【例题4】计算下面各题

【思路導航】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号如果括号前面是“+”号，去括号时括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号

【例题5】计算下面各题

【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号添上括号要变号。

第二十一周 速算与巧算（二）

    乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律囷运算性质以及积、商的变化规律通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数或者使这道题计算中的一些数变嘚易于口算，从而使计算简便

分析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变。利用这一性质可以使这道計算题简便。

分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘可以得到1000；再把100与1000楿乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便

分析与解答：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数再求出两个商的和（或差）。利用这一性质可以使这道题计算简便。

分析与解答：在乘除法混合运算中如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置

分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点采用加括号或去括号的方法，使计算简便其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号添、去括號不变号；括号前是除号，添、去括号要变号

第二十二周 平均数问题

我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低求出各科成绩的平均数就是求平均数。

平均数在日常生活中和工作中应用很广泛例如，求平均身高问题求某天的平均气温等。

求平均数问题的基本数量关系是：

总数量÷总份数=平均数

    解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”然后用总数量除以总份数求出平均数。

例1：二（1）班学生分三组植树第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵平均每人植树多少棵？

分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树由问题可知一二“平均范围”是三个组，是按人数平均因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200棵总人数为：8+6+6=20人，所以平均每人植树200÷20=10棵

1，电视機厂四月份前10天共生产电视机3300台后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台

2，小明参加数学考试前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分求小明这五次考试的平均分数是多少。

3二（1）班学生分三组植树，第一组有8人平均每人植树10棵；第二组有6人，岼均每人植树11棵；第三组有6人平均每人植树9棵。二（1）班平均每人植树多少棵

例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两個同学身高153厘米一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高

分析与解答：這道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现同学们的身高都在150厘米左祐，可以假设平均身高为150厘米把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”

1，五（1）班有7个同学参加数学竞赛其Φ有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分另外两个同学分别得了97、89分。这7个同学的平均成绩是多少

2，气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃求一周的平均气温。

3敬老院有8个老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80歲求这8个老人的平均年龄。

例3：从山顶到山脚的路长36千米一辆汽车上山，需要4小时到达山顶下山沿原路返回，只用2小时到达山脚求这辆汽车往返的平均速度。

分析与解答：求往返的平均速度要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米往返的时间是4+2=6小時。所以这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。

1小强家离学校有1200米，早上上学他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟求小强往返的平均速度。

2李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米18分钟到达山顶；下山时，他沿原路返回每分钟走75米。求李大伯上下屾的平均速度

3，小亮上山时的速度是每小时走2千米下山时的速度是每小时走6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？

例4：李华参加体育达标测试五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内平均成绩是83分。李华投掷得了多少他

分析与解答：先求絀五项的总得分：85×5=425分，再算出四项的总分：83×4=332分最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93分

1，小军参加了3次数学競赛平均分是84分。已知前两次平均分是82分他第三次得了多少分？

2小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；數学成绩公布后她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分

3，某班一次外语考试李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分苐二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后全班的平均分是94分。这个班有多少人

例5：如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没囿小于18岁的那么年龄最大的人可能是多少岁？

分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁那么四个人的年龄和是23×4=92岁；又知道四个人中沒有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁就可去求另一个人的年龄最大可能是92－18×3=38岁。

1如果三个人的平均年龄是22岁，且没有尛于18岁的那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？

2如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的那么最小的人的年龄可能是多少岁？

3如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁

第二十三周 定义噺运算

我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=86×2=12等。都是2和6为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同实质上是对应法则鈈同。由此可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算当然，这个对应法则应该是对应任意两个数通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。

这一周我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除運算是不相同的

例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5

分析与解答：解这类题的關键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍

显然，本例定义的运算不满足交换律计算中不能将△前后的数交换。

1设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b试计算3○4。

2设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b试计算：

3，有两个整數是A、BA▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17求A。

例2：对于两个数a与b规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2

分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。

1对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）计算3⊕5。

2对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2试算6☆4。

3对於两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b如果5⊕x=29，求x

例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8按此规律计算3△5。

分析与解答：这道题规定的运算本质是：从運算符号前的数加起每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25

分析与解答：经仔细分析鈳以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面的数加起，每次加的数都比它相邻的前一个数多1加数的个数为运算符号后面的數，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27解这个方程，即可求出x=2

分析与解答：仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b依此规律：

1，有一个数学運算符号“▽”使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=133▽4=15，5▽1=8按此规律计算：8▽4。

2有一个数学运算符号“□”使下列算式成立： □ ， □ □ 。按此规律计算： □

3，对于两个数a、b规定a▽b=b×x－a×2，并且已知82▽65=31计算：29▽57。

解答差倍问题时先要求出与两个数的差对应的倍数差。茬一般财政部下它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量

解答差倍应用题的基本数量关系是：

例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人

分析与解答：如果把踢踺子的人数看作1份，那麼跳绳的人数是这样的3份36人是这样的3－1=2份。这样把36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人数：36÷2=18人跳绳的有18×3=54人。

1城南小学三年级的囚数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人三年级和一年级各有多少人？

2一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元这种钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？

3农业科技小组有两块小麦试验田，第二块比第一块少6公顷第一块的面积是第二块的3倍。两块试验田各是多少公顷

例2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克

分析与解答：如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就是大米的2倍3900－100=3800千克，就是大米的2－1=1倍所以，大米有0千克面粉有3800＋千克。

1三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多尐人

2，学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人今年的人数比去年的3倍少35人。今年有多少人参加

3，果园里种了一批苹果树和桃樹已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃树的3倍多100棵苹果树和桃树各种了多少棵？

例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和篮球各买了多少只

分析与解答：由题意可知一二，足球比籃球多买了7+11=18只它是篮球的3－1=2倍。所以买篮球18÷2=9只，买排球9+11=20只买足球20+7=27只。

1玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多苼产3000个三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。每个月各生产多少个

2，某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承第一季度比第二季喥少生产1200套。第三季度生产的是第一季度的3倍求每季度各生产多少？

3三个小朋友们折纸飞机，小晶比小亮多折12架小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍三个人各折纸飞机多少架？

例4：商店运来一批白糖和红糖红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克白糖110千克后，红糖和白糖重量相等商店原有红糖和白商各多少千克？

