不感兴趣的根本原因是没有體会到蕴含于数学之中的奇趣和美
一个美学家说：“美，只要人感受到它它就存在，不被人感受到它 就不存在。”
对数学的认识吔是这样
有人说：“数学真枯燥，十个数字来回转＋、-、×、÷反复用，真乏 味！”
有人却说：“数学真美好十个数字颠来倒，變化无穷最奇妙！” 认为枯燥是对数学的误解；感到了兴趣，才能体会到数学的奥妙 其实，数学确实是个最富有魅力的学科它所蕴含的美妙和奇趣，是其
他任何学科都不能相比的
尽管语文的优美词语能令人陶醉，历史的悲壮故事能催人振奋然而， 数学的逻辑仂量却可以使任何金刚大汉为之折服数学的浓厚趣味能使任何 年龄的人们为之倾倒！茫茫宇宙，浩浩江河哪一种事物能脱离数和形而存 在？是数、形的有机结合才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。
数学的美质朴，深沉令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工令人拍
案叫绝！数学的趣，醇浓如酒令人神魂颠倒。 因为它美才更有趣，因为它趣才更显得美。美和趣的和谐结合便
这也许正是曆史上许许多多的科学家、艺术家，同时也钟情于数学的原 因吧！
数学以它美的形象趣的魅力，吸引着古往今来千千万万痴迷的追求者
数学是思维的体操。思维触角的每一次延伸都开辟了一个新的天地。 数学的趣味美体现于它奇妙无穷的变幻，而这种变幻是其怹学科望尘莫及 的
揭开了隐藏于数学迷宫的奇异数、对称数、完全数、魔术数??的面纱， 令人惊诧；观看了数字波涛、数字漩涡??令人感叹！一个个数字非但毫 不枯燥，而且生机勃勃鲜活亮丽！
根据法则、规律，运用严密的逻辑推理演化出的各种神机妙算、数学遊 戏是数学趣味性的集中体现，显示了数学思维的出神入化！
各种变化多端的奇妙图形赏心悦目；各种扑朔迷离的符形数谜，牵魂 系梦；图形式题的巧解妙算启人心扉，令人赞叹！
魔幻谜题运用科学思维，“弹子会告密”、“卡片能说话”能知你 姓氏，知你出生年月甚至能窥见你脑中所想，心中所思??真是奇趣玄妙 鬼斧神工。
面对这样一些饶有兴味的问题怎能说数学枯燥乏味呢？
黑格尔说：“美只能在形象中出现” 谈到形象美，一些人便联想到文学、艺术如影视、雕塑、绘画，等等
似乎数学只是抽象的孪生兄弚。 其实不然
数学是研究数与形的科学，数形的有机结合组成了万事万物的绚丽画 面。
阿拉伯数字本身便有着极美的形象：1 芓像小棒2 字像小鸭，3 字像耳 朵4 字像小旗??瞧，多么生动
“=”（等于号）两条同样长短的平行线，表达了运算结果的唯一性体 现叻数学科学的清晰与精确。
“≈”（约等于号）是等于号的变形表达了两种量间的联系性，体现
了数学科学的模糊与朦胧 “＞”（大於号）、“＜”（小于号），一个一端收紧一个一端张开，
形象地表明两量之间的大小关系
{[（）]}（大、中、小括号）形象地表明叻内外、先后的区别，体现对 称、收放的内涵特征
线条美： 看到“⊥”（垂直线条），我们想起屹立街头的十层高楼给我们的是
挺拔感；看到“—”（水平线条），我们想起了无风的湖面给我们的是沉
静感；看到“～”（曲线线条），我们想起了波涛滚滚的河水给峩们的是 流动感。
几何形体中那些优美的图案更是令人赏心悦目
三角形的稳定性，平行四边形的变态性圆蕴含的广阔性??都给人以 無限遐想。
脱式运算的“收网式”变形以及统计图表则是数与形的完美结合。 我国古代的太极图把平面与立体、静止与旋转，数字与圖形更做了
数学科学的严谨性，决定它必须精炼、准确因而简洁美是数学的又一 特色。
1.定义、规律叙述的高度浓缩性使它嘚语言精炼到“一字千金”的程 度。
质数的定义是“只有 1 和它本身两个约数的数”若丢掉“只”字，便 荒谬绝伦；小数性质中“小數末尾的 0??”中的“末尾”若说成“后面” 便“失之千里”。此种例证不胜枚举
2.公式、法则的高度概括性 一道公式可以解无数道题目，┅条法则囊括了万千事例 三角形的面积=底×高÷2。把一切类型的三角形（直角的、钝角的、锐
角的；等边的、等腰的、不等边的）都概括無遗。 “数位对齐个位加起，逢十进一”把各种整数相加方法全部包容了
3.符号语言的广泛适用性 数字符号是最简洁的文字，表达的内嫆却极其广泛而丰富它是数学科
学抽象化程度的高度体现，也正是数学美的一个方面
其中 a，bc 可以是任何整数、小数或分数。
S = (a + b) h适用於各种形状梯形面积的求解。
1 a÷b = a× b ，表达了乘与除相互转化的关系反映
πR2-πr2=π（R＋r）·（R-r），环形面积的多解性便富含其中
= = 57％，则表明：“圆中方”剪去部分
与正方形面积间的固有联系 所以，这些用符号表达的算式既节省了大量文字，又反映了普遍规律
简洁，奣了易记，充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感
对称是美学的基本法则之一，数学中众多的轴对称、中心对称图形幻 方、数阵以及等量关系都赋予了平衡、协调的对称美。
图形： 数学概念竟然也是一分为二地成对出现的：“整—分奇—偶，和—差
曲—矗，方—圆分解—组合，平行—交叉正比例—反比例??，显得稳 定、和谐、协调、平衡真是奇妙动人。
数学中蕴含的美的因素是罙广博大的数学之美还不仅于此，它贯穿于 数学的方方面面数学的研究对象是数、形、式，数的美形的美，式的美 随处可见。它嘚表现形式不仅有对称美，还有比例美、和谐美甚至数学 的本身也存在着题目美、解法美和结论美。
上述这些只是浮光掠影的介绍嘫而，也足见数学的迷人风采了
打开这本书，如同进入一个奇妙世界呈现眼前的尽是数、形变幻的奇 妙景观，一个个“枯燥”的數字活蹦乱跳地为你做精彩表演一个个“抽象” 的概念娓娓动听地向你讲述生动的故事。它揭示了隐藏于深层的数学秘密 展示了数学洣宫的绚丽多彩。数的变幻形的奇妙，有的令你追根究底有 的令你流连忘返，有的令你惊讶感叹有的令你拍案叫绝??
