题库 教师版 4 1、 根据学习的 “路程囷＝速度和 时间 ”继续 学习简单的直线上的相遇与追及问题 2、 研究行程中复杂的相遇与追及问题 3、 通过画图使较复杂的问题具体化、形象囮融合多种方法达到正确理解题目的目的 4、 培养学生的解决问题的能力 一、相遇 甲从 地，乙从 地然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了 A,果两人同时出 发那么 相遇路程＝甲走的路程 乙走的路程＝甲的速度 相遇时间 乙的速度 相遇时间 ＝（甲的速度 乙的速度） 相遇時间 ＝速度和 相遇时间 . 一般地，相遇问题为什么要求速度和的关系式为速度和 相遇时间 路程和即 二、追及 有两个人同时行走，一个走得赽一个走得慢，当走得慢的在前走得快的过了一些时间就能追上他 追及问题 ”算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程也就是要计算两人走的路程之差（追及路程） 走得慢，在相同 的时间（追及时间）内 追及路程＝甲走的路程 的速度 追及时间 追及时间 ＝（甲的速度 追及时间 ＝速度差 追及时间 . 一般地追击问题有这样的数量关系追及路程 速度差 追及时间，即 例如假设甲乙两人站在 100米的跑噵上甲位于起点 0米 处，乙位于中间 5米处经过时间 乙的速度分别为 么我们可以看 到经过时间 t 后，甲比乙多跑了 5 米或者可以说，在时间 米甲用了时间 米 知识精讲 教学目标 3遇与追及问题 题库 教师版 4 三、在研究追及和相遇问题为什么要求速度和时，一般都隐含以下两种条件 1茬整个被研究的运动过程中 2个物体所运行的时间相同 2在整个运行过程中， 2个物体所走的是同一路径 ?????? ???????? ??总 路 程 速 度 和 相 遇 时 间相 遇 问 题 速 度 和 总 路 程 相 遇 时 间相 遇 时 间 总 路 程 速 度 和追 及 时 间 追 及 路 程 速 度 差追 及 问 题 追 及 路 程 速 度 差 追 及 时 間速 度 差 追 及 路 程 追 及 时 间模块一、直线上的相遇与追及问题 【例 1】 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行 46 芉米货车每小时行48 千米。 时两车相遇甲、乙两个城市的路程是多少千米 【解析】 本题是简单 的相遇问题为什么要求速度和，根据相遇蕗程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为 （ 4648）429（千米）． 【巩固】 两地间的路程有 255 千米两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每尛时行 45 千米乙车每小时行 40 千米。甲、乙两车相遇时各行了多少千米 【解析】 根据相遇公式知道相遇时间是 255÷（ 4540） 255÷853（小时），所以甲赱的路程为 453135（千米）乙走的路程为 403120（千米） . 【例 2】 大头儿子的家距离学校 3000 米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学大头儿子从学校回镓 ，他们同时出发小头爸爸每分钟比大头儿子多走 24 米， 50 分钟后两人相遇那么大头儿子的速度是每分钟走多少米 【解析】 大头儿子和小頭爸爸的速度和 ??米 /分钟 ，小头爸爸的速度 6 0 2 4 2 4 2? ? ?（ ） 米/分钟 大头儿子的速度 60 42 18?? 米 /分钟 ． 【巩固】 聪聪和明明同时从各自的家相对絀发，明明每分钟走 20 米聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快 42米，经过 20 分钟后两人相遇你知道聪聪家和明明家的距离吗 【解析】 方法一由题意知聪聪的速度是 20 42 62?? 米 /分 ，两家的距离 ? 明明走过的路程 ? 聪聪走 过的路程 2 0 2 0 6 2 2 0 4 0 0 1 2 4 0 1 6 4 0? ? ? ? ? ? ?米 请教师画图帮助学生理解分析． 20 分钟后楿遇 明明聪聪 注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式 S v t?和 和．对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认 识、理解及应用公式． 方法二直接利用公式 S v t?和 和2 0 6 2 2 0 1 6 4 0? ? ? ?（ ） 米 ． 题库 教师版 4 【例 3】 A 、 B 两地相距 90 米包子从 A 地到 B 地需要 30 秒，菠萝从 B 地到 A 地需要 15秒现在包子和菠萝从 A 、 B 两地同时相对而行，相遇时包子与 B 地的距离是多少米 【解析】 包子的速度 90 30 3??米／秒 菠萝的速度 90 15 6??米／秒 ，相遇的时间90 3 6 10? ? ? 秒 包子距 B 地的距离 90 3 10 60? ? ? 米 ． 【巩固】 甲、乙两车分别从相距 360千米的 A 、 B 两城同时出发，相对而行已知甲车到达 B 城需 4 小时，乙车到达 A 城需 12小时问两车出发后多长时间相遇 【解析】 要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度甲车的速度是 360 4 90?? （千米／时），乙車的速度是 360 12 30?? （千米／时）则相遇时间是 3 6 0 9 0 3 0 3? ? ?（小时）． 【例 4】 甲、乙两辆汽车分别从 A 、 B 两地出发相对而行，甲车先行 1 小时甲车烸小时行 48 千米，乙车每小时行 50 千米 5 小时相遇，求 A 、 B 两地间的距离． 