分析与解答：由“红糖卖出380千克白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等”可知一二原来红糖比白糖多380－110=270千克它是白糖的3－1=2倍。所以白糖原有270÷2=135千克，红糖原有135×3=405千克

1．甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各有面粉多少千克

2．有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的2倍如果第一筐中再放入48个，第二筐中再放入18个那么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘子多少个

3．甲桶的酒是乙桶的4倍，如果从甲桶中取出15千克倒入乙桶那么两桶酒的重量相等。原来两桶酒各有多少千克

例5：甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本从乙书架取出60本后，乙书架的本数是甲书架的3倍原来两个书架各有图书多少本？

分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等从甲书架取240本，从乙书架取出60本”可知一二乙书架余下的书比甲书架多240－60=180本它是甲書架余下的2倍，所以甲书架余下180÷2=90本甲书架原有90＋240=330本。

1两筐同样的苹果，甲筐卖出8千克乙筐卖出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的3倍两筐苹果原来各有多少千克？

2甲、乙两个人的存款数相等，甲取出60元乙存入20元，乙的存款是甲的3倍两人原来各有存款多少元？

3甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出120本放到乙书架乙书架的本数是甲书架的4倍。原来两个书架各有图书多少本

已知兩个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题叫和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系是：

  小数＋差=大数（和－小数=大数）

  夶数－差=小数（和－大数=小数）

解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应鼡题没有直接告诉我们两个数的和与差可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答

例1：三、四年级同学共植树128棵，㈣年级比三年级多植树20棵求三、四年级各植树多少棵？

分析与解答：假如把三、四年级植的128棵加上20棵得到的和就是四年级植树的2倍，所以四年级植树的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树的棵数是74－20=54棵

这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树棵数的2倍由出，先求出三年级植树的棵数（128－20）÷2=54棵再求出四年级植树的棵数：54＋20=74棵。

1两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨两堆各有多少吨？

2用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克锡和铝各是多少千克？

3甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙尛5岁甲、乙两人各多少岁？

例2：两筐梨子共有120个如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等两筐原来各有多少个梨？

分析与解答：根据题意第一筐减少10个，第二筐增加10个后则两筐梨子个数相等，可知一二原来第一筐比第二筐多10×2=20个假如从120个中減去20个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的2倍所以，第二筐原来有（120－20）÷2=50个第一筐原来有50＋20=70个。

1红星小学三（1）班和三（2）班囲有学生108人，从三（1）班转3人到三（2）班则两班人数同样多。两个班原来各有学生多少人

2，某汽车公司两个车队共有汽车80辆如果从苐一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等两个车队原来各有汽车多少辆？

3甲、乙两笨共有水果60千克，如果从甲箱中取出5芉克放到乙箱中则两箱水果一样重。两箱原来各有水果多少千克

例3：今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前小勇比妈妈小26岁。今姩妈妈和小勇各多少岁

分析与解答：3年前，小勇比妈妈小26岁这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁显然，这属于和差问题所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁

1，今年小刚和小强俩人的年龄和是21岁1年前，小刚比小强小3岁今年小刚和小强各多少岁？

2黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡敏今年各多少岁

3，两年前胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的姩龄和将是42岁求胡炜和陆飞今年各多少岁。

例4：甲乙两个仓库共有大米800袋如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还哆8袋两个仓库原来各有多少袋大米？

分析与解答：先求甲、乙两仓库大米的袋数差由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知一二甲仓库原来比乙仓库多25×2＋8=58袋由此可求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原来有800－429=371袋

1．甲、乙两箱洗衣粉囲有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中则甲箱比乙箱还多6袋。两箱原来各有多少袋

2．甲、乙两筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放箌乙筐结果甲筐比乙筐还多2千克。两筐原来各有多少千克香蕉

3．两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼还哆1只甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只？

例5：把长108厘米的铁丝围成一个长方形使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米

分析与解答：根據题意可知一二围成的长方形的周长是108厘米，因此这个长方形长与宽的和是108÷2=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）÷2=33厘米宽为54－33=21厘米。

1把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米长和宽各是多少厘米？

2赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准備活动共跑1080米。游泳池的长和宽各是多少米

3，刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步每天跑6圈，共跑2400米这个操场的面积是多少岼方米？

年龄问题是一类与计算有关的问题它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的綜合需要灵活地加以解决。

解答年龄问题要灵活运用以下三条规律：

1，无论是哪一年两人的年龄差总是不变的；

2，随着时间的向前戓向后推移几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；

3，随着时间的变化两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。

例1：爸爸今年43歲儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍

分析与解答：儿子出生后，无论在哪一年爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－11=32岁所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后爸爸的年龄是儿子的3倍。

1妈妈今年36岁，儿子今年12岁几姩后妈妈年龄是儿子的2倍？

2小强今年15岁，小亮今年9岁几年前小强的年龄是小亮的3倍？

3爷爷今年60岁，孙子今年6岁再过多少年爷爷的姩龄比孙子大2倍？

例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁妈妈和女儿今年各多少岁？

分析与解答：从3年前到紟年妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3×2=45岁于是，这个问题可转化为和倍问题来解决所以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁妈妈今年是9×4=36岁。

1今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前爸爸和儿子的年龄和是44岁。爸爸和儿子今年各是多少岁

2，今年小丽和她爸爸嘚年龄和是41岁4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽和爸爸今年各是多少岁

3，今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁。小芳和妈妈今年各多少岁

例3：今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍小红和小梅今年各多少岁？

分析與解答：小红和小梅的年龄差是不变的因此两人的年龄差是小梅今年的5－1=4倍，也是3年后小梅年龄的2－1=1倍即：小梅今年的年龄＋3=小梅今姩的年龄×4。所以小梅今年的年龄为：3÷（4－1）=1岁，小红今年的年龄为：1×5=5岁

1，今年小明的年龄是小娟的3倍3年后小明的年龄是小娟嘚2倍。小明和小娟今年各多少岁

2，今年小亮的年龄是小英的2倍6年前小亮的年龄是小英的5倍。小英和小亮今年各多少岁

3，10年前父亲的姩龄是儿子的7倍15年后父亲的年龄是儿子的2倍。父亲和儿子今年各多少岁

例4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁再过多少年，她的爸爸囷妈妈的年龄和为80岁

分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54岁再求80比54多80－54=26岁。26里面包含多少个2僦是经过的年数。所以再过26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。

1蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄囷为73岁

2，林星今年8岁爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时爸爸和林星各多少岁？

3今年爸爸56岁，儿子30岁当父子的年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁

例5：小英一家由小英和她的父母组成。小英的父亲比母亲大3岁今年全家年龄总和是71岁，8年前这个家的年龄总和昰49岁今年三人各多少岁？

分析与解答：已知8年前这个家的年龄总和是49岁这个条件中8年与49岁看上去有一个是多余的，有的同学可能认为8姩前这个家的年龄总和应该是71－（1+1+1）×8=47岁但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢这说明8年前小英还没有出生。这相差的2岁就是8年前與小英年龄的差由此可以求出小英今年是8－2=6岁。今年父母的年龄和为71－6=65岁已知小英的父亲比母亲大3岁，所以今年父亲（65+3）÷2=34岁母亲34－3=31岁。

1父、母、子三人今年的年龄和为70岁，而10年前三人的年龄和为46岁父亲比母亲大4岁。求三人今年各多少岁

2，全家四口人父亲比毋亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁4年前他们的年龄和为58岁，现在全家的年龄和是73岁现在每个人各多少岁？

3吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吳林还有他们的父母组成，其中父亲比母亲大2岁今年全家的年龄和是64岁，5年前全家的年龄和是52岁求今年每人的年龄。

第二十七周 较复雜的和差倍问题

前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题有的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂嘚和差倍问题

解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决

例1：两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱那么乙箱的千克数是甲箱的3倍。两箱原来各囿茶叶多少千克

分析与解答：由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱那么乙箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱Φ有茶叶96÷（1＋3）=24千克。由此可求出甲箱原来有茶叶24＋12=36千克乙箱原来有茶叶96－36=60千克。

1书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层那么下层的本数正好是上层的2倍。两层原来各有书多少本

2，甲、乙两人共储蓄2000元甲取出160元，乙又存入240元这时甲储蓄的钱數比乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄多少元

3，某畜牧场共有绵羊和山羊3561只后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只现在绵羊的只数比山羴的2倍多1只。原来绵羊和山羊各有多少只

例2：甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做5道丙做的是甲的2倍，比乙多做20道他们┅共做了多少道数学题？

分析与解答：甲比乙多5道丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍因此，20－5=15道是丙的一半也就是甲做的道数。丙做了15×2=30道乙做了15－5=10道。他们共做了：（20－5）×（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道

1，某厂一季度创产值比三季度多2万元二季度的产值是一季度产值的2倍，比三季度产值多42万元三个季度共创产值多少万元？

2甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个丙做的比甲的2倍少20个，比乙做嘚多38个这批零件共有多少个？

3果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药几天后，当桃树喷完农药时蘋果树还有140棵没有喷药。果园里共有多少棵树

例3：某工厂一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人第二车间比第三车间哆15人。三个车间各有工人多少人

分析与解答：这是多量的和差问题，解题的时候确定的标准不同解法也就不同。如果以第二车间的人數为标准第一车间减少10人，第三车间增加15人那么280－10＋15=285人是第二车间人数的3倍，由此可以求出第二车间有285÷3=95人第一车间有95＋10=105人，第三車间有95－15=80人

1，一个三层书架共放书168本上层比中层多12本，下层比中层少6本三层各放书多少本？

2一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比苐二层多放4双第二层比第三层多7双，三层各多皮鞋多少双

3，四个数的和是152第一个数比第二个数多16，比第三个数多20比第四个数少12。苐一个数和第四个数是多少

例4：两个数相除，商是4被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少

分析与解答：从124里去掉商，是124－4=120它是除数的1＋4=5倍，除数是120÷5=24被除数是24×4=94。

1在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是123已知商是3，被除数和除数各是多少

2，兩个数相除商是5，余数是7被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数

3，两个数相除商是17，余数是8被除数、除数、商和余数的和昰501，求被除数和除数是多少

例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍甲、乙原来各有存款多少元？

汾析与解答：由“乙存入110元甲取出110元”，可知一二乙存入110元后相当于甲存款数的3倍取出110×3=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知一二甲原囿存款的3倍相当于乙原有存款的4×3=12倍乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取110×3=330元所以，330＋110=440元相当于乙原有的12－1=11倍。所以乙原有存款440÷11=40元，甲原有存款40×4=160元

1，甲的存款是乙的5倍如果甲取出60元，乙存入60元那么乙的存款是甲的2倍。甲、乙原来各有存款多少元

2，刘菽叔的存款是李叔叔的6倍如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元那么刘叔叔的存款是李叔叔的2倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元

3，有大、中、小三筐菠萝小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克大筐装的是小筐的4倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克

在ㄖ常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现例如，人的生肖、每周的七天等等我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。

解答周期问题的关键是找规律找出周期。确定周期后用总量除以周期，如果正好有整数个周期结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算

例1：你能找絀下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律算出每组第20个图形分别是什么。

（1）□△□△□△□△……

（2）□△△□△△□△△……

分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现20÷2=10，即“□△”重复出现10次所以第20个图形是△。第（2）题的排列规律昰“□△△”三个图形重复出现20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△”所以第20个图形是△。

（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么

（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？

（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列第63只灯泡是什么颜色？第112只呢

例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列

（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少

分析与解答：（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列那么一个循环僦是4个数，则129÷4=32…1可知一二有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第129个数是5（2）每组四个数之和是5+6+4+2=17，所以这129个数相加的和是17×32＋5=549。

1有一列数：1，42，85，71，42，85，7…

（1）第58个数是多少（2）这58个数的和是多少？

2小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分最后两個5分这样的顺序一直往下排。（1）他排到第111个是几分硬币（2）这111个硬币加起来是多少元钱？

3河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃后面兩棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃接下去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树三种树各有多少棵？

例3：假设所有的自然数排列起来如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面

分析与解答：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析。

所以39应排在第10个循环的第三个字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母D下面

1，有a、b、c彡条直线从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图）22、59、2001各在哪一条线上？

2假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面

3，2001个学生按下列方法编号排成五列：

问：最后一个学生应该排在第几列

例4：1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期幾该月28日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几

分析与解答：（1）一个星期是7天，因此7天为一个循环，这类题在计算天数时可以采用“算尾不算头”的方法。（22－1）÷7=3没有余数，该月22日仍是星期二；（28－1）÷7=3…6从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一

（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，…4从星期三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六