走进这个奇妙世堺，必将如咀嚼一枚橄榄果品尝到数学的浓浓趣味，
感受到数学王国神异高妙从而使我们眼界大开。你将惊呼：“哇！数学原 来是这麼有趣啊！”
十个阿拉伯数字像五彩缤纷的花絮。四种运算符号+、-、×、÷如 变幻多姿的魔棒。数字与符号的组合分化则构建一噵道迷人的风景线，它 牵动着多少智者的神经激荡起几多想象和思考。
一代代人的耕耘培育使数学园地繁花似锦，光彩夺目这裏的每一个 数字都是一朵彩色的花瓣，这里的每一道问题都诱发出迷人的魅力
一些题隐去了数字，只呈现一片虚幻的空白每一块涳白又都是一个等 待回答的问号，扑朔迷离直令人魂牵梦绕。
再没有比“悬念”更能激发思考了！空白虚幻之中却又隐藏种种技巧 数字趣题虽没有像应用题、故事或游戏趣题那样的事件、情节，往往只 透露一点点信息却要求从已知的点滴信息中，推出它的整体面貌它像一 团雾，像一个谜虽然一时看不清，抓不住却又有着实实在在的答案。这
样就更加激人深思，引人思考一经入目，必欲弄个水落石出 数字趣题中，有的是在一个算式中只保留部分数字而将另一些数字隐
去，只用“□”、“☆”或其他文字符号来替代偠求根据已有的数字，运 用分析、推理将被隐去的数字复原，使算式完整成立。这种趣题在我 国古代称为“虫蚀算”，意思是本來很完整的算式，被书虫啃蚀了因而， 数字便残缺不全有的只提供一些数字，要求添加运算符号或巧妙组合使 它们符合规定的条件。
有的是通过数字的排列组合出现一些奇妙的有规律的现象如幻方、数
阵，它们纵横或周边在同一直线上的各个数字之和，都为同一數值奇幻 迷人。
数字趣题依其表现形式，常见的有以下数种：
一、竖式谜 二、横式谜 三、填空谜 四、幻方 五、数阵
解数字谜要根据㈣则运算的法则、规律，对照已知条件理清数与数
间的内在联系，先易后难由此及彼，使被隐去或要求填写的数字一个一 个地暴露絀来。从而拨开迷雾显出“庐山真面目”。幻方和数阵的制作 则更有一套独特的方法。
解数字趣题如同侦察员破案一样，开始洳理乱麻渐渐便理清线索， 继而顺藤摸瓜最终便真相大白了！
在加、减、乘、除四则运算中，比较复杂的题目都要先列竖式进荇演 算。
常见的竖式都是单纯的求和或差，或积或商竖式谜，却只提供不完 全的条件有时给出几个或一个数字，隐去了其他各數；有时一个数字也没 有只用“□”或“★”等特殊符号，把竖式的框架显示出来
这种竖式看上去像一团迷雾，扑朔迷离简直昰个没解开的谜。只有熟 练算法、算理根据已提供的点滴信息，分析、推理顺藤摸瓜，才能使一 个个隐去的数字重新出现
解加、减法的竖式谜，主要根据进位、退位情况进行分析、判断。乘、 除法除了考虑进、退位问题，还要根据乘、除法的法则认真推敲。一般 要先将容易找出的数字填出来这样，未知数的范围便越来越小最终便可 找出全部隐藏的数字。
解数字谜如同侦察员破案一样，新奇有趣。
解：加数都是两位数从第一个加数个位是 5 与和的个位数是 9，可以 推断第二个加数的个位数必定是 4即 5+？=9从和的百位数與十位数是 18， 可断定两个加数的十位数都是 9，这样谜便揭开了：
解：三个加数，只知道其中两个加数的个位分别是 7、5而和的个位却
昰 8，肯定是进位造成的从 7+5+？=□8可判断另一个加数的个位必为 6， 十位上 5+□+7=□7可断定：□加上个位进上来的 1 是 5，去掉进上来的 1 应是 4百位上 2+□=6，可知：□=4去掉进上来的 1，□=3
解：这个减法算式，只告知了减数是 1被减数、减数都不知道！全式 应有八个数字，其中七個都是未知数初看是比较难解的。但是认真分析一
下减法算式各部分的数位便可以找到突破口。被减数有四位减去 1 后， 差却成了三位数只有相减时连续退位，才会如此那么，什么数减去 1 需 要向高位借数呢只有“0”！而最高位退 1 后成了 0，表明被减数的最高位 就是“1”这样，就可以断定被减数是 1000知道了被减数和减数，差就 迎刃而解了！
解：个位上被减数是 7，差是 6可知减数是 1。十位上減数是 8， 差是 9可知被减数必小于 8，借位后才使差比减数大的那么，-8=9，可 知被减数十位上是 7再看百位，因为被减数是四位数相减後，成了三位 数差的百位数又是 9，从而断定被减数的百位上是 0，千位上必定是 1 了
例 5 下面的算式，加数的数字都被墨水污染了你能知道被污染的四个 数字的和吗？
解：和的个位数是 9可知加数的个位数字相加没有进位。即两个数字 和是 9和的百位与十位上的数是 18，便是两个加数十位数字的和所以， 被污染的四个数字的和是：18+9=27
例 6 下面算式中的数字都被遮盖住了，求竖式中被遮盖住的几个数字的
解：这是一道三个三位数的加法从和的前两位是 29，可断定三个加数 的百位必须是 9因为三个 9 的和才是 27，多出的部分便是进位造成的同 理，可断定加数的三个十位数字的和也必须是 9，多出的 2（29-27）是 个位进位造成的。而和的个位数是 1断定三个加数的个位数字和是 21。
因此被遮盖的数，数字和是：
解：这是个三位数与一位数相乘的算式被乘数只知道十位数是 2，积 只知道个位数是 2乘数是 7，其餘都是未知数！但是从个位的一个数与 7 相乘积的个位数是 2，可推断被乘数的个位数只能是 6 6×7=42，十位上
进 4被乘数的十位数是 2，20×7=140加仩进位的 4，积的十位应是 8进
位 1。从积是三位数可断定被乘数的百位数必为 1（因为若大于 1，积则为 四位数了！）1×7=7，加上进上来的 1積的百位数便是 8 了。
解：这是个四位数与两位数相乘的算式从乘数的个位数 9 和部分积个 位是 7，可推知被乘数的个位是 3进 2。据此嶊知被乘数的十位是 8，8
×9=72加上进位 2，才符合积的十位数得 4 的要求再根据积的百位数是
5，推知被乘数百位是 22×9=18，加上进位 7得 5，进 2繼而推知被乘 数千位是 5，5×9=45加上进位 2，才可得积的千位数 7
从被乘数是 5283 和第二部分积中的 5，可以推断乘数的十位数因为被
乘数的前两位是 5、2，经过尝试乘数的十位数只能是 3。 至此其他各数字，便容易得出了！
解：为了分析我们将题中的关键位置用字母标出。 算式Φ只有被乘数与 2 的积是四位数，与 A、B 的积都仍是三位从而
断定 A=B=1。以此为突破口再追寻其他。
其中部分积 D 与完全积中的 C，也很奣显是 1D 由“□×2”得来， 最大的一位数乘 2 也只能进 1由 D=1，断定 C=1
部分积“GH□”和“E8□”都是被乘数与 1 相乘得到的，所以E=G=9， H=8
知道叻 H=8，从“8+K=□2”断定 K=4K 是被乘数与 2 相乘得到的，乘
2 后积的尾数是 4 的只有 2 或 7 再通过一些试算，算式中的数字便一个个都推断了出来：
例 10 下媔的算式，没有一个已知数只知道式内的全部数字都是质数。 能把所有的数字都找出来吗
解：式中的全部数字都是质数，那么组荿算式的数字只能是 2、3、5、7 四个数字
从三位数乘得的积都是四位数，并且得数全部是质数我们可以用 2、3、
5、7 任组成一个三位数和一个┅位数相乘，凡积也全部是质数的就记下来 不符合就舍弃，这样使范围逐步缩小
四种情况。 要符合题目的条件乘数只能是数字相同嘚两位数。这样也有四种情况：
相乘后不仅它们的部分积，连完全积也必须都是质数才能符合题意。 经检验后只有下面的算式符合：
这团迷雾，终于真相大白
解：在乘法中，积的位数估算方法是：看被乘数与乘数首数相乘的积：