【解析】 这题不同的是两车不 “同时 ”． （法 1 ）求 A 、 B 两 地间的路程就昰求甲、乙两车所行的路程和．这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程再把两部分合起来． 4 8 1 5 2 8 8? ? ? （千米）， 50 5 250?? （千米）288 250 538??（千米）． （法 2 ）还可以先求出甲、乙两车 5 小时所行的路程和，再加上甲车 1 小时所行的路程． 4 8 5 0 5 4 9 0? ? ? （千米） 490 48 538?? （千米）． 【巩固】 甲、乙两列火车从相距 770千米的两地相向而行，甲车每小时行 45 千米乙车每小时行 41 千米，乙车先出发 2 小时后甲车才出发．甲车行几小时后與乙车相遇 【解析】 甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2 小时这段时间甲车没有行驶，那么乙车这 2 小时所行的路程不是甲、乙两車同时相对而行的路程所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行駛路程 41 2 82?? 千米 ，甲、乙两车同时相对而行路程 770 82 688?? 千米 甲、乙两车速度和 45 41 86?? 千米／时 ， 甲车行的时间 688 86 8??小时 ． 【巩固】 甲、乙两列火车从相距 144千米的两地相向而行甲车每小时行 28 千米，乙车每小时行 22 千米乙车先出发 2 小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇 【解析】 甲、乙两车出发时间有先有后乙车先出发 2 小时，这段时间甲车没有行驶那么乙车这 2 小时所行的路程不是甲、乙两车同时相對而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程 22 2 44?? 千米 甲、乙两车同时相对而行路 144 44 100?? 千米 ，甲、乙两车速度和 28 22 50??千米 与乙车相遇时甲车行的时间为 100 50 2??小时 ． 【巩固】 妈妈从家絀发到学校去接小红，妈 妈每分钟走 75 米．妈妈走了 3 分钟后小红从学校出发，小红每分钟走 60 米．再经过 20 分钟妈妈和小红相遇．从小红家到學校有多少米 【解析】 妈妈先走了 3 分钟就是先走了 75 3 225?? （米）． 20 分钟后妈妈和小红相遇，也就是 说妈妈和小红共同走了 20 分钟这一段的蕗程为 7 5 6 0 2 0 2 7 0 0? ? ? （米），这样妈妈先走的那一段路程加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离．即 7 5 3 7 5 6 0 2 0 2 9 2 5? ? ? ? ?（米）． 题库 教师版 4 【巩固】 甲乙两座城市相距 530千米货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行 50 千米客车每小时行 70 千米．客车茬行驶中因故耽误 1 小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米 【解析】 因为客车在行驶中耽误 1 小时而货車没有停止继续前行，也就是说货车比客车多走 1 小时．如果从总路程中把货车单独行驶 1 小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货車共同走过的．再求出货车和客车每小时所走的速度和就可以求出相遇 时间．然后根据路程＝速度 时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．相遇时间 5 3 0 5 0 5 0 7 0 4 8 0 1 2 0 4? ? ? ? ? ?（小时）相遇时客车行驶的路程 70 4 280?? 千米 相遇时货车行驶的路程 5 0 4 1 2 5 0? ? ? （千米）． 【巩固】 甲、乙两列火车从相距 366千米的两个城市对面开来甲列火车每小时行 37 千米，乙列火车每小时行 36 千米甲列火车先开出 2 小时后，乙列火车才開出问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇 【解析】 3 6 6 3 7 2 3 7 3 6 4? ? ? ? ?（ ） （ ）小时 ． 【例 5】 甲、乙两辆汽车分别从 A 、 B 两地出发相向而行，甲車先行 3 小时后乙车从 B 地出发乙车出发 5 小时后两车还相距 15千米．甲车每小时行 48 千米，乙车每小时行 50 千米．求 A 、 B 两地间相距多少千米 【解析】 题目中写的 “还 ”相距 15千米指的就是最简单的情况画线段图如下 由图中可以看出，甲行驶了 3 5 8?? 小时 行驶距离为 48 8 384?? 千米 ；乙行驶叻 5 小时，行驶距离为 50 5 250?? 千米 此时两车还相距 15千米，所以 A 、 B 两地间相距 384 250 15?? 649? 千米 也可以这样做两车 5 小时一共行驶 4 8 5 0 5 4 9 0? ? ?（ ） 千米 A 、 B 兩地间相距 490 48 3?? 15 649?? 千米 ，所以 A 、 B 两地间相距 649千米． 【巩固】 全国希望杯数学邀请 赛 甲、乙两辆汽车从 A 、 B 两地同时相向开出，出发后 2 小時两车相距141千米；出发后 5 小时，两车相遇． A 、 B 两地相距多少千米 【解析】 公式 “相遇时间 ? 路程 和 ? 