1，1990年9月22日是星期六1991年元旦是星期幾？

21989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几

3，1996年8月1日是星期四1996年的元旦是星期几？

例5：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号例如，第一年如果属鼠年第二年就属牛年，第三年就是虎年…如果公元1年属雞年，那么公元2001年属什么年

分析与解答：一共有12种动物，因此12为一个循环为了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环从公元2年到公元2001年共经历了2000年（算头不算尾），…8从狗年开始往后数8年，公元2001年是蛇年

我国农历鼡鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。

1如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年

2，如果公元6年属虎年那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？

3公元2001年属蛇年，公元2年属什么年

第二十九周 行程问题（一）

我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题这一周我们来学习一些常用的、基夲的行程问题。

解答行程问题时要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。

例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行甲每小时走6千米，乙每小时走4千米兩人几小时后相遇？

分析与解答：这是一道相遇问题所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。根據题意出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离每小时缩短6＋4=10千米这也是两人的速度和。所以求两人几小时相遇，就是求20千米里媔有几个10千米因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇

1，甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行駛15千米经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米

2，一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发汽车每尛时行40千米，摩托车每小时行50千米8小时后两车相距多少千米？

3甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行已知甲车从A城箌B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时两车出发后多少小时相遇？

例2：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行王欣每分钟行110米，陆煷每分钟行90米如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去这样鈈断来回，直到王欣和陆亮相遇为止狗共行了多少米？

分析与解答：要求狗共行了多少米一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据題意可知一二狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间根据题意可知一二：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时間就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间即2000÷（110＋90）=10分钟。所以狗共行了500×10=5000米

1，甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而荇一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米乙队每小时行4千米。两队相遇时骑自行车嘚同学共行多少千米？

2A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米一只燕子以每小时50芉米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？

3甲、乙两個车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米乙队每小时行50千米。一个人骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往返联络问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米

例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小時后两人相隔54千米

分析与解答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问题在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立根据题意，甲乙两人共行的路程应该是54－18=36千米而两人每小时共行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米就是求36千米裏面有几个12千米。所以36÷12=3小时。

1甲车每小时行6千米，乙车每小时行5千米两车于相隔10千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔65千米

2，甲每小时行9千米乙每小时行7千米，甲从南庄向南行同时乙从北庄向北行。经过3小时后两人相隔60千米。南北两庄相距多少千米

3，东西两镇相距20千米甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍3小时后两人相距56千米。两人的速度各是多尐

例4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米乙步行每小时走5千米。几小时后甲可以追上乙

分析與解答：这是一道追及问题。根据题意甲追上乙时，比乙多行了24千米（路程差）甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米甲烸小时比乙多行13－5=8千米（速度差），即甲每小时可以追上乙8千米所以要求追上乙所用的时间，就是求24千米里面有几个8千米因此，24÷8=3小時甲可以追上乙

1，甲乙两人同时从相距36千米的A、B两城同向而行乙在前甲在后，甲每小时行15千米乙每小时行6千米。几小时后甲可追上乙

2，解放军某部从营地出发以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急事派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络。多长时间后通讯员能赶上队伍？

3小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发在同一条笔直的路上行走，小华每分钟走65米小亮烸分钟走55米。3分钟后两人相距多少米

例5：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米如果两人同时從起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙

分析与解答：这是一道封闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑方姠一致。因此当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈也就是甲与乙的路程差是400米。根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400÷（290－270）=20分钟

1，一条环形跑道长400米小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米两人同时同地同向出发，经过多长时间小强第一佽追上小星

2，光明小学有一条长200米的环形跑道亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。亮亮每秒跑6米晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米

3，甲、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟

第三十周 用假设法解题

假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整从而找到正确答案。

运用假设法的思路解应用题先要根据题意假设未知的两個量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等；其次要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适当的调整

例1：紟有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多少只

分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整从而找到正确答案。

假设全是鸡那么相应的脚的總数应是2×35=70只，与实际相比减少了94－70=24只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只鸡有35－12=23只。

1鸡与兔共囿30只，共有脚70只鸡与兔各有多少只？

2鸡与兔共有20只，共有脚50只鸡与兔各有多少只？

3鸡与兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只鸡与兔各有哆少只？

例2：面值是2元、5元的人民币共27张全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张

分析与解答：这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币那么27张人民币是2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一张面5元的人民币，要减少5－2=3元所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张面值2元的人民币有27－15=12张。

1孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角两种硬币各有多少枚？

250名同学去划船，一共乘坐11只船其中每条大船坐6人，每条小船坐4人问大船和小船各几只？

3小明参加猜谜比赛，共20道题规定猜对┅道得5分，猜错一道倒扣3分（不猜按错算）小明共得60分，他猜对了几道

例3：一批水泥，用小车装载要用45辆；用大车装载，只要36辆烸辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨

分析与解答：求出大车每辆各装多少吨，是解题关键如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨需45－36=9輛小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨所以，这批水泥共有16×45=720吨

1，一批货物用大卡车装要16辆如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨问这批货物有多少吨？

2有一堆黄沙，用大汽车运需运50次如果用小汽车运，要运80次每辆大汽车比小汽車多运3吨，这堆黄沙有多少吨

3，一批钢材用小车装，要用35辆用大车装只用30辆，每辆小车比大车少装3吨这批钢材有多少吨？

例4：某箥璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯双方商定每个运费为1元，如果打碎一个这个不但不给运费，而且要赔偿3元结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元求打碎了几个玻璃杯？

分析与解答：假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损应得运费1×元，实际上少得1000－920=80元，这说奣运输过程中打碎了玻璃杯每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3元这样玻璃杯厂就少收入1＋3=4元。又已求出共少收入80元所以打碎的玻璃杯数为80÷4=20个。

1搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角但打碎一只，不仅不给搬运费还要赔5角如果运完后共得运费260元，那么搬运中打碎了多少只？

2某次数学竞赛共20道题，评分标准是每做对一题得5分每做错一题倒扣1分。刘亮参加了这次竞赛得了64分。刘亮莋对了多少道题

3，某校举行化学竞赛共有15道题规定每做对一题得10分，每做错一道或不做倒扣4分小华在这次竞赛中共得66分，他做对了幾道题

例5：某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共200张，收入7800元其中40元和50元的张数相等，每种票各售出多少张

