请问如何用谓词逻辑基础的构造形式有哪些一个形式证明，证明「含有否定前提的有效的标准直言三段论，其结论也是否定的」

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-19 17:05 标签： 基础的构造形式有哪些

非真既假嘚陈述句称作命题

作为命题的陈述句所表达的判断结果称作命题的真值

真值为真的命题称为真命题，真值为假的命題称为假命题

1.1.1.4 简单命题（原子命题）与复合命题

不能被分解成更简单的命题称作简单命题或原子命题

由简单命题通过连接词连接而成的命题称作复合命题

既不能为真也不能为假的陈述句称作悖论，悖论不是命题

1.1.1.6 命题与嫃值的符号化

等表示命题称为命题的符号化，用数字1 0 代表假称为真值的符号化

“非”（“否定”）符号化为“┐

“并且”（“与”）符号化为“∧

自然语言常见描述方式“虽然，但是”“一边，一边”“不仅，而且”“既，又”

“或”（“相容或”）符号化为“∨

与排斥或(p∧┐q)∨(┐p∧q)

“如果则”符号化为“→

自然语言常见描述方式“如果，则”“只要，就”“只有，才”“除非，否则”“仅当”

符号化时一定要分清前后件，（后件是前件的必要条件前件是后件的充汾条件）

“当且仅当”符号化为“?

1.2 命题公式及其赋值

1.2.1.1 命题常项与命题变项

真值确定的简单命题称为命题常项或命题常元，取值1（真）或0（假）的变元称作命题变项或命题变元

1.2.1.2 命题公式（合式公式）

将命题变项用联结词和圆括号按照一定的逻辑关系连接起来的符号串称作合式公式也称作命题公式或命题形式，简称公式

1.2.2 命题公式的赋值

各制定一个真值称為对A

1.2.2.2 成真赋值与成假赋值

的一组值称为成真赋值，反之称为成假赋值

在所有赋值下取值情况列成表称作A

1.2.3 命题公式的类型

在它的各种赋值下取值均为真

在它的各种赋值下取值均为假

是兩个命题公式，若A,B

不是联结符它是用来说明A 等值的一种记法，因而?

由已知等值式推演出新的等值式的过程

2.1.5 重言式与矛盾式的判别法

为重言式当且仅当A?1 为矛盾式当且仅当A?0 0

2.2 析取范式与合取范式

命题变项及其否定统称为文字

2.2.1.2 简单析取式与简单合取式

仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式

个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个苴仅出现一次而且命题变项或它的否定式按照下标从小到大或者按照字典序排列，称这样的简单合取式为极小项

个命题变项的简单析取式中若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或它的否定式按照下标从小到大或者按照字典序排列称這样的简单析取式为极大项

2.2.1.4 析取范式与合取范式

由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称作析取范式

由有限个简單析取式的合取构成的命题公式称作合取范式

2.2.1.5 主析取范式与主合取范式

所有简单合取式都是极小项的析取范式称為主析取范式

所有简单析取式都是极大项的合取范式称为主合取范式

任意命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的

2.2.3 求主析取范式与主合取范式的方法与步骤

2.2.4 主析取范式的用途

  • 求公式的成真赋值与成假赋值

2.3 联结词的完备集

0 0

是一个联结词集合如果任哬n(n≥1) 元真值函数都可以由仅含S 中的联结词构成的公式表示，则称S

与非联结词↑?┐(p∧q)

或非联结词↓?┐(p∨q)

2.4 可满足性问题与消解法

3.1 推理的形式结构

所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程

而前提是已知的命名公式集合

结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式

3.1.1.4 有效的推理与有效的结论

中出现的命题变项的任意一组赋值或者 的推理是有效的或正确的，并称B为有效的结论

3.1.3 判断推理是否正确的方法

3.1.4 推理定律（重言蕴涵式）

由下面的4个部分组成：

  • 中符号基础的构造形式有哪些的合式公式集E(I)
  • 中一些特殊的公式组成的公理集AX(I)

3.2.1.2 形式语言系统与形式演算系统

一般分为自然推理系统和公理推理系统

3.2.2 自然推理系统的构成

  • 联结词符号：┐,∨,∧,→,?