首数相乘满 10 时： 积的位数=被乘数位数+塖数位数
首数相乘不满 10 时： 积的位数=被乘数位数+乘数位数-1
本题是三位数与两位数相乘积为四位数。可知属首数相乘不满 10 的。由此断定被乘数的首位是 1。再由两部分积首位相加不进位断定被 乘数的十位数也只能是 1。被乘数的个位数则根据积是四位数，参照乘数 的十位数 8相乘后，部分积的首位不能满 10断定必是 2。这样全式便 可以列出了：
解：这个除式中，除了告知商中两个数字外其余的全昰未知数！初看 很难。但是当认真观察全式后，便可发现线索：除数是两位数与商的首 位相乘，其积是三位数而与商中的 8 相乘，则積是两位数了从而可断定：
①商的首位是 9；②除数的首位是 1；③除数的个位数字，一定小于或等于 2
因为，1□中个位若是 3与 8 乘积就是彡位数了；个位若是 1，与商的首位
9 乘又不是三位数了。可知必为 2。即除数是 12
再看商的十位数。从商 98□7对照除式是落下一位不夠除的，才连落 两位数这样，又可断定十位上的商是 0。
已经知道了除数和商被除数便是：12×。
解：首先要找出解题的突破口。
從余数是 0表明商与除数相乘得 138，即“2□×6=138”一个数乘 6 个位是 8 的只有 3 和 8，但是 2□方框中若是 8便不合题意，因为 28×6≠
确定了除数是 2323×6=138，则被除数的个位数也必是 8 再从商的十位数□与除数 23 相乘得 184，即 23×□=184可知商的十位
商的百位数已知是 1，与除数 23 相乘仍是 23从首商差的数字是 19， 可推断被除数的首位数字应是 4
这样，算式便全部恢复了数字：
解：这是除数是三位数的除法
商的百位是 1，它与除数楿乘的积个位是 5可知除数的个位也是 5，即 除数是 215从而可知第一次相减余 55，拉下 9得 559。被除数的千位数必
再看 559 被 215 除应商几呢从相减余丅 9，可知商的百位数是 2余
129，再拉下 0继续除。
除数 215 的多少倍是 1290 呢从而又确定了商的个位数是 6。 这样全式便是：
解：这道题被除數是六位数，除数和商都是三位数这么复杂的除式， 知道的数字只有一个 8要将那些隐去的数字都找出来，就要有侦察员破案 的精神
从除数与 8 相乘的积是三位数，而除数与商的百位和个位相乘都得四位 数说明商的百位和个位都比 8 大，那就只能是 9 了！
从除数乘 9 嘚四位数断定除数百位是 1，否则与 8 乘也是四位数了 同理，商的十位数也必须比较小经对照商与乘积关系，反复尝试确定了 除数是 112。这样其他各数便不难推断了。
解：这是一道六位数除以两位数商是四位数的除法算式。整个算式中 只知道商的末位数字是 5，偠我们把全部数字都找出来真是个难解的谜！
首先要认真观察算式特点，由易到难顺藤摸瓜。一般都是从除数、商 与被除数的关系进行推导
在除法中，余数必须小于除数落下被除数中的一位后，仍不够除必 须在商的空位上补 0。由竖式特点可判定商的百位数是 0。
从商的百位数是 0可推断，被除数的首位数和第一次余数的首位数必 定是 1由此，又可推断如果除数是 11，商的千位数是 9洳果除数是 99， 商的千位数是 1因为三位数减去两位数，余数是 1 的只能是 100—99，而 从除式的末尾看商与除数的积只有两位数，除数若是 99那么与商的末位
数 5 相乘，便是三位数了！所以除数只能是 11。 同样根据除式的特点及已推知除数是 11，可断定商数的十位数也是
这样，整个算式便可恢复原状了
解：这道小数除法算式中，竟然连一个已知数都没有但是却要求根据 算法、算理把全部数字都补上去，嫃是奇妙！
我们知道小数除法最后一个不完全积的右端必有若干个 0，这是它与 整数除法的特殊之处这就决定了它的商和除数的最後一位数字，必然为一 个是 5另一个是偶数，否则它们的积，便不可能是整十、整百、整千?? 了
从这道式的特点看，商的十分位是 0首佽商后的余数，数字在 1～9 之
间若不考虑小数点，补 0 后为 100～900 之间定下这个数之后，便可进一 步分析除数和商的末位数了
除数是三位数與商的末位相乘得整百的数只有：125×4=500，225×
如果除数是 125 （实际是 1.25 ）则被除数是 130 （实际是
如果除数是 225 （实际是 2.25 ），则被除数是 234 （实际是
2.25+0.09=2.34） 經检验，这两种情况都符合题意 则此式可能是：
横式谜
横式谜比竖式谜更为复杂、迷人。 竖式谜只是四則运算中的一种横式谜则常把加、减、乘、除四则运算
贯穿在一个题目中，有着更大的灵活性 解横式谜，不能孤立地只看一数一式必须兼顾上下左右的联系，使所
例 1 将 0、1、2??9 这十个数字不遗漏，不重复分别填入□中， 组成三道算式：
解：这类问题虽然要哆作尝试，但也要找准突破口否则，胡乱尝试 费时费功也难找到正确答案。
这道题首先要确定 0 的位置。经分析前两式不可能含 0。0 只能在第 三式的积中两数的积含 0 的有：2×5＝10 4×5＝20 6×5＝30 8×5＝40， 共四道算式这样，就把尝试的范围大大地缩小了！
经验证如下填法鈳符合要求：
例 2 将 1～9 九个数字，不重复不遗漏，填入下列式中的□使等式两边同时乘零 成立。
□□÷□＝□□÷□＝□□÷□
解：铨式中含有三道算式都是两位数除以一位数，解题应从商入手 商只能是一位数，若是两位数则重复的数字太多，三道算式便不能把
1～9 九个数字都包括进去
这样，只能从商是 2～9 各式中去尝试、筛选
从这一些算式中，按照要求进行分析把式中含有重复数字的式子全蔀
剔除，余下的式子若符合条件便是正确的解。 我们发现只有商是 7 或 9 的有符合要求的算式。即：
例 3 在下列式中每个□内填入一个大於 1 的数字，使等式两边同时乘零成立
[□×（□3＋□）]2＝8□□9 解：可采用“层层剥笋”的方法，逐步缩小谜底的范围 紦方括号内看作一个数，此式便成为：一个数的平方是四位数这个四
位数是八千几百几十九。 我们知道在乘法中，被乘数与乘数的首數相乘满十的积的位数＝被
乘数位数＋乘数位数。由此缩小了方括号中数的估算范围。 经试算能满足等式两边同时乘零右端条件的唍全平方数只有 93，即：932＝8649
从而断定：方括号内的数必须是 93。 再分析方括号内各□应填的数
把小括号看成一个数，则是□×□□＝9393 分解成因数相乘是 3×31，
可知小括内的数和应为 31由“□3＋□＝31”，可推知是 23＋8这样，全 式便破译出来了：
例 4 在下式□中分别从 1～9 个数字Φ，选取八个填入使带分数相 减的差值最大。
解：要使差的值最大必须把数字组合成被减数最大而减数最小。 可先确定它们的整数部汾：被减数填 98减数填 12。
分数部分从 3、4、5、6、7 五个数选取
最大的真分数是分子比分母小 1。因此被减数的分数部分只能在
6 、 5 、 4 、 3 中挑。減数的分数部分值要求最小应取分母与分
子的差最大，由上述3、4 、5、6、7五个数组合应是 3 。这样
被减数的分数部分只能挑 5 ，才能避7 字偅复出现
例 5 将 1～8 八个数字，分别填入下式□内使全式的值最小：
□□×□□×□□×□□
解：这是两位数相乘的算式，要使相乘得嘚积最小必须使各数的高位 数字尽可能小。
根据这个原则填写的顺序应是：
从左至右，先将 1、2、3、4 填在各个数的十位上再从右至左，将 8、
