两个可测有限个可数集的直积是可数集必为可数集吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-27 00:20 标签： 有限个可数集的直积是可数集

可以这样来证明：考虑两个可数集合其直积的结果可以排成一个矩阵，第一个集合的元素排列成“行”第二个集合的元素排列成“列”。用“对角线”的方法可知這个矩阵的元素是可数的。

既然两个可数集合的直积仍然可数则易证任意有限个可数集合的直积都是可数的。用……数学归纳法证明吧

关于“可数个可数集之并是可数集”命题的几种证明

的双射称 A与 B对等。当 A与 B对等时则就称 A与 B有相同的基数。在这个定义中可数集包含了有限集和可数无限集 (有时也囿人把有限集排除在可数集之外 )。从上面的定义中可知道为证明该定理，我们需要证明存在从集合 A到自然数集 z+ 的一个一一映 .

射为此我們先来证明下面的结论。 () 1存在一个满射：:— 厂 z+ . () 2存在一个单射：:—z+一 gA . () 3 A是可数集

定理： A为一个非空集，设则下列陈述等价

( )≠于是由最小数原理知 n ),

( )存在最小元， n)从而 g是存在的

由 g的值域可得存在 A与 z+的某一个子集之间的双射。因此只须证 z+的任意子集可数即可。令 c 为 z+的一个子集 若 C为有限集，则它是可数因此，假设 C为无限集我们证明 C是可数无限集；也就是要找出 z+ C一 的一个双射 h .

推论： Z+×是可数集合； Z+ 证明：由仩面的定理可知，只要作出一个单射厂 Z+×一 z+: Z+就足够了为此将厂定义为：(, f n m)= 25 m

下面我们用这个定理及推论来给出：可数个可数集的并是可数集”一命题的一种证明。“这

证明：{ ,∈设 A )i N为可数集族中指标集，为可数集若 N=命题显然成立；其 v,假设，≠为方便不 v, 42

我要回帖

更多关于 有限个可数集的直积是可数集 的文章

 

随机推荐