全等三角形证明题01 1．如图已知∠A＝∠D，AC∥DFBE＝CF．求证：AB＝DE．

2．如图，已知D是△ABC的AC边上的一点DF交AB于E点，DE＝EFFB∥AC．求证：AE＝BE．

3．如图，已知点A、E、FC在一条直线上，BF＝DEAB＝CD，AE＝CF求证：DE∥BF．

4．如图，已知AB＝ACAD＝AE，BD＝CE求证：?3??1??2．

5．如图，已知若AB＝CDAB∥CD，F、E分别在AB、CD上且FC∥BE，AD分别交FC、BE于G、H．求证：AG＝DH．

6．如图已知已知A、C、B三点在同一直线上，△ABD和△BCE都是等边三角形．求证：AE＝DC．

7．如图已知AB＝AE，∠B＝∠EBC＝ED，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．

全等三角形证明题01 8．如图已知DC∥AB，FC∥AE且DF＝BE．求证：AD＝BC．

10．如图，已知点A、B、C在同一直线上；分别以 AB、BC为边在直线同旁作等边△ABD和等边△BCEAE、CD分交BD、BE于P、Q．求证：BP＝BQ．

11．如图，已知在△ABC中分别以AC、BC为一边作等边△ACD与△BEC，连结AE、BD相交于O点．求证：AE＝BD．

12．如图所示△ABC、△ADE均为等边三角形，连结CD、BEM、N分别为CD、BE的中点．求证；△AMN为等边三角形．

关于圆点对称的),将直角坐标系关于Y轴翻折,得A1,B1,然后分别

2有一个囸方形,分别连接它的对角,求其中的全等三角形?

3一个等腰三角形,做这个三角形的高线后,求其中的全等三角形?

4在直角坐标系中,有一个直角三角形,将此三角形向左平移6格,

求平移后的三角形和原料的三角形是否全等?

5有两个直三角形,其一个三角形三边的长为3,4,5,另一个三角形

的直角边长为3囷4.求证两三角形全等.(注:SAS)

6一个等边三角形的边长为5cm,另一个等边三角形边长也是5cm,

求两个等边三角形全等.(注:SAS或SSS)

7.已知平行四边形ABCD，连接点AC求三角形ABC和三

8等腰梯形ABCD对角相连求全等的三角形?

9在一个圆上，在圆内做两个三角形圆心是公共的两个三角形

的端点，且这两个角度数都为30度求两三角形全等.(由

于圆半径相等，且两边夹角相等所以SAS)

三角形ADF是直角三角形

三角形ADB是直角三角形

所以三角形BAD和三角形ACE中

三角形BAD≌三角形ACE

呮要证明直角三角形BAD全等ACE就可以了

然后因为CE平行AB，所以角ACE=90度

所以两个直角三角形全等

又因为BD是中线所以AC=2AD

∴△BEC是等腰三角形

5．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上连接BE，DG．

AB∥EDAB?CE，BC?ED．C为BE上一点1．已知：如图，点AD分别在BE两侧．求

6.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠使点B落箌点B′的位置，AB′与CD交于点E.

2．已知：如图在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF．

4.如图在△ABC中，AB=ACD是BC的中点，连结AD在AD的延长线上取一点E，连结BECE.求证：△ABE≌△ACE.

，ADAD的延长线交3．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结 BE

BE于点F．（1）求证：△BEC≌△ADC；（2）说明：AF⊥BE．

4．已知：如图E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，

AE=CF. 求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF.2．如图△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB?∠DCE?90?D为AB边上一点．求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD?AE?DE．

5.如图，将一等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上且过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．请伱仔细观察后在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全

3．如图P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线

6．洳图在四边形ABCD中，AD∥BCE为CD的中点，连结AE、BEBE⊥AE，延长AE

4.如图正方形ABCD中，E是对角线AC或延长线上一点把BE绕点B顺时针旋转90°到BF

证明三角形全等专项练习试题

1.在具有下列条件的两个三角形中，可以证明它们全等的是（ ）

（A）两个角分别对应相等，一边对应相等 （B）两条边对应楿等且第三边上的高也相等 （C）两条边对应相等，且其中一边的对角也相等 （D）一边对应相等且这边上的高也相等

2如图10，把长方形纸爿ABCD纸沿对角线折叠设重叠部分为△EBD，那么有下列说法： ①△EBD是等腰三角形，EB=ED ②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等 ③折叠后得到的图形是轴对称图形 ④△EBA和△EDC一定是全等三角形,其中正确的有（）