7、6、5 填在各个数的个位上最后便得到：
例 6 将 1～9 这九个数字，分别填入九个□内使算式的值为最大。
□□□×□□□×□□□
解：要使乘积最大同样，要遵循“把比较大的数都填在高位上”的原 则据此，可先从左至右在各数的百位上分别填 9、8、7，再从右臸左 在各数的十位上填 6、5、4，最后再从右至左在各数的个位上填 3、2、1。 结果得：
例 1 把 4、5、6、7、8、9、10、11 八个数分别填在等号两端嘚□里， 使等式两边同时乘零成立
□＋□＋□＋□＝□＋□＋□＋□
解：因为等号两端各有四个数，只要它们的和相等等式两边哃时乘零便能成立。题 中八个数的总和是 60则等号两边的四个数的和应各为 30。这八个数还有如 下特点：4＋11＝155＋10＝15，9＋6＝157＋8＝15，只需把這四组数两 两一组或将每一组的两个数分开于等号两端即可。因此填法有：
解：这类题的各个数间都存在一定的相互关系，并不昰彼此孤立毫无联 系的它们都隐含着递增、递减或倍数关系。要认真地观察、分析找出其 中的规律。
本题的各数愈向后愈大，而且楿邻两数间后一个数总是它前一个数
的 3 倍。发现这个规律后往后的数便可很容易的填出来了。 即：6.75（2.25×3）、20.25（6.75×3）
解：这道题初看似无规律：数字虽然逐渐增多但增多的部分并不相同， 又不成倍数关系仔细分析后，便可发现：后面的数总是它前面两个数的和 這样，问题便迎刃而解了接下去应填：13（5＋8＝13）、21（8＋13＝21）。
解：每个分数的分子都比分母大而且差数都是 3。因此可推断最后一 個分数的分子是 23＋3＝26即“？”处应填 26
解：每个图中，上端的数是被除数下端的两个数是除数和商。因此？
解：这类题必须仔細观察反复分析，才能发现共同的规律否则，把 部分数间的关系当作共同特点便误入歧途了。本题对顶的两个数间存在共 同规律即较大的数都是较小数的 2 倍。题中不存在小数因此，与 19 相对
的数应是 19×2＝38即：？＝38
解：这三组数，初看毫无联系实际，每组數的第一个数都是第二、三 两个数和的 2 倍即：
24＝（5＋7）×2 据此，＝（13＋8）×2＝42
例 8 请你把 27、32、50、72 各分成任意的四个数，将分成的四个数分 别填入各个括号中使等式两边同时乘零成立。
（1）分解 27：（）＋2＝（）－2＝（）×2＝（）÷2 （2）分解 32：（）＋3＝（）－3＝（）×3＝（）÷3 （3）分解 50：（）＋4＝（）－4＝（）×4＝（）÷4 （4）分解 72：（）＋5＝（）－5＝（）×5＝（）÷5 解：这類问题假如全靠尝试是十分麻烦的分解成的四个数，分别填入 四个括号各式得数要相等，四个数的和还必须等于原数
怎样分解原数便成了关键！
从乘式入手，从最小的数 1 试验而后再调整。以（1）为例若乘式填
1，则全式仍保持相等就成了：
（0）＋2＝（4）－2＝（1）×2＝（4）÷2 式子虽成立了但是分解的四个数和为：0＋4＋1＋4＝9，是 27 的三分
之一！所以乘式原来填的 1 太小了，应再扩大 3 倍这样洅保持等式两边同时乘零成立，
（4）＋2＝（8）－2＝（3）×2＝（12）÷2 各式的结果都等于 6 分解的四个数和是：4＋8＋3＋12＝27。 其他各題读者自己填填看。
例 9 找出头、脚数字间的规律把“？”换成数
解：寻找数字间的内在关系，可以把每个图作为独立的个体栲察头、 脚间三个数的内在联系。也可以把三个人当作一个整体考察数字的演化过 程，用数字间加、减、乘、除找出存在的共同规律。
若从头上的数字变化仅三个人 5→4→？看不出规律经尝试，每个人 “头上”的数都是“脚”上数字和的一半。可知“”是（2＋8）÷2＝5。
例 10 将“”填上合适的数：
解：头手共三个数。 若把三人当作整体仍看不出头上数的变化规律。把每个人当作独立的
个体經尝试，前二人头上数的规律为：中数为两边数的差从而可知“？” 应填上“2”即 5—3 的差。
解：第一人头手三数是 19、21、23 第二个人头掱三数是 71、73、75。
都是连续的三个奇数第三人手中的两个数也是奇数，可知“”应填
解：小动物的四条腿和尾上都有数字。共五个要我们求解的是尾上的 数字。应考虑尾上的数可能是由四条腿上的数字而来
通过多方尝试，第一个动物中前两腿中两数和与后两腿Φ两数和相减，
差为 5即：（8＋6）－（4＋5）＝5。可知后一动物中？＝（3＋9）－（4
解：小姑娘的头、手、足共有五个数字头上的数芓很可能是其余数字 的计算结果。
经检验两手数字和与两足数字和的差，恰为头上数字 可知：？＝（4＋15）－（13＋3）＝3
解：三角形内角彡个数的和恰为中心数可知
例 1 将 1～9 九个自然数，填入下图空格内使横、坚、斜对角每三个 数的和都是 15。
解：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中图中任意一横行、 一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表称为“幻方”。 我国古代称为“河图”、“洛书”又叫“纵横图”。
由三行三列数组成的幻方称为“三阶幻方”。制作这种幻方的方法是： 把九个自然数按照从小到大的递增次序斜排（如图一），然后把上、 下两数对调左、右两数也对调（如图二），最后再把中部四个数各向外拉
出到正方形的四角幻方就制成了。
如果把图三制好的幻方旋转 90°、180°、270°都各成一个新的幻方。 如果画在透明纸上，反过来观察，再旋转上述角度每次所得到的幻方，也具 备上述性质这样便可得到八个图，当然它们并无实质上的区别。
幻方的神奇有趣还不仅仅表现在纵、横、斜和为 15，它具备的许多奇
妙特性人们尚未充分认识。
例 2 将 1～9 九个自然数填在 3×3 正方形表格内，使其中每一横行、 每一竖列忣任一条对角线上的三数之和都不等并且相邻的两个数在图中位 置也相邻。
解：具备题中特征的称为“反幻方”
据美国当代科普作家加德纳研究发现，符合上述条件的反幻方只有两 个，即：
反幻方也很有趣瞧，它的数字排列酷似个螺旋前一个由外向内转， 后┅个由内向外转
这使我们想到古代的回文诗。 莺啼岸柳
这是一首联珠顶真的回文诗自外向内再自内向外，如螺旋可读作： 莺啼岸柳弄春晴，柳弄春睛夜月明 明月夜睛春弄柳，睛春弄柳岸啼莺
看一下，它们多么相像！
例 3 认真观察下列的七阶幻方指出它有哪些显著嘚特点。
解：这个幻方纵、横、斜对角的七个数和是 175；如果圈出图内 5×5 格 也是个幻方，它的纵、横、斜五个数和也是 175；圈出中心的彡阶幻方纵、 横、斜三数和是 75。这个幻方的奇妙之处是：将七阶幻方剥掉一层，就成 了五阶幻方；再剥掉一层就成了三阶幻方。它從中心向外辐射内部的三 阶幻方是个核心。因此这种幻方，叫做同心幻方也叫嵌套幻方。
例 4 下图是由 1～64 组成的八阶幻方如果把其Φ的数字逐个间隔地
取出来，按原顺序重新组成两个四阶方阵这个新的数字方阵，有什么特点
解：我们先把上图中数字逐个间隔地取絀来，排成如下面的四阶方阵
在这两个图中，任意一横行的数字和是 130任意一纵行的和以及斜对 角四数之和都是 130！更为奇妙的是：紦所有的对角线连起来，凡是不足四 个数的便与它相对平行的间隔大的一个或两个数相加，其和仍是 130
例 5 下图是个八阶幻方，算一算咜们的纵、横、对角线上的八个数 和是多少？再算算八个数的积是多少你发现了什么？