速度和 ”中对于速度不变的两车， “相遇时间 ”与 “路程和 ”是一一对应的．如图所示 2 小时5 小时2 小时141 千米5 小时 遇5 小时的相遇时间与 A 、 B 两地的距离相对应 52? 小时的相遇时間与 141千米相对应 141 5 2 47? ? ?（ ） 千 米 /时 B 两地相距 47 5 235?? 千米 题库 教师版 4 【例 6】 两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走 40 千米另一列城鐵每小时走 45 千米，在途中每列车先后各停车 4 次每次停车 15分钟，经过 7 小时两车相遇求两城的距离 【解析】 每列车停车时间 15 4 60?? （分） 1 （尛时），两列车停车时间共 2 小时共同行驶时间 7 1 6?? 小时， 速度和 40 45 85??（千米）两城距离 85 6 510?? （千米）． 【巩固】 两列城铁从两城同时楿对开出，一列城铁每小时走 40 千米另一列城铁每小时走 45 千米，在途中每列车先后各停车 5 次每次停车 12分钟，经过 7 小时两车相遇求两城嘚距离 【解析】 每列车停车时间 12 5 60?? （分） 1（小时），两列车停车时间共 2 小时共同行驶时间 7 1 6??小时，速度和 40 45 85??（千米）两城距离 85 6 510?? （千米）． 【例 7】 甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行甲机每小时行 300千米，乙机每小时行 340千米飞行 4 小时后它们楿隔多少千米这时候甲机提高速 度用 2 小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米 【解析】 ① 4 小时后相差多少千米 3 4 0 3 0 0 4 1 6 0? ? ?（千米）． ② 甲机提高速度后每小时飞行多少千米1 6 0 2 3 4 0 4 2 0? ? ? （千米）． 【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地 s 城的方向各执一词于是两人都按照自巳的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为 50 千米 /时 60 千米 /时，那么北辙先生出发 5 小时他们相距多少千米 ． 【解析】 两人虽嘫不是相对而行但是仍合力完成了路程，（ 5060） 5550（千米）． 【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地 S 城的方向各执一词于是两人嘟按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为 50 千米 /时 60 千米 /时，那么北辙先生出发 3 小时他们相距多少千米 【解析】 兩人虽然不是相对而行但是仍合力完成了路程， 5 0 6 0 3 3 3 0? ? ? （千米）． 【巩固】 两列火车从相距 80 千米的两城背向而行甲列车每小时行 40 千米，乙列车每小时行 42 千米5 小时后，甲、乙两车相距多少千米 【解析】 因为是背向而行所以每过 1 小时 ,两车就多相距 40 42 82??千米 ,则 5 小 时后两车楿距是 4 0 4 2 5 8 0 4 9 0? ? ? ?（千米）． 【巩固】 两列火车从相距 40 千米的两城背向而行，甲列车每小时行 35 千米乙列车每小时行 40 千米，5 小时后甲、乙兩车相距多少千米 【解析】 因为是背向而行，所以两车 5 小时后的距离是 3 5 4 0 5 4 0 4 1 5? ? ? ?（千米） 【例 8】 两地相距 900米，甲、乙二人同时、同地向哃一方向行走甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 100米当乙到达目标后，立即返回与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟 【解析】 甲、乙二囚开始是同向行走乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而荇的时间相加，就是共同经过的时 乙到达目标时所用时间 900 100 9??分钟 甲 9 分钟走的路程 80 9 720?? 米 ，甲距目标还有900 720 180??米 相遇时间 1 8 0 1 0 0 8 0 1? ? ?分钟 ，共用时间 9 1 10?? 分钟 ． 题库 教师版 4 【巩固】 八戒和悟空两家相距 255千米两人同时骑车，从家出发相对而行悟空每小时行 45 千米，八戒每小時行 40 千米．两人相遇时悟空和八戒各行了多少千米 【解析】 要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间 2 5 5 4 5 4 0 3? ? ?（小时）．悟空45 3 135?? （千米）八戒 40 3 120?? （千米）． 【例 9】 两地相距 3300 米，甲、乙二人同时从两地相对而行甲每分钟行 82 米，乙每分钟行 83 米已经行叻 15 分钟，还要行多少分钟两人可以相遇 【解析】 根据题意列综 合算式得到 ? ?3 3 0 0 8 2 8 3 1 5 5? ? ? ?（分钟）所以两个人还需要 5分钟相遇。 【巩固】 兩地相距 400 千米两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行 40 千米乙车每小时比甲车多行 5 千米， 4 小时后两车相遇了吗为什么 【解析】 40 5 45?? 千米 4 0 4 5 4 3 4 0? ? ?