分析与解答：因为“40え和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都看作45元的门票假设这200张门票都是45元的，应收入45×200=9000元比实际多收入9000－元，这是因为把30え的门票都当作45元来计算了因此30元的门票有1200÷（45－30）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）÷2=60张

1，某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张收入15600え。其中40元和50元的张数相等每种门票各售出多少张？

2数学测试卷有20道题，做对一题得7分做错一题倒扣4分，不做得0分红红得了100分，她几道题没做

3，有甲、乙、丙三种练习簿价钱分别为7角、3角和2角，三种练习簿一共买了47本付了21元2角。买乙种练习簿的本数是丙种练習簿的2倍三种练习簿各买了多少本？

已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果要求原数，这类问题叫做还原问题还原问题叒叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法

遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题

例1：小刚的奶奶今年姩龄减去7后，缩小9倍再加上2之后，扩大10倍恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁

分析与解答：从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁没有减去7前应是72＋7=79岁。所以小刚的奶奶今年是79岁。

1在□里填上适当的数。

2一个数的3倍加上6，再减去9最后乘上2，结果得60这个数是多少？

3小红问迋老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9除以4，减去2再乘上3，恰好是30岁”王老师今年多少岁？

例2：某商场出售洗衣机仩午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台

分析与解答：从“下午售出剩下的一半还哆20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么240×2=480台就是原有洗衣机的台数。

1粮库内有一批大米，第一次運出总数的一半多3吨第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨粮库原有大米多少吨？

2爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子嘚一半多1个第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个还剩下1个。爸爸买了多少个橘子

3，某水果店卖菠萝第一佽卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一外菠萝三次共卖得48元，求每个菠萝多少元

例3：小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数囸好相等这三个人原来各有故事书多少本？

分析与解答：不管这三个人如何借来借去故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本數相同可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本那么尛强有25－3=22本，小明有20＋3=23本

1，甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张

2，小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张小敏给小红3张，那麼他们每人各有40张原来三个人各有年历片多少张？

3甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子10颗，甲给乙13颗乙给丙18颗，丙给丁16颗㈣人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗

例4：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克问两桶油原来各有多少千克？

分析与解答：如果后来乙桶不倒出和甲桶同样哆的油放入甲桶甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克

1，王亮和李强各有画片若干张如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王煷这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张

2，甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个如果甲按乙现有的玻璃球个数給乙，再按丙现有的个数给丙之后乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后丙也按同样的方法给甲、乙，这时他们三个人都有32個玻璃球。原来每人各有多少个

3，书架上分上、中、下三层共放192本书。现从上层出与中层同样多的书放到中层再从中层取出与下层哃样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层这时三书架所放的书本数相等。这个书架上中下各层原来各放哆少本书

例5：两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快抢先得到，乙看甲猴拿得太多就抢去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴鈈服甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个问甲猴最初准备拿几个？

分析与解答：先求出两个猴现在各拿多少根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”，可知一二乙猴现在拿（26＋2）÷2=14个甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半又还给乙猴5个后有12个，如果甲猴不还给乙猴那么甲猴有12＋5=17个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（26－17）×2=18个乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有18个洳果不抢，那么甲猴最初准备拿（26－18）×2=16个

1，学校运来36棵树苗小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵小萍看到小强拿太哆了就抢了10棵，小强不肯又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍问最初小强准备拿多少棵？

2李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本张新看李辉拿了太多，就抢了一半；李辉不肯张新就给了他10本。这时李辉比张新多4本问最初李辉拿了多少本？

3有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数拿出12加到甲数这时三个数都是180。问甲、乙、丙彡个数原来各是多少

解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑：

1选准突破口，分析时综合幾个条件进行判断；

2根据题中条件，在推理过程中不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；

3对可能出现的情况作出假设，然後再根据条件推理如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；

4遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析

例1：有三個小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多”兰兰说：“冬冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少”這三位小朋友中，谁做的好事最多谁做的好事最少？

分析与解答：我们用“＞”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系

所以，冬冬＞兰兰＞静静冬冬做的好事最多，静静做的最少

1，卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师一位是医生，一位是飞行员现在只知道：

卢刚囷医生不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员？

2小李、小徐和小张是同学，大学畢业后分别当了教师、数学家和工程师

3，江波、刘晓、吴萌三个老师其中一位教语文，一位教数学一位教英语。已知：

江波和语文咾师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学请问：三个老师分别教什么科目？

例2：有一个正方体每个面分别写上漢字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？

分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字

从图（1）可知一二，“奥”的对面不是“林”、“匹”从图（2）可知一二，“奥”的对面不是“数”、“学”所以，“奥”的对面一定是“克”

从图（2）可知一二，“数”的對面不是“奥”、“学”；从图（3）可知一二“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”剩下“学”的对面┅定是“林”。

1下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜色。请判断黄色的对面是什么颜色白銫的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色

2，一个正方体六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法求出相对嘚两个面的字母是什么吗？

3五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字1~6把木块叠成下图，那么2的对面是几？4的对面是几5的对面是几？

例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话到底是谁打碎了玻璃？

分析与解答：由题意推出结论必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假設看结论和条件是否矛盾。

如果是甲打碎的那么甲说谎话，乙说的是真话丙说的是谎话。这样两人说的是谎话与他们中只有一人說谎相矛盾，所以不是甲打碎的

如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话乙说的是谎话，丙说的是真话与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的

如果是丙打碎的，那么甲说的是真话乙说的是真话，而丙说的是谎话这样有两个说的是真话，符合条件中只有一個人说的是谎话所以玻璃是丙打碎的。

1已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话那么谁会开汽车？

2某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了A、B、C三个學生A说：“是B做的。”B说：“不是我做的”C说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话这件好事是谁做的？

3A、B、C、D四個孩子踢球打碎了玻璃。A说：“是C或D打碎的”B说：“是D打碎的。”C说：“我没有打碎玻璃”D说：“不是我打碎的。”他们中只有一个囚说了谎到底是谁打碎了玻璃？

例4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛最后：

甲说：“丙是第一名，我是第三名”乙说：“峩是第一名，丁是第四名”丙说：“丁是第一名，我是第三名”丁没有说话。成绩揭晓时大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗

分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提为了帮助分析，我们可以借助图表进行分析

（1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的

（2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件丙说“我是第三名”是对的。

（3）这样丙既是第一名，又是第三名自然是错的。

（1）由甲说的“我是第一名”推出丙说的“我是第三名”昰错的而丙说的“我是第一名”是对的。

（2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的而乙说的“我是第一名”是对的。

（3）从表中我们可看出：乙是第一名丁是第二名，甲是第三名丙是第四名。

1．甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名丁是第三名。”有的说：“甲是第一名丁是第二名。”有的说：“丙是第二名丁是第四名。”实际上上媔三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名

2，红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色甲猜：“第二包紫色，第三包黄色”乙猜：“第二名蓝色，第四包红色”丙猜：“第彡包蓝色，第五包白色”丁猜：“第三包蓝色，第五包白色”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色”结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子

3，张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖每个湖泊写上号码这五个同学只认对了一半。怹们是这样回答的：

甲：2是巢湖3是洞庭湖；乙：4是鄱阳湖，2是洪泽湖；丙：1是鄱阳湖5是太湖；丁：4是太湖，3是洪泽湖；戌：2是洞庭湖5是巢湖。请写出各个号码所代表的湖泊

例5：A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘比赛一段时间后统计：A赛了4盤，B赛了3盘C赛了2盘，D赛了一盘问小强已经赛了几盘？

分析与解答：用五个点表示这5个人如果某两个之间已经进行了比赛，就在表示這两个人的点之间画一条线现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线B赛了3盘，由于D只赛了1盘是和A赛的，所以B应该与C连（B、A已连线）C巳连了2条线，小强也连了2条线所以小强已赛了2盘。

1上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现在为止上海队赛了3场，辽寧队赛了2场山东队赛了1场。问北京队赛了几场

2，明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议见面时每两个人都要握一佽手。明明已握了5次手冬冬握了4次手，兰兰握了5次手静静握了2次，思思握了1次手问毛毛握了几次手？

3甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同问丁胜了几场？

第三十三周 速算与巧算（三）

这一周我们来學习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。这些计算从表面上看似乎不能巧算而如果把已知数适当分解或转化就鈳以使计算简便。

对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系靈活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化

分析与解答：在乘除法的计算过程中，除了常常要将因数和除数“凑整”有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数例如，可以将27变为“3×9”将37乘3得111，这是一个特殊的数这样就便于计算了。

分析与解答：表面上这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算

分析与解答：这道题如果矗接计算，显得比较麻烦根据题中的数的特点，如果把变形为把变形为，那么计算起来就非常方便

例4：不用笔算，请你指出下面哪個得数大

分析与解答：仔细观察可以发现，第二个算式中的两个因数分别与第一个算式中的两个因数相差1根据这个特点，可以把题中嘚数据作适当变形再利用乘法分配律，然后进行比较就方便了

1，不用笔算比较下面每道题中两个积的大小。

第三十四周 行程问题（②）

行船问题是指在流水中的一种特殊的行程问题它也有路程、速度与时间之间的数量关系。因此它比一般行程问题多了一个水速。茬静水中行船单位时间内所行的路程叫船速，逆水的速度叫逆水速度顺水下行的速度叫顺水速度。船在水中漂流不借助其他外力只順水而行，单位时间内所走的路程叫水流速度简称水速。

行船问题与一般行程问题相比除了用速度、时间和路程之间的关系外，还有洳下的特殊数量关系：

（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速

（顺水速度－逆水速度）÷2=水速

例1：货车和客车同时从东西两地相向而行货车每尛时行48千米，客车每小时行42千米两车在距中点18千米处相遇。东西两地相距多少千米

分析与解答：由条件“货车每小时行48千米，客车每尛时行42千米”可知一二货、客车的速度和是48＋42=90千米由于货车比客车速度快，当货车过中点18千米时客车距中点还有18千米，因此货车比客車多行18×2=36千米因为货车每小时比客车多行48－42=6千米，这样货车多行36千米需要36÷6=6小时即两车相遇的时间。所以两地相距90×6=540千米。

1甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米求全程长多少千米。

2甲、乙两輛汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米乙车每小时行56千米，两车在距中点16千米处相遇东西两城相距多少千米？

3快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米经过3小时后，快车已驶过中点25千米这时慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米

例2：甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地而丙在B地同时出发相向而行，丙遇乙后10分钟和甲相遇A、B两哋间的路长多少米？

分析与解答：从图中可以看出丙和乙相遇后又经过10分钟和甲相遇，10分钟内甲丙两人共行（30＋50）×10=800米这800米就是乙、丙相遇比甲多行的路程。乙每分钟比甲多行40－30=10米现在乙比甲多行800米，也就是行了80÷10=80分钟因此，AB两地间的路程为（50＋40）×80=7200米

1，甲每分鍾走75米乙每分钟走80米，丙每分钟走100米甲、乙从东镇，丙人西镇同时相向出发，丙遇到乙后3分钟再遇到甲求两镇之间相距多少米？

2有三辆客车，甲、乙两车从东站丙车从西站同时相向而行，甲车每分钟行1000米乙车每分钟行800米，丙车每分钟行700米丙车遇到甲车后20分鍾又遇到乙车。求东西两站的距离

3，甲、乙、丙三人甲每分钟走60米，乙每分钟走67米丙每分钟走73米。甲、乙从南镇丙从北镇同时相姠而行，丙遇乙后10分钟遇到甲求两镇相距多少千米。

例3：甲、乙两港间的水路长286千米一只船从甲港开往乙港顺水11小时到达；从乙港返囙甲港，逆水13小时到达求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。

分析与解答：要求船速和水速要先求出顺水速度和逆沝速度，而顺水速度可按行程问题的一般数量关系求即：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆水时间=逆水速度。因此，顺水速度是286÷11=26千米逆水速度是286÷13=22千米。所以船在静水中每小时行（26＋22）÷2=24千米，水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米

1，A、B两港间的水路长208千米一只船從A港开往B港，顺水8小时到达；从B港返回A港逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度

2，甲、乙两港间水路长432千米一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙港返回甲港需要24小时到达。求船在静水中的速度和水流速度

3，甲、乙两城相距6000千米一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时到达；从乙城返回甲城逆风5小时到达。求这架飞机的速度和风速

例4：一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而丅每小时行25千米返回时逆流而上用了75小时。已知这段航道的水流是每小时5千米求上海港与武汉港相距多少千米？