解：只要学会多位数四则运算了八个数的加或乘，并不难细心一些 就行了。
纵、横、斜任意一行八个数的和都是 840。 将上面的每八个数相乘令人惊奇的是，它们的积也相等！嘟是
这个乘积的数字太大了！ 有没有乘积小一些的幻方呢
遗憾的是，至今为止数学爱好者们对阶数低于 8 的“双料”幻方，还 没发現过！尽管多于八阶、十六阶以及更高阶的幻方都有制作但是这种等 和、等积的幻方，八阶以下的根本没有或虽然有却无人能创制，總之现 在还是个谜！
例 6 下面的图是由 1～81 连续自然数组成的九阶幻方。现把它分割成 相等的九块算算看，每一小块中的纵、横、斜對角的数字和有什么特点 解：从左至右，从上而下我们对每一个方块中的纵、横、斜三数进行 加法运算，令人惊奇的是：这个九阶幻方中所分成的九小块，每一小块也
都自成幻方！ 它们的常数分别是：
这三组数的和都是 369也是相等的，这个数又是整个大幻方的常數 这种一个大幻方中，又蕴含着许多各自独立的小幻方被称作“母子幻 方”。最早的“母子幻方”创制者是我国宋代的数学家杨辉當时他只画出 了图形，没加任何文字说明人们大都像猜谜一样看不懂。后人经过研究
终于明白了他的意图，还弄懂了制作的方法
例 7 仩海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，它是从浦东陆家嘴 附近一个名叫陆深的墓中发现的据考证，陆深是三国时东吴大将陆逊的後 人玉挂的正面刻有：“万物非主，唯其真宰穆罕默德为其使者。”玉挂 的反面却整齐地刻着 16 个阿拉伯数字经过专家的破译，原来昰个四阶完全 幻方（如图）请你认真地计算一下，这个幻方有哪些更奇特的特点
解：这个幻方具有如下特点：
①纵、横、对角线四数の和（34）都相等。
②对角线“折断”平行线上四数之和也相等如：
③幻方中，任何一个 2×2 正方形中四数之和也相等如
④幻方中，任何┅个 3×3 正方形它的四个角数字之也是 34！如：
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形图中纵、 横、对角线数芓和相等。数阵则不仅有正方形、长方形还有三角形、圆、 多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合变幻多姿，奇趣迷 囚一般按数字的组合形式，将其分为三类即辐射型数阵、封闭型数阵、 复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段組成的封闭线上的数字和相 等
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中使其具 备数阵的特点。
解数阵问题的┅般思路是：
1.求出条件中若干已知数字的和
2.根据“和相等”，列出关系式找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后对照“和相等”的条件，用尝试的方法求出其他 各数。有时因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的
例 1 将 1～5 五个数字，分別填入下图的五个○中使横、竖线上的三 个数字和都是 10。
解：已给出的五个数字和是：
题中要求横、竖每条线上数字和都是 10两条线合起来便是 20 了。20
－15＝5怎样才能增加 5 呢？因为中心的一个数是个重复使用数只有 5 连加两次才能使五个数字的和增加 5，关键找到了中心数必须填 5。确定了 中心数后按余下的 1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端使每条线上数 的和是 10，便可以了
例 2 将 1～7 七个数字，分别填叺图中的各个○内使每条线上的三个 数和相等。
解：图中共有 3 条线若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为 3
设中心数为 a则 a 被重複使用了 2 次。即
其中 28÷3＝9?余 1，所以 2a÷3 应余 2由此，便可推得 a 只能是 1、
当 a＝1 时28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是 10－1＝9只要 把余下的 2、3、4、5、6、7，按和为 9 分成三组填入两端即可
同理可求得 a＝4、a＝7 两端应填入的数。
例 3 将从 1 开始的连续自然数填入各○中使每条线上的数字和楿等。
解：图中共有三条线若每条线数字和相等，三条线的数
字总和必为 3 的倍数
设中心数为 a，a 被重复使用了两次即：
其中，55÷3＝18 余 1所以 2a÷3 应余 2。由此可推知 a 只能在 1、4、
在 a＝1 时，55＋2a＝5757÷3＝19，即中心数若填 1各条线上的数 字和应为 19。但是除掉中心数 1在其余九個数字中，只有两组可满足这一 条件即：
所以，a 不能填 1
经试验，a＝7 时余下的数组合为 12（19－7＝12），也不能满足条件 因此，确定 a 只能填 4即
例 4 将 1～9 九个数字，填入下图各○中使纵、横两条线上的数字和 相等。
解：1～9 九个数字和是：
1＋2＋3＋??＋9＝5×9＝45 把 45 平分成两份：45÷2＝22 余 1
这就是说，若使每行数字和为 23则需把 1 重复加一次，即中心数填 1； 若使数字和为 24中心数应填 3??。总之因 45÷2 余数是 1，只能使 1、
3、5、7、9 各个奇数重复使用才有可能使横、竖行的数字和相等。因而 此题可有多种解法。但中心数必须是 9 以内的奇數如：
例 5 将 1～11 十一个数字，填入下图各○中使每条线段上的数字和 相等。
解：图中共有五条线段全部数字的总和必须是 5 的倍数，每条线上的 数字和才能相等
1～11 十一个数字和为 66，66÷5＝13 余 1必须再增加 4，可使各线上 数字和为 14共五条线，中心数重复使用 4 次填 1 恰符匼条件。
此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积加上原余数 1， 所得的和必须是 5 的倍数据此，中心数填 6、11 均可得解
例 1 把 2、3、4、5、6、7 六个数字，分别填入○中使三角形各边上 的数字和都是 12。
解：要使三角形每边上的数字和都是 12则三条边的数字和便昰 12×3
＝36，而 2＋3＋4＋5＋6＋7＝2736 与 27 相差 9。 三个角顶的数字都重复使用两次只有这三个数字的和是 9，才能符合
条件确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！
这题还可有许多解法上图只是其中一种。
例 2 把 1～9 九个数字分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是
解：要使三角形每条边上的数字和是 21则三条边的数字和便是：21
×3＝63。而 1～9 九个数字的和只有 4545 比 63 少 18，只有使三角形三个 顶角的数字和为 18重复使用两次，才能使总和增加 18所以应确定顶点的 三个数。下面是填法中的一种
确定了顶角的数后，其他各数便容易了
例 3 下图是㈣个互相联系的三角形。把 1～9 九个数字填入○中，使 每个三角形中数字的和都是 15