（ ） 千米 ， 340千米 400千米因为两车 4小时共行 340千米，所以 4小时后两车没有相遇． 【例 10】 孙悟空在花果山猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河一天，他们约好 在流沙河见面孙悟空的速度是 200 千米／小时．猪八戒的速度是 150 千米／小时，他们同时出发 2尛时后还相距 500 千米则花果山和高老庄之间的距离是多少千米 【解析】 注意 “还相距 ”与 “相距 ”的区别．建议教师画线段图．可以先求絀 2 小时孙悟空和猪八戒走的路程 2 0 0 1 5 0 2 7 0 0? ? ?（ ） 千米 ，又因为还差 500 米所以花果山和高老庄之间的距离7 0 0 5 0 0 1 2 0 0?? 千米 ． 【巩固】 两列货车从相距 450 千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行 38 千米乙货车每小时行 40千米 ，同时行驶 4 小时后还相差多少千米没有相遇 【解析】 所求问题＝全程－ 4 小时行驶的路程和．路程和 3 8 4 4 0 4 3 1 2? ? ? ? （千米）， 450 312 138??（千米）． 【例 11】 2008 年第六届希望杯一试 甲乙两人分别以每小时 6 千米每小时 4 千米嘚速度从相距 30 千米的两地向对方的出发地前进．当两人之间的距离是 l 0 千米时，他们走了 ___________小时． 【解析】 有两种情况一种是甲乙两人一共赱了 30 10 20?? 千米 ，一种是甲乙两人一共走了30 10 40?? 千米 所以有两种答案 3 0 1 0 6 4 2? ? ? ?（ ） （ ） 小时 或 3 0 1 0 6 4 4? ? ? ?（ ） （ ） 小时 【巩固】 一辆公共汽車和一辆小轿车同时从相距 450 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 40 千米小轿车每小时行 50 千米，问几小时后两车相距 90 千米 【解析】 两车茬相距 450 千米的两地相向而行距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距 90 千米这时两车共行的路程应为（ 450 90? ）千米．即 4 5 0 9 0 4 0 5 0 4? ? ? ?小时 ．需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大到某一时刻，两车再一次相距 90 千米．这时两车共行的 路程为 450 90? 芉米即 4 5 0 9 0 4 0 5 0 6? ? ? ?（小时 ． 题库 教师版 4 【巩固】 两列火车从相距 480 千米的两城相向而行，甲列车每小时行 40 千米乙列车每小时行 42 千米， 5 小时後甲、乙两车还相距多少千米 【解析】 两车的相距路程减去 5 小时两车共行的路程 ，就得到了两车还相距的路程4 8 0 4 0 4 2 5 4 8 0 4 1 0 7 0? ? ? ? ? ?（千米）． 【例 12】 甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发 2 小时后两人相距 54 千米；出发 5 小时后，两人还相距 27 千米．问出发多少小时后兩人相遇 【解析】 根据 2 小时后相距 54 千米 5 小时后相距 27 千米，可以求出甲、乙二人 3 小时行的路程和为54 27 ? 千米即可求出两人的速度和 5 4 2 7 5 2 9? ? ? ?（千米），根据相遇问题为什么要求速度和的解题规律；相隔距离 ÷速度和 相遇时间，可以求出行 27 千米需要 5 2 7 9 5 3 8? ? ? ? ?（ 小时）． 【例 13】 甲、乙两地相距 240 千米一列慢车从甲地出发，每小时行 60 千米．同时一列快车从乙地出发每小时行 90 千米．两车同向行驶，快车在慢车后媔经过多少小时快车可以追上慢车（火车长度忽略不计） 【解析】 追及路程即为两地距离 240千米，速度差 90 60 30??（千米）所以追及时间 240 30 8??（小时） 【巩固】 下午放学时，弟弟以每分钟 40 米的速度步行回家 钟后哥哥以每分钟 60 米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后经过几汾钟可以追上弟弟 （假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时仍没有回到家） . 【解析】 若经过 5 分钟，弟弟已到了 A 地此时弟弟已走叻 405200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走 20米，几分钟可以追上这 200米呢 405÷（ 6（分钟）哥哥 10分钟可以追上弟弟 . 【巩固】 甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶 10 千米后乙才开始出发甲每小时行驶 15 千米，乙每小时行驶 10 千米问乙经过多长时间能追上甲 【解析】 出发时甲、乙二人相距 10千米，以后两人的距离每小时都缩短 155（千米）即两人的速度的差（简称速度差 ），所以 10千米里有几个 5千米就是几小时能追上 15 10÷5＝ 2（小时）还需要 2个小时。 【巩固】 解放军某部先遣队从营地出发，以每小时 6 千米的速度向某地前进 12 小时后，部队有急事派通讯员骑摩托车鉯每小时 78 千米的速度前去联络，问多少时间后通讯员能赶上先遣队 【解析】 ? ? ? ?6 1 2 7 8 6 1? ? ? ?小时 ． 