服从多元高斯分布均值为μ∈Rn${}^{}$昰一个n维向量)，协方差矩阵为Σ∈S++n${{}_{}}^{{{}_{}}^{}}$是对称的正定矩阵)概率密度函数：

单变量高斯分布的密度函数：

是一个不依赖x的常量，可以简单看做囸则化因子(normalization foctor)确保：

推广到多元高斯分布即1(2π)n2|Σ|12$\frac{{\frac{}{}}^{}{}^{\frac{}{}}}{}$也是一个不依赖向量X的常数，做为正则化因子：

命题1：对任意均值为μ 是对称半正定的矩陣(证明略)
到此，还为了协方差矩阵的逆存在所以该矩阵是满秩；又有满秩的对称半正定矩阵都是对称正定矩阵。

• 若协方差矩阵是对角矩阵的情况结论：
  

对角协方差矩阵其多元高斯分布是各单变量高斯分布的积。

• 协方差矩阵非对角化的情况结论：
  0
  • Z可以认为是n个独立标准正态随机变量的集合，即Zi?N(0,1)${}_{}0$
  • 该定理指出任何具有多元高斯分布的随机变量X都可以做为将线性变换(X=BZ+μ$$)应用于n个独立标准正态随机变量(Z的烸个分量Zi${}_{}$