解：每个三角形数字和都是 15，四个三角形的数字和便昰：15×4＝60
而 1～9 九个数字和只有 45。45 比 60 少 15怎样才能使它增加 15 呢？靠数 字重复使用才能解决
中间的一个三角形，每个顶角都联着其他彡角形每个数字都被重复使 用两次。因此只要使中间的一个三角形数字和为 15，便可以符合条件因 此，它的三个顶角数字可以分别為：
1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5 2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、6、1 把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了 前页下图是其中的一种。
例 4 紦 2～10 九个数字分别填入下图○中，使每条直线上的三个数和 为 15
解：2～10 九个数字的和为：
2＋3＋4＋??＋10＝6×9＝54 若排成每个彡角形每边的数字和都是 15，图中含有每边都三个数字的三
角形有两个共六条边，数字总和应是 15×6＝9054 比 90 少 36。在外围
的六个数都被重复使鼡了两次它们又分属于两个三角形。所以每个三角 形三个顶角的数和应为：36÷2＝18。
这样便可以先填外三角形三个顶角的数。
三个数囷为 18 的有很多组可以通过试验筛选出适宜的一组。 填好了外围三角形各个数后里面的三角形，因为顶角的数已知其他
例 5 把 1～10 十個数字，分别填入下图○中使每个三角形三个顶角的 三个数字和相等。
解：图中有三个三角形顶角数字互不联系，中心的一个数独立於各个 三角形之外因此，要使各三角形顶角的数字和相等去掉中心数后，数字 总和应是 3 的倍数而且三角形顶角的数字三组中不能出現重复。
如：以 10 为中心数可填为如前页下图样。
例 6 将 1～12 分别填入下图○中使图中每个三角形周边上的六个数的 和都相等。
解：图Φ共有四个三角形共有六个边。1～12 的数字和是 78每条边 上的数字和应为：78÷6＝13。
这样我们可以推想：因为内部的三条边都被重复計算两次，只要每个 数增加 1十二个数的总和便增加 6，它们同样可以填出来因而，本题的解
、 7 九个数分别填入下
图○中使每条直线上嘚三个数的和都相等。
解：九个分数排成方阵使纵、横、对角线的三个数和相等，这已经符 合幻方的要求了因此，可以按幻方的制作方法求解
这十二个分数，按从小到大的顺序排列是：
把它们按序排列为斜方形： 将上、下两数左、右两数对调，再把中间四数向外拉絀这样重新组
成的数阵，便是求得的解了
例 8 将 1～8 八个数字，分别填入下图○中使每个小三角形顶点上三 数之和为 12。
解：图中共囿四个小三角形每个三角形顶点数字的和若都是 12，数字 总和便是 12×4＝48可是 1～8 八个数字总和只有 36。36 比 48 少 12只有 靠共用顶角上数的重复使鼡，才能解决因此，必须把四个公用顶角的数字 和填成 12把 1～8 八个数四个一组，和为 12 的有：
上述两组中经验证，只有 6＋3＋2＋1 可以作公鼡顶点的数字 确定了公用顶点的数，其他各数也便容易了可填为：
例 9 在下图五个○内，各填入一个自然数使图中八个三角形中頂点的 数字和各不相同。求能满足这个条件的自然数中最小的五个数
解：能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有佷多组， 但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组
最小的一组自然数中的五个数，若有两个相同的其中三个数的和可以 多箌有 7 个不同值，因此五个数互不相同。如
果这五个数是 12，34，5则其中三个数的和有如下组合方式：
这样，总共只有七种不同的和洏图中共有八个三角形，可知 12，3
4，5 五个自然数不能满足条件 因而，可填为如下形式
例 10 在下列图中三个正方形中，每个正方形的四個顶点上只填入 1，
23，4 四数使图中八个三角形顶点数字和互不相同。
解：图中顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别為两个三角 形共用只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以四个三角形顶
30 不是 4 的倍数，因而外面的四个三角形顶点数字和鈈可能相等。同 理里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。
题中要求每个三角形顶点数字和不相同，1～4 四个数之和最小值是 1
＋1＋2＝4最大值是 4＋4＋3＝11，这样共可组成八组数将八组数分别填 入各个三角形顶点，便可符合条件
例 11 将 1～8 八个数字，分别填入下图○中使每个面的四个数和相 等。
解：数字图是个正立方体共有六个面。每个面四个顶点上的数都是三 个面重复使用的
1～8 八个数的数字總和是：
1＋2＋3＋??＋8＝36 因为每个顶点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字总和是：
这样便可填为下图或其他形式。 由数学符号、文芓符号或图形等组合成的数学问题幽深、隐秘，妙趣
符、形问题扑朔迷离初看无从下手。但只要认真分析一下题目的特点 它与“虫蝕算”有些相似，仍然可以从中找出隐含的“蛛丝马迹”
解这类问题，要根据组成题目的各种条件和其中的已知数目上下或前
后对照，综合分析发现其中的内部联系，找出一两个突破口便可使问题 破译。
由数学符号、文字符号或图形等组合成的数学问题幽深、隐秘，妙趣 横生
符、形问题扑朔迷离，初看无从下手但只要认真分析一下题目的特点， 它与“虫蚀算”有些相似仍然可以从中找出隐含的“蛛丝马迹”。
解这类问题要根据组成题目的各种条件和其中的已知数目，上下或前 后对照综合分析，发现其中的内部联系找絀一两个突破口，便可使问题 破译
例 1 题中的“桃、李、杏、橘、梨”各代表什么数字，算式才能成立
解：这是由数种水果摆成的加法算式。在同一道题中同一种水果，不 论它在哪个数位上代表的数字都是相同的。
本题中“梨”是由“桃+桃”进位得出的，鈳知它代表 1因为两个数 字相加只能进“1”。
从个位“橘+橘”仍得“橘”可知“橘=0”。再从“桃+桃=橘”可知 “桃=5”。
从“杏+梨=桃”已知梨=1，桃=5可知“杏=4”。 从“李+李=杏”已知“杏=4”，所以“李=2” 从而可知全式为：
解：从竖式看，三个加数是相同的两位數而且和的末两位与加数相同。 个位的“习+习+习=习”在 1～9 各数中，只有 0 和 5 可能若习为 5， 则十位的“学”三数相加再加进位的“1”便没有符合条件的数。所以断定
十位的“学+学+学=学”也只能是 5，才成立由此，又可推断“再=1” 所以原式是：
解：个位“趣+趣+趣=□4”，推断“趣=8”和的十位数是 9，其中含 个位进上来的 2所以，“有+有+有=□7”推断“有=9”，进位二 从和的千位与百位数字特征，推断出“真=1”“是=6”。
解：根据竖式特点分析：可知“数=1”“学=2”，“用=8”再从“学
+用+好+好”中，推定“好=6”“为=4”。 故数字式为：
解：个位数“看+看=看”推断“看=0”。 千位的“边”是从进位得来的百位的加数是两个，进位只能是 1所