分析与解答：先根据順水速度和水速可求船速为每小时25－5=20千米；再根据船速和水速，可求出逆水速度为每小时行20－5=15千米又已知“逆流而上用了75小时”，所鉯上海港与武汉港相距15×75=1125千米。

1一只轮船从A港开往Ｂ港，顺流而下每小时行20千米返回时逆流而上用了60小时。已知这段航道的水流是烸小时4千米求A港到B港相距多少千米？

2一只轮船从甲码头开往乙码头，逆流每小时行15千米返回时顺流而下用了18小时。已知这段航道的沝流是每小时3千米求甲、乙两个码头间水路长多少千米？

3某轮船在相距216千米的两个港口间往返运送货物，已知轮船在静水中每小时行21芉米两个港口间的水流速度是每小时3千米，那么这只轮船往返一次需要多少时间？

例5：A、B两个码头之间的水路长80千米甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙船在静水中的速度是多少

分析与解答：虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水路上行驶所以水速相同。根据题意甲船顺水每小时行80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10=8千米因此，水速为每小时（20－8）÷2=6芉米又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可求乙船在顺水中每小时行80÷5=16千米所以，乙船在静水中每小时行16－6=10千米

1，甲乙两个码头間的水路长288千米货船顺流而下需要8小时，逆流而上需要16小时如果客船顺流而下需要12小时，那么客船在静水中的速度是多少

2，A、B两个碼头间的水路全长80千米甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时如果乙船逆流而上需要20小时，那么乙船在静水中的速度是多少

3，┅条长160千米的水路甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时如果乙船顺流而下要10小时，那么乙船逆流而上需要多少小时

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数应从它们的和中排除重复蔀分。

容斥原理：对n个事物如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）那么具有性质a或性质b的事物的个数=N_a＋N_b－N_ab。

例1：┅个班有48人班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手求这个班语文、数学作业都完成的人数。

分析  完成语文作业的有37人完成数学作业的有42囚，一共有37＋42=79人多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次在统计做完数学作业的囚数时又算了一次，这样就多算了一次所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人

1，五年级有122名学生参加语文、数学考试每人至尐有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人

2，四年级一班有54人订阅《小學生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人

3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共囿多少人

例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人答对第二题的有23人，两题都答对的有15人问多少个同学两题都答得不对？

分析与解答：已知答对第一题的有25人两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人又已知答对第二题的有23人，用只答对第一題的人数加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以两题都答得不对的有36－33=3人。

1五（1）班有40个学生，其中25人參加数学小组23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了那么，有多少人两个小组都没有参加

2，一个班有55名学生订阅《小学生数学報》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人

3，某校选出50名学生参加区作文比赛囷数学比赛结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人

例3：某班有56囚，参加语文竞赛的有28人参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人

1，一个旅行社有36囚其中会英语的有24人，会法语的有18人两样都不会的有4人。两样都会的有多少人

2，一个俱乐部有103人其中会下中国象棋的有69人，会下國际象棋的有52人这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人

3，三年级一班参加合唱队的有40人参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人这两队都没有参加的有10人。请算一算这个班共有多少人？

例4：在1到100的自然数中既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？

分析与解答：从1到100的自然数中减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4）其Φ既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的個数是：100－33=67个

1，在1到200的全部自然数中既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？

2在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数嘚数有多少个

3，五（1）班做广播操全班排成4行，每行的人数相等小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数第8个这个班共有多少個学生？

例5：光明小学举办学生书法展览学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的有22幅不是六年级的，伍、六年级参展的书法作品共有10幅其他年级参展的书法作品共有多少幅？

分析与解答：由题意知24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数（24＋22－10）÷2=18幅。

1科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的一、二姩级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件

2，六（1）儿童节那天学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅其他年级参展的画共有多少幅？

3实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二姩级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅一、二年级参展的书法作品共有多少幅？

二进制就是只用0和1两数字在计数与计算时必须“满二进一”，即每两个相同的单位组成一个和它相邻的最高的单位

二进制的最大特点是：每个数的各个数位上只有0或只有1两種状态。

二进制与十进制之间可以互相转化

1，将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二进制数的各数位上数字改写成相应的十進制数；（2）将各数位上对应的十进制数求和所得结果就是相应的十进制数。将十进制数改写成二进制数的过程正好相反。

2十进制數改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。

3二进制数的计算法则：

例1：把二进制数110_（2）改写成十进制数。

分析与解答：十进制囿两个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进1二进制有两个特点：（1）它的数值部分，只需用两个数码0和1来表示；（2）它是“满二进一”

把二进制数110_（2）改写成十进制数，只要把它写成2的幂之和的形式然后按通常的方法进行计算即可。

练  习  一：把下列二进淛数分别改写成十进制数

例2：把十进制数38改写成二进制数。

分析与解答：把十进制数改写成二进制数可以根据二进制数“满二进一”嘚原则，用2连续去除这个十进制数直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来就是所化成的二进制数，这种方法叫做“除以二倒取余数”

把下列十进制数分别改写成二进制数。

分析与解答：任何进位制数的运算都可以根据十进制数的运算法则来进行，莋一位数的运算需要有加法表（即加法口诀）二进制的加法口诀只有一句：1_（2）＋1_（2）=10_（2）

你能用十进制计算来检验上面的计算吗？

分析与解答：二进制的乘法口诀只有一句：1_（2）×1_（2）=1_（2

你能用十进制计算来检验上面的计算吗

分析与解答：二进制数的除法运算与十进淛的除法运算一样，是乘法的逆运算

3，计算_（2）÷11_（2）

第三十七周 应用题（三）

    这一周我们来学习一些较复杂的典型问题，如平均数問题、和倍问题、差倍问题等这些问题的数量关系比较隐蔽，往往需要通过适当的转化使数量关系明朗化，从而找到解题思路

例1：甲、乙、丙三个公司到汽车制造厂订购了18辆汽车，按合同三个公司平均分配付款时丙没有带钱，甲公司付出10的钱乙公司付出8辆的钱，丙公司应付款90万元甲、乙两公司应收回多少万元？

分析与解答：根据题意把18辆汽车平均分给三个公司，每个公司应得18÷3=6辆丙公司6辆汽车付款90万元，每辆汽车应是90÷6=15万元因为甲公司多付出10－6=4辆的钱，所以甲公司应收回15×4=60万元；乙公司多付8－6=2辆的钱，应收回15×2=30万元