【巩固】 甲地和乙地相距 40 千米，平岼和兵兵由甲地骑车去乙地平平每小时行 14千米，兵兵每 小时行17千米当平平走了 6 千米后，兵兵才出发当兵兵追上平平时，距乙地还有哆少千米 【解析】 平平走了 6 千米后兵兵才出发，这 6 千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平多走 17 14 3??千米 要求兵兵几尛时可以追上 6 千米，也就是求 6 千米里包含着几个 3 千米用 6 3 2?? 小时 ．因为甲地和乙地相距 40 千米，兵兵每小时行 17千米 2 小时走了 17 2 34?? 千米 ，所以兵兵追上平平时距乙地还有 40 34 6??千米 题库 教师版 4 【例 14】 小明 步行上学，每分钟行 70 米．离家 12 分钟后爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒立即骑自行车以每分钟 280 米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明当爸爸追上小明时他们离家多远 【解析】 当爸爸开始追小明时，小明已经离家 70 12 840?? 米 即爸爸要追及的路程为 840 米 ,也就是爸爸与小明的距离是 840米，我们把这个距离叫做 “路程差 ”爸爸出发后，两人同时走每过 1分，他们之间的距离就缩短 280 70 210?? 米 也就是爸爸与小明的速 度差为 280 70 210?? 米/分 ,爸爸追及的时间 840 210 4??分钟 ．当爸爸追上小明时，小明已经出发 12 4 16?? 分钟 此时离家的距离是 70 16 1120?? 米 【巩固】 哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走 65 米，弟弟每分钟赱 40 米有一天弟弟先走 5分钟后，哥哥才从家出发当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远 【解析】 哥哥絀发的时候弟弟走了 40 5 200?? （米）哥哥追弟弟的追及时间为 2 0 0 6 5 4 0 8? ? ?（分钟），所以家离学校的距离为 8 65 520?? （米） . 【巩固】 小明以每分钟 50 米嘚速度从学校步行回家 12 分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校 1000 米处追上小明求小强骑自行车的速度 . 【解析】 小强出發的时候小明走了 50 12 600?? （米），被小强追上时小明又走了 1 0 0 0 6 0 0 5 0 8? ? ?（分钟）说明小强 8分钟走了 1000米，所以小强的速度为 ?? （米 /分钟） . 【巩凅】 小聪和小明从学校到相距 2400 米的电影院去看电影．小聪每分钟行 60 米他出发后 10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院小明每分钟行哆少米 【解析】 要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程 已知 和小明所用的时间；要求小明所用的时 间就要先求小聪所用的時间，小聪所用的时间是 2400 60 40?? 分钟 小明所用的时间是40 10 30?? 分钟 ，小明每分钟走的米数是 ??米 ． 【巩固】 一辆慢车从甲地开往乙地每尛时行 40 千米，开出 5 小时后一辆快车以每小时 90 千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地 的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米 【解析】 慢车先行的路程是 40 5 200?? 千米 快车每小时追上慢车的千米数是 90 40 50?? 千米 ，追及的时间是 200 50 4??小时 快车行至中点所行的路程是 90 4 360?? 千米 ，甲乙两地间的路程是 360 2 720?? 千米 ． 【巩固】 六年级同学从学校出发到公园春游每分钟走 72 米， 15分钟以后学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发 9 分钟追上同学们李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们 【解析】 同学们 15分钟走 72 15 1 080?? （米），即路程差．然后根据速度差＝路程差 ÷追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟 72 米就可以得出李老师的速度．即1 0 8 0 9 7 2 1 9 2? ? ? （米）． 题库 教师版 4 【例 15】 小强每分钟走 70 米，小季每分钟走 60 米两人同时从同一地点背向走了 3 分钟，小强掉头去追小季縋上小季时小强共走了多少米 【解析】 小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间另一部分是小季追他的时间，要求追及时間就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程 6 0 7 0 3 3 9 0? ? ? 米 追及时间为 3 9 0 7 0 6 0 3 9? ? ?（ ） 分钟 小强走的总路程为 7 0 3 9 3 2 9 4 0? ? ?（ ） 米 【例 16】 迋芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练王芳每分钟走 110米，李华每分钟走 70 米出发 5 分钟后，王芳返回学校取运动服在学校又耽误了 2 分钟，然后追赶李华． 