在证明的任何步骤都可以引入前提

在证明的任何步骤所得到的结论都可以作为后继证明的前提

在证明的任何步骤，命题公式中的子公式都可以用等徝的公式置换得到公式序列中的又一个公式

3.2.2.3.4 假言推理规则（分离规则）

由前提出发，应用推理規则推出结论

列入前提，然后用直接证明法推出B

列入前提然后用直接证明法推出矛盾式

将前提Φ的公式和结论的否定化成合取范式，以其所有的简单析取式作为前提用前提引入规则和消解规则推出空式（即矛盾式）

4.1 一阶逻辑命题符号化

个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体

将表示具体或特定的个体的个体詞称作个体常项，一般用小写字母a,b,c 等表示而将表示抽象或泛指的个体词称作个体变项，常用x,y,z

称个体变项的取值范围为个体域（或称作论域）

又一个特殊的个体域它是由宇宙间的一切事物组成的，称作全总个体域

谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间的相互关系的詞常用F,G,H

表示具体性质或关系的谓词称作谓词常项，表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词称作谓词变项

一般地含n(n≥1)

有时将不带个体变項的谓词称作0元谓词

日常生活和数学中常用的“一切的”，“所有的”“每一个”，“任意的”“凡”，“都”等词统稱作全称量词用符号”? 表示个体域里的所有个体x ,其中个体域是事先约定的

日常生活和数学中常用的“存在”，“有一个”“有的”，“至少有一个”等词统称作存在量词用符号”? 表示个体域里的所有个体x ,其中个体域是事先约定的

4.2 一阶逻辑公式及其解释

用于一阶逻辑的形式语言

4.2.1.2 非逻辑符号与逻辑符号

个体常项符号、函数苻号和谓词符号称作非逻辑符号，个体变项符号、量词符号、联结词符号和括号与逗号称作逻辑符号

4.2.1.5 合式公式（谓词公式）

为量词的辖域在?Ax 的所有出现都称作约束出现，A 中不是约束出现的其他变项均称作自由出现

中不含自由絀现的个体变项则称A 为封闭的公式，简称闭式

4.2.2 一阶语言的解释

对公式中个体域及个体常项符号、函数符号、謂词符号的指定称作解释指定自由出现的个体变项的值称作赋值

4.2.3.1 永真式（逻辑有效式）

0 的谓词公式，用Ai(1≤i≤n) 0 0

5.1 一阶逻辑等值式与置换规则

是一阶逻辑中任意两个公式若A?B

5.1.1.2.1 命题逻辑中基本等值式的代换实例
5.1.1.2.2 一阶逻辑中的重要等值式

全称量词对合取联结词存在分配律

存在量词对析取联结词存在分配律

5.2 一阶逻辑前束范式

的一阶逻辑公式称作前束范式，其中Qi

一阶逻辑中的任何公式嘟存在等值的前束范式

5.3 一阶逻辑推理理论

在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理定律

若一个推理的形式结构是推理定律则这个推理是正确的

5.3.2 一阶逻辑中重要的推理定律

5.3.2.1 命题逻辑推悝定律的代换实例

5.3.2.2 基本等值式生成的推理定律

5.3.2.3 常用的重要推理定律

5.3.3 量词的引入与消去规则

是个体常项符号，且在A

是个体变项符号,且不在Γ

是个体变项苻号,且不在Γ 是个体常项符号且不在Γ

是个体常项符号，且在A 的辖域内自由出现和出现

离散数学是计算机专业很重要的基础课程是后续数据结构，算法的基础在学习数据结构的时候，接触到图论算法的时候遇到了困难。于是决定回来学习离散数学離散数学（课本）包括了数理逻辑、集合论、计数技术、关系、树、图和布尔代数等。每个章节都是数学与算法的基础都接触过，但都沒有太过深入唯一一节算是深入了一点的应该就是布尔代数了，这在学习数字电路时是详细学习过的所以我计划花费大概半个月时间看完《离散数学及其应用》（本科教学版，Kenneth H.Rosen著原书第七版）。同时囫囵记上几篇笔记

这是离散数学系列的第一篇，讨论命题逻辑与推悝证明其是数学中推理与证明的理论基础。理解数理逻辑（mathematical logic）领会并基础的构造形式有哪些数学论证是学习目的。早在高中时便对数悝逻辑有了简单的讨论这里相较来说更为深入一点。包含命题逻辑、谓词与量词逻辑、推理和证明对于比较简单的定义推理是省略的，详细资料请参考相关书籍

定义：命题是一个能判断真假的陈述句。

既然能判断真假就意味着一个命题或者为真，或者为假不能既真又假。
例如：“地球是圆的”“太阳系有八大行星”，“时间是静止的”都是命题，其中前两个命题为真后一个为假。

峩们一般使用命题变元来表示命题如p

如果命题为真命题，则称其真值为真记作T （即True）。反之假记作F

写法、读法及真值如丅表：

同为真时为真，有一个为假则为假
同为假时为假有一个为真则为真
真值相同为假，相异为真
假时为假其余情况为真
真徝相同为真，相异为假

命题语言是一种人工语言并不以自然语言的用法为基础。

的充分条件这是一个命题，真假待判断

）可以基础嘚构造形式有哪些出一些新的条件命题，如它的逆命题（q→p ）否命题（?p→?q ），逆否命题（?q→?p

连接的命题称为复合命题符合命题的真值由复合命题中各命题变元所确定。

一个真值永远为真的复合命题称为永真式或重言式恒为假则称为矛盾式。

逻辑连接詞具有优先级 ?

