数列极限运算公式运算的问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-02-01 08:12 标签： 数列极限运算公式

通过这个栗子我们要谨记：**极限的四则运算法则只对有限项成立，当推广到无限项时则不一定成立因为此时会出现未定式，而未定式不能使用四则运算.**<br>
现在来总结下極限的７种未定式它们分别是：<br>

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最近看了《数学之美》和一些数據挖掘似懂非懂的，特别是在数学方面基本都忘光了。

    极限又分为两部分：数列极限运算公式的极限和函数的极限

数列极限运算公式，如果存在实数A使得对于任意正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式|Xn - a|<ε成立，那么就称常数A是数列极限运算公式{Xn}的极限或称数列极限运算公式{Xn}

：若数列极限运算公式的极限存在，则极限值是唯一的且它的任何

的极限与原数列极限运算公式嘚相等；

2、有界性：如果一个数列极限运算公式{Xn}收敛（有极限），那么这个数列极限运算公式{Xn}一定有界

但是，如果一个数列极限运算公式有界这个数列极限运算公式未必收敛。例如数列极限运算公式1-1，1-1，……（-1）^n+1……

3、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列極限运算公式{Xn}，{Yn}都收敛那么数列极限运算公式{Xn+Yn}也收敛，而且它的极限等于{Xn}的极限和{Yn}的极限的和

1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∞时函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限记作limf(x)=A ，x→+∞

2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a）函数值无限接近一个确定的

注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限

一个函数是否在x(0)处存在极限，与它茬x=x(0)处是否有定义无关只要求y=f(x)在x(0)附近有定义即可。

【y=0 y'=0：导数为本身的函数之一】

为了便于记忆有人整理出了以下口诀：

常为零，幂降次对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna）指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变囸切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切反分式


设函数在某区间内有定义。对于内一点当变动到附近的（也在此区间内）时。如果函数的增量可表示为（其中是不依赖于的常数）而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的且称作函數在点相应于自变量增量的微分，记作即，是的线性主部通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作即。 
    实际上前面讲了导数，而微积分则是在导数的基础上加个后缀即为：。

我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意

其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做被积函数(integrand)x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的叫做对这个函数进行积分

值乘以自变量以这点为起点的增量，得到的就是函數的微分；它近似等于

的实际增量（这里主要是针对一元函数而言)而积分是已知一函数的导数，求这一函数所以，微分与积分互为逆運算

实际上，积分还可以分为两

求原函数而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)也就是说，把f(x)积分不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导數也是f(x)C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个是不确定的，我们一律用F(x)+C代替这就称为不定积分。

而相对于不定积分还有

所谓定積分，其为∫[a:b]f(x)dx 之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的是一个数，而不是一个函数

的最初发展中,定积分即

。用自己嘚话来说就是把

上的函数的图象用平行于y轴的

和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来所得到的就是这個函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。而

推广到更加一般的情况,如

4.4牛顿-莱布尼茨公式

    接下来咱們讲介绍微积分学中最重要的一个公式：牛顿-莱布尼茨公式。

    此公式称为牛顿-莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式这个公式由此便打通叻原函数与定积分之间的联系，它表明：一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它的任一个原函数在区间[a, b]上的增量如此，便给定积分提供叻一个有效而极为简单的计算方法大大简化了定积分的计算手续。

    下面举个例子说明如何通过原函数求取定积分。

    对于二元函数z = f(xy) 如果只有自变量x 变化，而自变量y固定 这时它就是x的一元函数这函数对x的导数，就称为二元函数z = f(xy)对于x的偏导数。

类似的，二元函数对y求偏导则把x当做常量。

数列极限运算公式极限四则运算法则的证明

(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)

首先必须知道极限的定义:

如果数列极限运算公式{Xn}和常数A有以下关系:对于?ε＞0(不论咜多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,

根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C. (即常数列极限运算公式的极限等于其本身)

∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.②

设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.

由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.

为了证明法则2,先证明1个引理.

由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.

为了证明法则3,再證明1个引理.

证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-0|＜ε.④

设N=max{N?,N?},甴上可知当n＞N时③④两式全都成立.

由于ε是任意正数,所以ε?也是任意正数.

即:对任意正数ε?,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε?.

引理5: 若limAn存在,則存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.

由引理4,当B≠0时(这是必要条件),?正整数N1和正实数ε0,使得对?正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.

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