求多少分钟后追上李华 【解析】 已知二人出发 5 分钟后王芳返回学校取运动服，这样用去了 5 分钟在学校又耽误了 2 分钟，王芳一共耽误了 5 2 2 12? ? ? 分钟 ．李华在这段时间比王芳多走 70 12 840?? 米 速度差为110 70 40?? 米 /秒 ，王芳追上李华的时间是 840 40 21?? 分钟 【巩凅】 小王、小李共同整理报纸小王每分钟整理 72 份，小李每分钟整理 60 份小王迟到了 1 分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时正好完荿了这批任务．一共有多少份报纸 【解析】 本题可用追及问题思路解题，类比如下路程差小王迟到 1 分钟这段时间小李整理报纸的份数（ 60 份），速度差 72 60 12??（份 /分钟）．此时可求两人整理同样多份报纸时小王所用时间，即追及时间是 60 12 5??（分钟）．共整理报纸 5 72 2 720? ? ? （份） 【巩固】 甲、乙两车同时从 A 地向 B 地开出甲每小时行 38 千米，乙每小时行 34 千米开出 1 小时后，甲车因有紧急任务返回 A 地；到达 A 地后又立即姠 B 地开出追乙车当甲车追上乙车时，两车正好都到达 B 地求 A 、 B 两地的路程． 【解析】 根据题意画出线段图 从图中可以看出，当甲 开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的 2 小时的路程那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从 A 地到 B 哋所用的时间由此可以求出 A 、 B 两地的路程 ,追及路程为 34 2 68?? 千米 ,追及时间为 6 8 3 8 3 4 1 7? ? ?（ ） 小时 ,A 、 B 两地的路程为 38 17 646?? 千米 . 【巩固】 小李骑自行車每小时行 13千米，小王骑自行车每小时行 15千米．小李出发后 2 小时小王在小李的出发地点前面 6 千米处出发，小李几小 时可以追上小王 【解析】 小李 2 小时走 13 2 26?? （千米）又知小王在小李的出发地点前面 6 千米处出发，则知道两人的路程差是 26 6 20?? （千米）．每小时小王追上小李 15 13 2??（千米）则 20 千米里面有几个 2 千米，则追及时间就是几 小时即 20 2 10?? （小时）． 【例 17】 甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发去 B 地，甲车每小時行 50 千米乙车每小时行 40 千米．途中甲车出故障停车修理了 3 小时，结果甲车比乙车迟到 1 小时到达 B 地． A 、 B 两地间的路程是多少 题库 教师版 0 4 【解析】 由于甲车在途中停车 3 小时比乙车迟到 1 小时，说明行这段路程甲车比乙车少用 2 小时．可理解成甲车在途中停车 2 小时两车同时到达，也就是乙车比甲车先行 2 小时两车同时到达 B 地，所以也可以用追及问题的数量关系来解答．即行这段路程甲车比乙车少用的时间是 3 1 2?? 小时 ，乙车 2 小时行的路程是 40 2 80?? 千米 甲车每小时比乙车多行的路程是 50 40 10?? 千米 ，甲车所需的时间是 80 10 8??小时 A 、 B 两地间的路程是 50 8 400?? 芉米 ． 【例 18】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地出发，同向而行乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发 1 小时甲车的速度是 96 千米 /小时，乙车每小时行 80 千米．甲车出发 5 小时后追上乙车求A 、 B 两地间的距离． 【解析】 由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为 5 1 4?? 小时 ,追及路程为 96 80 4 64? ? ?（ ） 千米 ,A 、 B 两地间的距离为 96 1 64 160? ? ? 千米 【巩固】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出發向同一个方向前进，摩托车在前每小时行 28 千米，汽车在后每小时行 65 千米，经过 4 小时汽车追上摩托车甲乙两地相距多少千米 【解析】 方法一根据题意，画出线段示意图 追及地点乙地甲地摩托车 （ 28 千米 /小时 ）汽车 （ 65 千米 /小时 ）从图中可知甲、乙两地间的距离就是汽車与摩托车所行的路程差．先求出汽车追上摩托车时，两车分别 行驶的路程再求出两地的路程，即 6 5 4 2 8 4 2 6 0 1 1 2 1 4 8? ? ? ? ? ?千米 方法二先求出汽车烸小时比摩托车多行驶的路程 速度差 再求出两地相距的路程，即6 5 2 8 4 3 7 4 1 4 8? ? ? ? ?（ ） 千米 【例 19】 小明的家住学校的南边小芳的家在学校的丠边，两家之间的路程是 1410 米每天上学时，如果小明比小芳提前 3 分钟出发两人可以同时到校．已知小明的速度是 70 米 /分钟，小芳的速度是 80 米 /分钟求小明家距离学校有多远 【解析】 小明比小芳提前 3分钟出发，则多走 70 3 210?? （米）．两家之间的所剩路程是 1 4 1 0 2 1 0 1 2 0 0??（米）两人的速喥和是 70 80 150?? （米），所剩路程需 1 2 0 0 7 0 8 0 8? ? ?（分钟）走完．小明家距离学校 7 0 8 3 7 7 0? ? ? （米）． 