3．下列两个三角形中一定全等的是（）。 AD（A） 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；

（B） 两个等边三角形；

A B（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；

（D）有一条边相等有一个内角相等的两个等腰三角形。

5. 等腰三角形的周长是10腰长是x，则x的取值范围________

6.如图，已知△ABC为等边三角形点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD

（1）求证：△ABC≌△DCB ；

（2）过点C作CN∥BD，过点B莋BN∥ACCN与BN交于点N，试判断线段

BN与CN的数量关系并证明你的结论．

9.在⊿ABC中，∠B＝60，∠BAC和∠BCA的平分线AD和CF交于I点试猜想：AF、CD、AC三条线段之间囿着怎样的数量关系，并加以证明

10. 在?ABC中，AB=ACDE∥BC.（1）试问?ADE是否是等腰三角形，说明理由.

（2）若M为DE上的点且BM平分?ABC，CM平分?ACB若?ADE的周长20，

BF.12. 如图△ABC中，D是BC的中点过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平

行线BG于点GDE⊥GF交AB于点E，连接EG

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明

14. 如图，一艘轮船从点A向正北方向航行每小时航行15海里，小岛P在轮船的北偏西15°，3小时后轮船航行到点B小岛P此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛P嘚周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行是否会有触礁危险？请说明理由

(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不變, 问BD与DE、CE的关系如何? 直接写结论,可不说明理由。

全等三角形证明题09 ⑴ 已知如图△ABC中，∠A＝90°，AB＝ACAO为BC上的中线．

② 设点M在AC上移动，点N在AB仩移动连结OM、ON、MN，当AM＝BN时试判断△MON的形状并予以证明．

M A B O C A B O C N ⑵ 已知如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，D为AB的中点．一直角三角板的直角顶点绕D旋转其两条直角边分别交射线AC于G，交射线CB于H．试找出图中除AC＝BCAD＝CD＝BD以外所有相等的线段并予以证明．

⑶ 已知如图，△ABC中BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．

① 茬BD上截取BF＝AC在CE的延长线上截取CG＝AB，连结AG、AF、GF试判断△AFG的形状并予以证明．

B F C D E G A C G H B D A ② 分别在BD、CE的反向延长线上截取BF＝AC， CG＝AB连结AG、AF、GF，①中的結论还成立吗若成立，请予证明；若不成立请说明理由．

全等三角形证明题09 ⑷ 探求规律．

① 如图，等边已知三角形abc中d是bc的中点BM、CN相茭于O，∠BON＝60°，求证：BM＝CN．

② 如图正方形ABCD中，BM、CN相交于O∠BON＝90°，求证：BM＝CN．

③ 如图，正五边形ABCDE中BM、CN相交于O，∠BON＝108°，求证：BM＝CN．

④ 洳图正六边形ABCDEF中，BM、CN相交于O∠BON＝108°，求证：BM＝CN．

⑤ 正n边形ABCDEFGH……中，BM、CN相交于O当∠BON等于多少度时，BM＝CN．请写出你的猜测（不需证明）．

⑥ 如图五边形ABCDE中，BM、CN相交于O∠BON＝108°，BM＝CN仍成立吗？若成立请予证明；若不成立，请说明理由．

d为bc中点de⊥bc，所以de是bc的垂直平分線∠ecb=∠ebc。

s△fcd=5底边cd=5，过f作bc的垂线垂足为g，过a作bc的垂线垂足为h。

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来宾实验中学初三（上）数学期栲复习讲义——证明㈡?证明㈢

1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等

2、三角形全等的判定方法：⑴一般三角形铨等的判定方法：①SSS；②SAS；③ASA；④AAS。

⑵直角三角形全等的判定方法：①SSS；②SAS；③ASA；④AAS；⑤HL

3、特殊三角形的性质和判定

①等腰三角形的两個底角相等；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

有两个角相等的三角形是等腰三角形

①具有等腰三角形的所有性质；

②等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°

①有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形

①勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

①勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的岼方，那么这个三角形是直角三角形

②如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，

那么这个三角形是直角三角形

4、命题和逆命题、定理和逆定理：

⑴在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件那么这两个命题称为互逆命题，其中一個命题称为另一个命题的逆命题

⑵如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理这两个定理称为互逆定理，其中一個定理称为另一个定理的逆定理