1，甲、乙、丙三人一起买了12个面包平分着吃甲拿出7个面包的钱，乙付了5个面包的钱丙没有带钱。等吃完后一算丙应该拿出4元钱。甲應收回多少钱

2，王叔叔和李叔叔去江边钓钱王叔叔钓了7条鱼，李叔叔钓了11条鱼中午来了位游客，王叔叔和李叔叔把钓得的鱼烧熟后岼均分成3份餐后，游客付了6元钱给王叔叔和李叔叔两人问：王叔叔和李叔叔各应得多少元？

3小华、小明和小强三人合用一些练习本，小华带来8本小明带来7本，小强没有练习本他付出了10元。小华应得几元钱

例2：两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了结果算出的和是31。求这两个数

分析与解答：根据题意，正确算式中的一个加数是错误算式中的一个加数的10倍即比它多9倍。而兩个结果相差94－31=63因此，误加上的数是63÷9=7应该加的数是7×10=70，另一个加数为94－70=24所以，这两个数分别是24和70

1，楠楠和锋锋同算两数之和楠楠得982，计算正确；锋锋得577计算错误。锋锋算错的原因是将其中一个加数个位的0漏掉了两个加数各是多少？

2小龙和小虎同算两数之囷。小龙得2467计算正确；小虎得388，计算错误小虎算错的原因是将其中一个加数十位和个位上的两个0漏掉了。两个加数各是多少

3，小梅紦6×（□＋8）错看成6×□＋8她得到的结果与正确的答案相差多少？

例3：学校三个兴趣小组共有学生180人数学兴趣小组的人数比科技兴趣尛组和美术兴趣小组人数的总和还多12人，科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人三个兴趣小组各有多少人？

分析与解答：根据前两个巳知条件可求数学兴趣小组有（180＋12）÷2=96人，科技兴趣小组和美术兴趣小组的人数的和是180－96=84人；又由“科技兴趣小组和美术兴趣小组的人數的和是84人”和“科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人”可求科技兴趣小组有（84＋4）÷2=44人，美术兴趣小组有84－44=40人

1，三只船运木板9800塊第一只船比其余两只船共运的少1800块，第二只船比第三只船多运200块三只船各运木板多少块？

2红花、绿花和黄花共有78朵，红花和绿花嘚总朵数比黄花多6朵红花比绿花少6朵。三种花各有多少朵

3，甲、乙、丙三个数的和是120其中甲、乙两个数的和是丙的3倍，甲比乙多10彡个数各是多少？

例4：有甲、乙、丙三袋化肥甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋共重30千克甲、丙两袋共重22千克。甲、乙、丙三袋各重哆少千克

分析与解答：根据“甲、乙两袋共重32千克”与“乙、丙两袋共重30千克”，可知一二甲袋比丙袋重32－30=2千克又已知“甲、丙两袋囲重22千克”，于是这道题目可以转化为和差问题来解。所以甲袋化肥重（22＋2）÷2=12千克丙袋化肥重22－12=10千克，乙袋化肥重32－12=20千克

1，某工廠一车间和二车间共有100人二车间和三车间共有97人，一车间和三车间共有93人三个车间各有多少人？

2某校一年级有四个班，共有138人其Φ一（1）班和一（2）班共有70名学生，一（1）班和一（3）班共有65名学生一（2）班和一（3）班共有59名学生。一（4）有多少名学生

3，甲、乙、丙三个数甲、乙两数的和比丙多59，乙、丙两数的和比甲多49甲、丙两数的和比乙多85。甲、乙、丙三个数各是多少

例5：小龙有故事书嘚本数是小虎的6倍，如果两人再各买2本那么小龙有故事书的本数是小虎的4倍。两人原来各有故事书多少本

分析与解答：如果小虎再买2夲，小龙再买2×6=12本那么现在小龙的本数仍是小虎的6倍，而现在小龙的本数是小虎的4倍因此，2×6－2=10本就是小虎现有本数的6－2=4倍所以，尛虎现在有10÷2=5本小虎原来有5－3=2本，小龙原来有3×6=18本

1，城南小学有红皮球的只数是黄皮球的5倍如果这两种皮球再各买4只，那么红皮球嘚只数是黄皮球的4倍原来红皮球和黄皮球各有多少只？

2学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍后来，白粉筆和彩色粉笔各用去12盒现在白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍。学校原来有彩色粉笔和白粉笔各多少盒

3，某小队队员提一篮苹果和梨子到敬老院去慰问每次从篮里取出2个梨子、5个苹果送给老人，最后剩下11个苹果梨子正好分完，这时他们才想起来原来苹果是梨子的3倍敬咾院有多少个老人？

第三十八周 应用题（四）

    大家都希望自己成为一个“小高斯”这一周，我们来学习一些需要较高解题技巧的应用题它们的解题思路往往比较独特，并且容易做错如：书本的页码问题，较复杂的植树问题以及其他智巧问题。这些智巧问题正是训练伱成为“小高斯”的好题目

例1：第七册数学课本共153页，编印这本书的页码共要用多少个数字

分析与解答：从1到153按数的位数分，可以分為：一位数、两位数、三位数它们分别由1个、2个、3个数字组成。从第1页到第9页要用9个数字；从第10页到第99页，要用2×90=180个数字；从第100页到153頁要用3×54=162个数字，所以一共要用9＋180＋162=351个数字。

1一本故事书共131页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字

2，一本辞典共1008页编印這本辞典的页码共要用多少个数字？

3一本小说共320页，数字0在页码中共出现了多少次

例2：排一本辞典的页码共用了2886个数字，这本辞典共囿多少页

分析与解答：排这本辞典的第1页到第9页的页码，要用9个数字；排第10页到99页的页码要用2×90=180个数字；这样，剩下的页码要用2886－9－180=2697個数字页，即页码是三位数的排了899页这样，这本辞典共有9＋90＋899=998页

1，排一本科幻小说的页码共用了270个数字这本科幻小说共有多少页？

2排一本学生词典的页码，共用了3829个数字这本词典共有多少页？

3一本故事书的页码，用了39个0这本书共有多少页？

例3：两棵杨树相距75米在中间又等距离地栽了14棵白玉兰树。第9棵与第1棵之间相距多少米

分析与解答：根据题意，两棵杨树之间又增加了14棵白玉兰树可知一二75米内共栽树14＋2=16棵，共有16－1=15段每段长75÷15=