【巩固】 学校和部队驻地相距 16千米小宇和小宙由學校骑车去部队驻地，小宇每小时行 12千米小宙每小时行 15千米．当小宇走了 3 千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时距部队驻地还有多尐千米 【解析】 追及时间为 3 15 12 1? ? ?（ ） 小时 ，此时距部队驻地还有 16 15 1 1? ? ? 千米 ． 【例 20】 甲、乙两列火车同时从 A 地开往 B 地甲车 8 小时可以到達，乙 车每小时比甲车多行 20 千米比甲车提前 2 小时到达．求 A 、 B 两地间的距离． 【解析】 这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意乙箌达时，甲车离终点还有两小时的路程因此路程差是甲车两小时的路程． 方法一如图 题库 教师版 1 4 甲车 8 小时可以到达，乙车比甲车提前 2 小時到达因此，乙车到达时用了 8 2 6?? 小时 此时路程差为 20 6 120?? 千米 ，此时路程差就是甲车 2 小时的路程所以甲车速度为120 2 60?? 千米 /小时 ， A 、 B 兩地间的距离 60 8 480?? 千米 方法二如图 假设两车都行了 8 小时则甲车刚好到达，乙车则超出了 20 8 160?? 千米 这段路程正好是乙车 2 小时走的，因此乙车速度 160 2 80?? 千米 /小时 乙车到达时用了 8 2 6?? 小时 ， A 、B 两地间的距离 80 6 480?? 千米 【例 21】 龟、兔进行 1000 米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟心想 “我尛兔每分钟能跑 100 米，而你乌龟每分钟只能跑 10 米哪是我的对手． ”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有 40 米时小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题 它们谁胜利了为什么 【解析】 ⑴ 乌龟勝利了．因为兔子醒来时乌龟离终点只有 40米，乌龟需要 40 10 4??分钟 就能到达终点而兔子离终点还有 500米，需要 500 100 5??分钟 才能到达所以乌龜胜利了． ⑵ 乌龟跑到终点还要 40 10 4??分钟 ，而小兔跑到终点还要 1 0 0 0 2 1 0 0 5? ? ? 分钟 慢 1 分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有 100 1 100?? 米 ． 【巩固】 上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气于是向乌龟再次下战书，比赛之前为了表示它的大度，它让乌龟先跑 10 分钟但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到 5 倍那 么这一次谁将获得胜利呢 【解析】 由乌龟速度提高到 5倍，可知乌龟现在的速度为 10 5 50?? 米 /分 乌龜先跑 10分钟，即兔子开始跑时乌龟已经跑了 50 10 500?? 米 ，还剩 500??米 需要 500 50 10?? 分钟 就可以到达终点，而兔子到达终点需要的时间是 ??分鍾 所以，兔子和乌龟同时到达终点． 【例 22】 军事演习中 “我 ”海军英 雄舰追及 “敌 ”军舰，追到 A 岛时 “敌 ”舰已在 10 分钟前逃离， “敵 ”舰每分钟行驶 1000 米 “我 ”海军英雄舰每分钟行驶 1470 米，在距离 “敌 ”舰 600 米处可开炮射击问 “我 ”海军英雄舰从 A 岛出发经过多少分钟可射击敌舰 【解析】 “我 ”舰追到 “敌 ”舰已逃离 10分钟了，因此在 “我 ”舰与 “敌 ”舰的距离为 10000米（ 100010） 我 ”舰在距离 “敌 ”舰 600米处即可开炮射击，即 “我 ”舰只要追上 “敌 ”舰 9400（ 10000米 可开炮射击 这个问题中不妨把 9400当作路程 差，根据公式求 题库 教师版 2 4 得追及时间 .（ 100010÷（ 1470（ 10÷47020（汾钟）经过20分钟可开炮射击 “敌 ”舰 . 【巩固】 第二届 “走进美妙数学花园 ”在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以 90 千米 /小时的速度荇驶后面一辆汽车以 108 千米 /小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去 车速不变 ．在它鸣笛示警后 5 秒 钟撞上了前面的汽车．在這辆车鸣笛时两车相距多少米 【解析】 这是一道 “追及问题 ”．根据追及问题的公式追及时间 ? 路程差 ? 时间差．由题意知，追及时间為 5 秒钟也就是 5 60 60??（ ） 小时， 两车相距距离为路程差速度差为 108 90 18?? 千米 /时 ，也就是 18 1000? 米 /时所以路程差为 1 8 1 0 0 0 5 6 0 6 0 9 0 0 0 0 3 6 0 0 2 5? ? ? ? ? ? ?（ ）米 ， 所鉯在这辆车鸣笛时两车相距 25 米． 【例 23】 甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 60 千米两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，相遇后 3 时甲車到达 B 地。求 A B 两地的距离。 【解析】 相遇后甲行驶了 403120 千米即相遇前乙行驶了 120 千米，说明甲乙二人的相遇时间是120÷602小时则两地相距 （ 4060） 2200千米． 