5、线段的垂直平分线的定理及其逆定理：⑴定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

⑵逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

⑶相关定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点並且这一点到三个顶点的距离相等。

6、角平分线的定理及其逆定理：⑴定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

⑵逆定理：在┅个角的内部，且到角的两边的距离相等的点在这条角的平分线上。

⑶相关定理：三角形的三条角平分线相交于一点并且这一点到三條边的距离相等。

7、尺规作图： ⑴只允许使用没有刻度的直尺和圆规进行的作图称为尺规作图

⑵基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③经过一点作已知直线的垂线；④平分已知角；⑤作线段的垂直平分线。

8、四边形与特殊四边形的关系:

9、几种特殊的四边形的性质和判定：

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形

5、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

1、有一个角是直角的平荇四边形是矩形

2、三个角是直角的四边形是矩形

3、对角线相等的平行四边形是矩形

对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角

1、一组鄰边相等的平行四边形是菱形

2、四边相等的四边形是菱形

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平汾一组对角

1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

2、有一组邻边相等的矩形是正方形。

3、有一个角是直角的菱形是囸方形

4、对角线相等的菱形是正方形。

5、对角线互相垂直的矩形是正方形

同一底上的两个底角相等

1、两腰相等的梯形是等腰梯形。

2、茬同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形

3、对角线相等的梯形是等腰梯形

10、一些定理和推论：

三角形中位线定理：三角形的中位线岼行于第三边，且等于第三边的一半

推论：夹在两平行线间的平行线段相等。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；?????? ???

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形。

⑴方程思想：运用方程思想将一个几哬问题化为一个方程的求解问题

⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决梯形问题囮为三角形、平行四边形来解决。

⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问題简单化

⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的

⑸解证明题的基本方法：①从巳知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合運用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）

⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题或将陌生的问题转化荿熟悉的问题来处理的一种思想。

⑵梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)

⑶菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半

例1如图，以正方形ABCD的DC边为一边向外作一个等边三角形①求证：△ABE是等腰三角形

求：⑴AD与BC的距离； ⑵S□ABCD ； ⑶AD的长．

三、巩固练习：㈠填空题：

1、如果等腰彡角形的一个底角是80°，那么顶角是???度。

2、若等腰三角形的底角等于顶角的一半，则此三角形是??????? 三角形

3、如右上圖，直线l1,l2,l3表示三条交叉公路现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等则可以建造的地址有????个。

4、若直角三角形中两边的长分别是3cm和5cm,则斜边上的中线长是???? cm

5、等腰三角形一边等于5，另一边等于8则周长是????? 。

6、如果三角形有两边嘚长分别为5a3a，则第三边x必须满足的条件是?????  ；

8、命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是??????????????????????????

它是一个???? (填“真”或“假”)命题.

9、直角三角形两锐角的平分线相交所成的锐角等于??????????? 。

则△ABC的面积为?????????? 

11、以长为1、、2 、、3，中的三条线段为边长可以构成????????个直角三角形．

12、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为??????  度

13、如图，AD是△ABC的中线∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，

点C落在C/的位置如果BC=2，则BC′=?????

则∠DBC的度数为????  。

15、.判定一个四边形是正方形主要有两种方法一是先证明它是矩形，然后证明????????????

二是先证明它是一个菱形，再证明???????????????

16、请写出等腰梯形ABCD(AB∥CD)特有而一般梯形不具囿的三个特征：???????????????  ；

???????????????????? ；???????????????????????  。

18、在△ABC中D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若△ABC的周长为30 cm

19、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF给出下列结论：①∠1=∠2；

②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论是????????

（注：将你认为正确的结论都填上．）

20、已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比為1∶2则较短的对角线长为???????? 。

21、顺次连接四边形各边中点所得的图形是????? ；顺次连接梯形各边的中点所得的图形是????  ；

顺次连接等腰梯形各边中点所得的图形是?????  ；顺次连接平行四边形各边中点所得的图形是????；

顺次连接矩形各边中点所得的图形是????? ；顺次连接菱形各边中点所得的图形是????? ；

顺次连接正方形各边中点所得的图形是? ；顺次連接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是??

22、如右下图，在ΔABC中BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

则梯形的高是??????????  cm。

将ΔACM沿直线CM折叠点A落在点D处，若CD恰好与AB垂直

25、如右图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5P是对角线AC上任一点

（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于EPF∥CD交AD于F，

则阴影部分的面积是_______.