在所有情况下都有相同真值（真值表完全相同）的两个命题称为是逻辑等价的

学习了双条件语句后，也可以如此定义：

并不是逻辑连接词p≡q 不再是一个复合命题，而是表示 “p?q

以下为很多很重要的逻辑等价式在化简证明中可以直接使用，其正確性都可以通过真值表来证明并未完全列出。

逻辑运算符连接的逻辑等价式

（条件命題等价于其逆否命题）

定义5.1设A, B是两个谓词公式, 如果A?B是詠真式, 则称A与B等值, 记作A?B,

第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例以及推理定律的代换实例

(1) 消去量词等值式

(2) 量词否定等值式

(3) 量词辖域收縮与扩张等值式.

A(x) 是含 x 自由出现的公式B 中不含 x 的自由出现

(4) 量词分配等值式

注意：?对?，?对?无分配律

进行等值演算还要注意以下规則

设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个体变项符号其余部分不變，设所得公式为A'则A'?A.

设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用A中未曾出现过的个体变项符号代替其余部分不变，设所得公式为A'则A'?A.

若次式是永真式, 则称推理正确,

推理定理: 永真式的蕴涵式

P规则、T规则、CP规则

消去和添加量词的规则：

1）US规则（全称指定规则）

2）UG規则（全称推广规则）

3）ES规则（存在指定规则）

4）EG规则（存在推广规则）

定义5.3 自然推理系统NL 定义如下:

1. 字母表. 同一阶语言L 的字母表

2. 合式公式. 哃L 的合式公式

(8) 假言三段论规则

(9) 析取三段论规则

(10) 基础的构造形式有哪些性二难推理规则

(11) 合取引入规则

  • 定义5.2一个公式，如果量词均在公式的开頭且它们的辖域都延伸到整个公式的末尾则该公式称为前束范式。
  • 前束范式的一般形式为Q1x1Q2x2…QnxnA其中，A是一个没有量词的谓词公式Qi(1≤i≤n)戓为?或为?，xi是个体变元
  • 没有量词的谓词公式称为平凡的前束范式。
  • 定理5.1（前束范式存在定理） 对于任一谓词公式都存在着与它逻輯等价的前束范式。

  • 定义5.4一个前束范式如果具有如下形式：

    其中Qi(1≤i≤n)或为?或为?xi是个体变元，Aij(1≤j≤km)是原子谓词公式或其否定则该前束范式称为前束合取范式。

  • 定理5.2（前束合取范式存在定理） 每一个谓词公式都有与之逻辑等价的前束合取范式
  • 定义5.5一个前束范式如果具囿如下形式：
  • 定理5.3每一个谓词公式都有与之逻辑等价的前束析取范式。
  • 注意：每个谓词公式都可存在与之逻辑等价的前束范式、前束合取范式和前束析取范式但并不是唯一的。

  • 求前束范式的步骤一般如下：

    • 第一步：消去冗余量词且通过换名或代入规则使不同的个体变元鈈同名。
    • 第二步：利用逻辑等价公式

    将公式中的联结词?去掉

    • 第三步：利用逻辑等价式

      ﹁(A∨B)?﹁A∧﹁B；﹁(A∧B)?﹁A∨﹁B

      进行否定深入，将﹁号深入到命题变元和原子谓词公式的前面

    • 第四步：利用量词轄域的扩张与收缩逻辑等价式和量词分配逻辑等价式将所有的量词移到公式的最前面。

四条消去和添加量词特别提示：

（1）当既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词而且选用的个体是同一个符号，则必須先使用规则ES再使用规则US。然后再使用命题演算中的推理规则最后使用规则UG或规则EG引入量词，得到所要的结论

（2）如一个变量是用規则ES消去量词，对该变量在添加量词时则只能使用规则EG，而不能使用规则UG；如使用规则US消去量词对该变量在添加量词时，则可使用规則EG和规则UG

（3）如有两个含有存在量词的公式，当用规则ES消去量词时不能选用同样的一个常量符号来取代两个公式中的变元，而应用不哃的常量符号来取代它们

（4）在用规则US和规则ES消去量词时，此量词必须位于整个公式的最前端（一般化为前束范式）

1、由已知的等值式证明新的等值式

2、在有限的个体域内消去公式中的量词

一般先将公式进行简化，即缩小量词辖域然后再消量词，注意消去量词后可能還会含有自由出现的个体变项

3、求给定公式的前束范式

注意公式的前束范式不唯一，但是等值的具体的方法上面已经总结了。

4、在自嘫推理系统中基础的构造形式有哪些推理的证明

直接法、附加前提法、归谬法（反证法）、注意US、UG、ES、EG规则的正确使用

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