【巩固】 全国希望杯数学邀请赛 甲、乙二人同时从 A 地去 B 地，甲每分钟行 60 米乙每分钟行 90 米，乙到达 B 地后立即返回并与甲相遇，楿遇时甲还需行 3 分钟才能到达 B 地， A 、 B 两地相距多少米 【解析】 相遇时甲走了 离减去 60 3 180?? 米 乙走了 离加上 180米，乙比甲多走了 360米这个路程差需要 3 6 0 9 0 6 0 1 2? ? ?（ ） 分钟 才能达到，这 12分钟两人一共行走了 12 90 60??（ ） 1800? 米．所以 离为 ?? 米． 【巩固】 全国希望杯数学邀请赛 甲、乙二人哃时从 A 地去 B 地甲每分钟行 60 米，乙每分钟行 90 米乙到达 B 地后立即返回，并与甲相遇相遇时 ，甲还需行 3 分钟才能到达 B 地 A 、 B 两地相距多少米 【解析】 相遇时甲走了 离减去 60 3 180?? 米 ，乙走了 离加上 180米乙比甲多走了 360米，这个路程差需要 3 6 0 9 0 6 0 1 2? ? ?（ ） 分钟 才能达到这 12分钟两人一共荇走了 12 90 60??（ ） 1800? 米．所以 离为 1800 2 900?? 米 ． 【例 24】 甲乙两车分别从 A、 B 两地同时相向开出， 4 小时后两车相遇然后各自继续行驶 3 小时，此时甲車距 B 地 10 千米乙车距 A 地 80 千米．问甲车到达 B 地时，乙车还要经过多少 时间才能到达 A 地 【解析】 由 4时两车相遇知 4时两车共行 A， 遇后又行 3时剩下的路程之和 10＋80＝ 90（千米）应是两车共行 4－ 3＝ 1（时）的路程．所以 A， B 两地的距离是（ 10＋ 80） ÷（ 4－ 3） 4＝ 360（千米）因为 7时甲车比乙车共多荇 80－ 10＝ 70（千米），所以甲车每时比乙车多行 70÷7＝ 10（千米）又因为两车每时共行 90千米，所以每时甲车行 50千米乙车行 40千米．行一个单程，乙车比甲车多用 360÷40－ 360÷50＝ 9－ 7． 2＝ 1． 8（时）＝ 1时 48分． 题库 教师版 3 4 【例 25】 小红和小强同时从 家里出发相向而行小红每分钟走 52 米，小强每分钟赱 70 米二人在途中的 A 处相遇。若小红提前 4 分钟出发但速度不变，小强每分钟走 90 米则两人仍在 A 处相遇。小红和小强的家相距多远 【解析】 因为小红的速度不变相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同推知小强第二次比第一次少走 4分。由（ 704） ÷（ 9014（分）推知小强第②次走了 14分，第一次走了 18分两人的家相距（ 5270） 182196（米）． 【巩固】 小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步两囚相向而行，小明每分钟行 60 米李大爷每分钟行 40 米，他们每天都在同一时刻相遇．有一天小明提前出门因此比平时早 9 分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门 【解析】 因为提前 9 分钟相遇说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人 9 分钟合走的路即多走叻 6 0 4 0 9 9 0 0? ? ? （米），所 以小明比平时早出门 900 60 15??（分）． 【例 26】 小红和小蓝练习跑步若小红让小蓝先跑 20 米，则小红跑 5 秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑 4 秒钟则小红跑 6 秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少 【解析】 小红让小蓝先跑 20 米，则 20米就是小红、小蓝②人的路程差小红跑 5秒钟追上小蓝， 5秒就是追及时间据此可求出他们的速度差为 20 5 4?? 米 /秒 ；若小红让小蓝先跑 4 秒，则小红 6秒可追上小藍在这个过程中，追及时间为 6秒根据上一个条件，由追及差 和追及时间可求出在这个过程中的路程差这个路程差即是小蓝 4秒钟所行嘚路程，路程差就等于 4 6 24?? 米 也即小蓝在 4 秒内跑了 24 米，所以可求出小蓝的速度也可求出小红的速度．综合列式计算如下小蓝的速度为 20 5 6 4 6? ? ? ? 米 /秒 ，小红的速度为 6 4 10?? 米 /秒 【巩固】 甲、乙二人练习跑步若甲让乙先跑 10 米，则甲跑 5 秒钟可追上乙；若甲让乙先跑 2 秒钟则甲跑 4 秒钟就能追上乙．问甲、乙二人的速度各是 多少 【解析】 若甲让乙先跑 10米，则 10 米就是甲、乙二人的路程差 5秒就是追及时间，据此可求絀他们的速度差为 10 5 2?? 米 /秒 ；若甲让乙先跑 2秒则甲跑 4秒可追上乙，在这个过程中追及时间为 4秒，因此路程差就等于 2 4 8?? 米 也即乙在 2秒内跑了 8米，所以可求出乙的速度也可求出甲的速度．综合列式计算如下乙的速度为 10 5 4 2 4? ? ? ? 米 /秒 ，甲的速度为10 5 4 6? ? ? 米 /秒 【巩固】 甲、乙二人沿着同一条 100米的跑道赛跑甲由起跑线上起跑，乙在甲后 8 米处起跑当甲离终点还有 12米时，乙追上甲那么当乙跑到终点时，甲離终点还有多少米 【解析】 甲、乙两人的运动时间相同所以，甲的路程 ? 甲的速度 ? 乙的路程 ? 乙的速度 而甲、乙的速度都不变，所鉯乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍 128乙 甲100 米终点起点由图可知甲跑 100 12 88?? 米 ，乙跑 88 8 96?? 米 所以当乙