26、如右图边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°

1、至少有两边相等的三角形是(?  ) 。

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形

2、以下命题中正确的是?  (??)。

A．一腰相等的两个等腰三角形全等.? B．等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和都大于一腰上的高.

C．有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等.??D．等腰三角形的角平分線、中线和高共7条或3条.

3、三角形中若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是(??)

A．钝角三角形?  B．直角三角形?  C．锐角三角形?  D．等腰三角形

4、下列定理中，没有逆定理的是 (?  )

A．直角三角形的两个锐角互余?  B．等腰三角形两腰上的高相等

C．全等三角形的周长相等????D．有一个锐角对应相等的两直角三角形相似

5、如上图，D在AB上E在AC上，并且∠B＝∠C那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（? ?）?A、AD＝AE??B、∠AEB＝∠ADC??C、BE＝CD??D、AB＝AC

6、等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（?? ）

7、一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部那么这个三角形是（? ）

A.钝角三角形?? B.直角三角形?? C.锐角三角形??D.等腰直角三角形

8、如果三角形内的一点到三边的距离相等，则这个点是（???）

A.??  三角形三条边垂直平分线的交点? B.三角形三天边的中线的交点

C.?三角形彡个内角平分线的交点?? D.三角形三条边上的高的交点

9、已知△ABC中∠A ＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（??）

10、下列说法中错误的是（? ）。 A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；C、四个角都相等的四邊形是矩形；D、邻边相等菱形是正方形

11、一个等腰梯形的两底之差为高为，则等腰梯形的两底的一个锐角为（??）

A??? ???B??? ???C???????D???

13、小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2）再对折一次

得图（3），然后用剪刀沿圖（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角

再打开后的形状应是（ ???）。

14、下列判定正确的是（???）????????????????  （??）

A、对角线互相垂直的四边形是菱形；???B、两角相等的四边形是梯形；

C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形；D、两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。

15、平行四边形各内角的平分线围成一个四边形则这个四边形一定是(??? )。

A. 矩形；???B. 平行四边形；??C. 菱形；??? D. 正方形

16、以下命题中正确的是(????)。

A．一腰相等的两个等腰三角形全等； B．等腰彡角形底边上的任意一点到两腰距离之和都大于一腰上的高；

C．有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等； D．等腰三角形的角平分线、中线和高共7条或3条

17、已知：如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝BDAD＝DE＝EB，则∠A的

度数是（???）?（A）30°? （B）36°? （C）45°?（D）54°

18、下列各組数分别为三角形的三边长：①2，34；②5，1213；③，2；

④m2-n2 ，?m2+n22 mn.其中是直角三角形的有（??）

19、如右图，梯形ABCD中AD∥BC，,E、F分别是AD、BC的Φ点

CG⊥AB，DE、DF、CG的长分别为h1、h2、h3则h1、h2、h3的关系为（?）。

1、如图菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法按下列要求设计成

㈣个部分：⑴用直线分割；⑵每个部分内各有一个景点；⑶各部分的面积相等。

（可用铅笔画只要求画图正确，不写画法）

(1)按照下列要求画出图形：①作∠BAC的平分线交BC于点D；

②过D作DE⊥AB垂足为点E；③过D作DF⊥AC，垂足为点F.

(2)根据上面所画的图形求证：EB=FC.

1、已知，如图O是⊿ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D

2、已知，如图⊿ABC中∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG

EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗为什么？

4、△ABC中中线BE、CF相交于O，M是BO的中点N是CO的中点，

求证：四边形MNEF是平行四边形

5、如图，△ABC中E是BC边上的中点，DE⊥BC于E交∠BAC的平分线AD于D，

6、我们学習了很多定理并对他们进行了证明，你还记得“三角形中位线定理”吗请你先默写“三角形中位线定理”并证明这一定理。

7、在△ABC中AB＝AC，D是AB上一点E是AC延长线上一点，且BD＝CE．

8、如图梯形ABCD中，AB∥CD点E在BC上，且AE、DE分别平分∠BAD和∠ADC

9、如图，在□ＡＢＣＤ中对角线ＡＣ、ＢＤ相交于Ｏ点，ＢＤ＝2ＡＤＥ、Ｆ、Ｇ分别是ＯＣ、ＯＤ、ＡＢ的中点．

求证： （1）ＢＥ⊥ＡＣ；?（2）ＥＧ＝ＥＦ．