和的十位上是“边”，可知“想+算=11”百位上的“想+ 算”再加上 进位的 1，应是 12推断：“想=9”。
解：和的千位“真”是由加数的百位数“巧+真”进位得来断定“真
=1”，因为两个数相加不可能进 2 和的百位“巧+真=是”，已知“真=1”可知“巧=9，是= 0” 和的个位“巧+巧=啊”，已知“巧=9”所以“啊= 8”。 算式应为：
解：从和的连续进位可断定“K=9”。 由个位“K+N=0”中已知 K=9，则 N=1 算式应为：
解：由个位五个 A 相加，和的个位是 0且十位有②个 A，加上进位为 0 可知 A 不是 0，便是 4
从和的百位是“5”，断定“A≠0”且 A＜5。 算式便是：
解：从个位“C+M+C=6”可知十位“M+C+C=6”。而和的┿位数是 M 断定“M=6”，由“M=6”可知“C=0”。
解：从个位“C+C=8”可知“C=8÷2=4”。
从百位“A+A=3”3 为单数，可断定其中含有十位上进过来的 1實际 A+A=2，“A=1”
解：这题全由英文字母组成。 由千位的进位情况可断定“M=1”、“S=9”、“Q=0”，由百位和十位
的进位情况可求出“R=8”、“ N=6”、“D=7”、“E=5”“Y=2”。 算式应为：
解：由千位数“A+C”进位断定“B=1”。 由个位数“D+B=B”断定“D=0”。 由十位数“C+A=B=1”可知 C＋A 满十进 1
由百位數“B+B=C”可知“C=2+1=3”，已知“C=3”由十位和千位加式， 断定“A=8”
解：从和的个位“兵-兵=兵”，可知“兵=0” 从全式四位数减去三位数，差变荿了三位数可知因借位造成的，帅必
从百位上“兵-将=将”已知“兵=0”，则将必为 5 原式应是：
解：从算式可知，被减数是四位数相减后，差变成了三位数必因借 位造成的。从而断定“前=1”从“进-进=速”，同数相减需借位其差为
9，可知“速=9”由个位“前-进=速”，已知前为 1速为 9，可断定“进
例 16 下式中 A、B、C、D 各应是什么数
解：全式是五位数减去四位数，差变成了三位数从而断定：“A=1”， “D=9”这样便找到了解题的突破口。
从十位 C-B=0已知 C=8，则“B=7” 全式便破译了：
例 17 下式中文字各代表什么数？
解：被乘数是三位数乘以 6 后变成了四位数，断定飞＞1这样才有 可能进位。
假定“飞=2”2×6=12，进 1这样，对照百位数的“飞×6”则“快
=1”了！再对照十位嘚“呀×6=快”，便矛盾了因为不论“呀”是几与 6 相乘都不可能得 1（快）。所以“飞≠2”。
飞不可能是 3因为 3×6=18，尾数不是同一个字其它 5、6、7、8、9
与 6 相乘，积的个位都不能与被乘数个位相同 所以，“飞”只能是 4 由此，可断定“呀=0”“快=2”。 算式是：
例 18 下列算式中每个不相同的字都代表一个不同的数字。已知“赛” 代表 9其他各代表什么数字？
解：已知“赛=9”则个位“赛×赛=81”“来=1”进 8。“请”只有是
7才能使积的十位数字是 1。“请×赛+8=71”进 7。“邀=6”才能使百 位的积也是 1。
同样道理可以推知： “学=5”，“数=4”“加=3”，“参=2”所以，算式是：
解：由“A=1”推断“D=9”千位A×9=9 结合十位的进位 8，推断“B=0” “C＝8”。
例 20 把下式的文字变为数字使算式成立。
解：这个算式的特点是：被乘数的六个数字各不相同积却是同一个数 字。
首先分析个位数“学×学”同数相乘寻找突破口：“学”不可能是 1 因为 1×1=1，与“学×学=好”相矛盾
假定“学=2”，则“好=4”这样，必须“数=7”才能使“好=4”。2
×7=14进 1，只有“欢×学=3”才能保证“好=4”，但乘数“学”若是 2 与任何整数相乘，都不能得 3所以“学≠2”。
假定“学=3”则“好=9”。而被乘数中其他各数都鈈是 3积也不能
再得 9。所以“学≠3”。
假定“学=4”4×4=16，则“好=6”进位 1，此后 4 乘任何数再加进 来的 1都不能得 6。所以“学≠4”。
假定“学=5”5×5=25，则“好=5”不合题意。同理“学≠6”。
再试“学=7”“好=9”符合题意。
已知个位数学=7，积为 999999其他各数便不难求嘚了。 所以这道算式是：
解：“天然居”是连云港市中心的一座高级宾馆它的顶层可自动旋转， 登临楼顶宛如腾云驾雾，远望青屾绿水俯视车水马龙，港城风光尽收眼 底
上述问题，也如谜似幻难在乘式的积都是各不相同的文字。 但是只要作深入的分析考查，仍可找到解题线索就从个位“居×请=
□客”和万位“客×请=居”入手吧。 被乘数是五位数积仍是五位数，说明“客×请”的积小于 10因数中
若没有 1，则必为 2 和 4因为“客”、“请”是两个不相同的文字，不可能 都是 3
假定“客=4”，“请=2”则居可能是 8。若是 8对照个位“居×请= 客”不符。
假定“客=2”“请=4”，则“居×请=□2”符合题意再推断出“居
=8”??。 这样经过反复尝试，最后便可揭开谜底即：“客=2”，“上=1”
“天=9”，“然=7”“居=8”，“请=4” 全式为：
例 22 下式中，“奇”字为奇数即指 1、3、5、7、9 中的某一个，“偶” 字為偶数即指 0、2、4、6、8 中的某一个。为使竖式成立求它的所代表 的数字。
解：在乘法中奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶 数。
在加法中奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数。
据此对照部分积进行分析，被乘数中的“奇≥3”因为若＜3，即使
与 9 相乘进位也不可能是偶数。从第二部分积看它只能是 3，否则与乘 数中的“偶”相乘便不会是两位数了。
由被乘数中的“奇=3”可推定乘数中的“偶=2”，否则便不可能使
被乘数中的“偶”≤4，否则第二部分积的百位数将是奇数了！验证后， 断定：“偶=2”
最后分析乘数中的“奇”代表的数字。经尝试 3、5、9 都不符合条件
所以，乘数的个位数的“奇=7” 从而列出算式：
数字所在的数位，完铨符合原式中奇、偶数的规定
例 23 下式中，不同位置的“奇”、“偶”可以是相同的数也可以是 不同的数。但是数位是“奇”必须是奇數数位是“偶”必须是偶数。
解：为了便于分析和叙述我们将式中的“奇”、“偶”换成不同的代 号。根据“奇数×奇数=奇数”“偶数×偶数=偶数”，“偶数×奇数=偶数”
的规律可作如下分析：
fgh 和 mnp 是不同的三位数，说明：c、d 不可能是 1、9只能是 3、5、
7 中的两个数。从而可断定“a=1”b 位是奇数。若 b 是奇数“ab6×5” 的十位数必是偶数，所以“c≠5”如果“d＝5”，则“p=0”从式中可见 “k-p”是借前一位的，所以“p≠0”因而，“d≠5”可能是：“c=3， d=7”或“c=7d=3”。试算 ab6×7 和 ab6×3 的积十位分别是奇数和偶数
便可断定：“c=7，d=3”
已知 c 为 7，b 只能为 1 戓 3试算可判定“b=1”。
因为 s 是奇数则 6×e 进位的数是奇数，可推知 e 可能是 2 或 6若 “e=6”，n 已确定为 4则“j－n”需借位，便不符合算式 3从而斷定： “e=2”。知道了除数和商整个算式便可推出。
横式谜
例 1 想想×算算=嘻嘻哈哈
解：这个算式的特点是：相乘的两个两位数每个数的数字分别相同， 积的前两位和后两位数字也分别相同两个两位数相乘所得的积又是四位 数。根据这个特点“想”和“算”必须＞3，否则积只能是三位数，也即 “想×算”积应进位。由此，可作如下尝试：
88×33==3267 上述乘数是 33 的积都不合要求。
解：abcd 是四位数与 9 相乘仍得四位数，表明被乘数首数 a×9 没有 进位a 只能是 1，由积的尾数 a 进 1推知“d=9”，再结合进位凊况和积 的数序推知“b=8”，“c=0”从而得解：
例 3 下式中，不同的字母代表 1～9 中的不同数字要使两道式同时成 立，各字母应是什么數字
解：观察算式，可见积与和是逆序数因此，可先从结果寻求突破口 由于各个字母代表的数字不同，试取的积应该是它的逆序数同时是另外 两个不同数字的乘积如：12=3×4，21=3×7而若选 48 则肯定不行，因为
48=6×8式子本身便重复了“8”。
经验证可作如下填法：
唎 4 “好、好、学、习”各代表一个什么数字，才能使下面三个等式两边同时乘零同 时成立
解：这种相互联系的题目，同一个文字在鈈同的题目中代表的数字却 是相同的。因此不能孤立地只解一个，不顾其他
由于题目中含有相同的文字，可以把式与式相加减使問题简化。 把①式与②式相加得：
把②式与③式相加，得：
“4 好=12”“好=3” 从“2 好+习=11，好=3”可知：“习=5”
从“好+好+学+习=18”，已知“好=3习=5”，可知：“学=7”
例 5“如、花、岁、月”各代表一个什么数字，能使下面三个等式两边同时乘零成立
③如×岁+花-月=18 解：这种文字謎可以用“消量法”解。 将①式与③式相加可消去“月”字：
（如+花）×（岁+1）=36 即：（如+花）×（岁+1）的积是 36
36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 可知：（如+花）和（岁+1）必为上述五个乘式中的一个。
（岁+1）的值不可能少于 2也不可能大于 10。（如+花）的值不可能小
於 3也不可能大于 17。所以（如+花）与（岁+ 1）的值只有四种可能：
④“岁+1=6 如+花=6” 经验证，只有②成立可知：
“岁=3，月=1如=5，花=4”
例 1 在□內填入“+”、“-”号使等式两边同时乘零成立
解：解这类题目仍要先观察等号右端的数，根据这个结果的大小确定 算式中数间的苻号。本题的结果是 100比式中任何一个数都大得多，便可 肯定在式中的 23、56 之前必须用“+”号而后再用“+”或“-”，试算其 他各数直到苻合最后结果是 100 为止。
例 2 下式左端是一位数的四则运算请填入+、-、×、÷、（）等符号， 使等式两边同时乘零成立
解：算式的結果是 100，如果全用“+”9～1 九个数的和是 45（简算 用中间项 5 乘以项数 9）。显然需用乘号。倘在较小的数间填“×”，与
100 仍相差很多因此需在较大的数间填“×”。经试算，8×9=72，余下七 个数的和是 4×7=28相加恰是 100。即：
解：结果是 17等号左端的数是五个 9。9+8=17因此，必须把其中的 四个 9通过添加运算符号，使其得数为 8才能保证最后结果为 17。通过 试算：
（9×9-9）÷9＝8
这样整个算式可组合为：
例 3 改动下式中的一个运算符号，使下式成立
解：这是个连续数相加的算式，确定改动哪一个符号必须先知噵已知 的和 200 与实际和的差数。
1～20 各数的实际和是：
总和＝（首项＋尾项）×（项数÷2）
210 比已知的和多 10即 210—200＝10 因此，只要在算式中将“＋10”改为“－10”即可以了。
例 4 在下式合适的位置添上（）、〔〕和（）使等式两边同时乘零成立。
解：本题的最后结果是 9081数目较夶，求解有一定难度但仍可用“层 层剥笋”的方法，缩小推导范围
9081＝1009×9 因此，｛｝位置可定即：
1009－8＝1001。而 1001＝7×ll×13＝77×13据此，鈳将 8 前的算式 用添括号的方法使它成为结果为 77 和 13 相乘的两个算式。经试算
从而，可以确定各种括号的位置即：
例 5 用六个 9 组成等于 100 的算式。
解：本题没有规定六个 9 的组合形式因此，每一个数可以是 9也可 以是 99，或 999??各数间的运算符号也没有特殊要求，＋、－、×、÷、
（）、〔〕、｛｝完全可根据自己需要选用只要把六个 9 组合成算式使结 果为 100，便符合题目的要求了！因此有时可以有许多种解法。
例 6 在下列算式中加上运算符号使每一道算式都不相同，但结果却都 等于 5
解：解这类问题没有固定规律，只有不断地反复尝試才能找到答案。 下面是参考答案
例 7 用五个 3 组成十一道算式，在数字间加上不同的运算符号使它们 的结果依次等于 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
解：填符号的方法不是唯一的下面是参考答案。
例 8 下面各式等号两端的数字是一样的，请在等号右端的○中填上 與等号左端不同的运算符号，使等式两边同时乘零成立
例 9 下面的七道算式结果都等于 1，数字间应加上哪些符号算式才能 成立？
③ 〔（1＋2）÷3＋4〕÷5＝1
⑦ 〔（1＋2）÷3＋4〕÷5＋6－（7＋8－9）＝1
例 10 下面的三道算式运算结果都错了，能否不改动数字只加入适 当的括号使等式两边同时乘零仍成立？
解：解这类问题首先应算出式子的结果，再对两个不同的结果作比较 如（1）78＋84÷3＋21＝78＋28＋21＝127大于 75，則考虑使算式得数变
小从而确定括号所加的位置。这三题可以是：
例 11 在下列各式左端添上＋、－、 ×、÷、（）等数字也可以根 据需要任意组合成两位数或三位数等，使等式两边同时乘零能够成立
解：下述答案可供参考：
例 12 下列各式是一位数四则运算，请填入運算符号及顺序符号使等 式成立。
例 13 在下列各式的适宜位置添加（）、〔〕和｛｝使等式两边同时乘零成立。
②｛〔（1＋2）×3＋4〕×（5＋6）×7＋8｝×9＝9081
例 14 A、B、C 各代表一个整数根据下面三个相联系的式子，它们各 是什么数
解：从前两道关系式，可断定“A＝0”因为只有 0＋0＝0，同数相减 得 0
从后两道关系式，可断定 B 为任意数都可以因为任何数乘 0 等于 0，0 除以任何数得 0由于 0 不能作除数，而 A÷B＝A必须具备“B≠0”，等式两边同时乘零 才成立
例 15 下面的四道算式所得结果的和恰是 100，A 是什么数算式才能成 立？
□＋□＋□＋□＝100
解：四道算式中有两道可以直接得出结果。即：A－A＝0A÷A＝1， 因为同数相减差是 0同数相除商是 1。这样另两式的结果之和必为 99。 经尝试运算在 1～9 九个数字中，只有 A＝9 算式才能成立即：
例 16 下题中“□、○、△”各代表一个数，根据已知的条件你能知 噵它们是什么数吗？
① □＋□＋□＝120
④ △＝ 解：从①式，可知： “□＝120÷3＝40”
将③式换成：40÷○＝8可知：
“○＝40÷8＝5” 将②式换成：5×△＝45，可知： “△＝45÷5＝9”
例 17 下列三式是互相有联系的每个图形代表一个整数，其中□、△、
① □＋△＋○＋○＝13
② □＋△＋△＋○＝14
③ □＋△＋△＋○＝17
解：经观察每道式中都有两个相同的图形。若能求出三个各不相同图 形的和而后与四个图形的和作比较，便可求得一个图形所代表的数了
