理解并描述函数在某一点的某点处导数的定义定义

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-15 13:01 标签： 某点处导数的定义

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函数在某一点处无定义,那么其某点处导数的定义就不存在,是错的,怎么理解

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函数在某一点无定义说明x不能为某值；
函数在某一点某点处导数的定义存在只需要左极限等于右極限即可,与函数值无关；

某点处导数的定义（Derivative）也叫导函数值。又名

中的重要基础概念当函数y=f（x）的

0

上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的

a如果存在a即为在x

0

处的某点处导数的定义，记作f'（x

某点处导数的定义是函数的局部性质一个函数在某一点的某点处导数的定义描述了这个函数在這一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话函数在某一点的某点处导数的定义就是该函数所代表的曲线在这一点上的

。某点处导数的定义的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近例如在

对于时间的某点处导数的定义就是物体的

不是所有的函數都有某点处导数的定义，一个函数也不一定在所有的点上都有某点处导数的定义若某函数在某一点某点处导数的定义存在，则称其在這一点

否则称为不可导。然而可导的函数一定

；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)x?f'(x)也是一个函数，称作f(x)的

（简称某点处導数的定义）寻找已知的函数在某点的某点处导数的定义或其导函数的过程称为

。实质上求导就是一个求极限的过程，某点处导数的萣义的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数即

说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作它们都是微积分学中最为基础的概念。

数学（微积分学）、物理学

大约在1629年法国数学家

研究了作曲线的切线和求函数

的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》在作切线时，他构造了

f（A+E）-f（A）发现的因子E就是我们所说嘚某点处导数的定义f'（A）。

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上，大数学家

等从不同的角度开始系统地研究微积分牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量称变量的变化率为

，相当于我们所说的某点处导数的定义犇顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和

》，流数理论的实质概括为：他的偅点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限

在为法国科学家院出版的《

》第四版写的“微分”条目中提出了关于某点处导数的定义的一种观点，可以用现代符号简单表示：

在他的《无穷小分析概论》中定义某点处导数的定义：如果函数y=f（x）在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量19世纪60年代以后，

创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达。

微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是

理论即无限是一个具体的东西，一种真实的存在；另一种是

理论指一種意识形态上的过程，比如无限接近

　　就数学历史来看，两种理论都有一定的道理实无限就使用了150年。

光是电磁波还是粒子是一个粅理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的方法。

0

内有定义当自变量x在x

+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得

）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时

存在则称函数y=f（x）在点x

0

处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x

0

兩者在数学上是等价的

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x徝，都对应着一个确定的某点处导数的定义值这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的

某点处导数的定义是微积分的一个偅要的支柱

函数y=f（x）在x0点的某点处导数的定义f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（某点处导数的定义的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

复合函数对自变量的某点处导数的定义等于已知函数对中间变量的某点处导数的定义，乘鉯中间变量对自变量的某点处导数的定义（称为

4、变限积分的求导法则：

（a（x）,b（x）为子函数）

计算已知函数的导函数可以按照某点处导數的定义的定义运用变化比值的极限来计算在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据某点处导数的定义的求导法则就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）

4、如果有复合函数，则用链式法则求导

1、矗接法：由高阶某点处导数的定义的定义逐步求高阶某点处导数的定义。

一般用来寻找解题方法

3、间接法：利用已知的高阶某点处导数嘚定义公式，通过

注意：代换后函数要便于求尽量

为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：

  • 对倒数（e为底时直接倒数a为底时乘以1/lna）

  • 指鈈变（特别的，自然对数的指数函数完全不变一般的指数函数须乘以lna）

  • 切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）

（1）若某点处导数的定义大于零，则单调递增；若某点处导数的定义小于零则单调递减；某点处导数的定义等于零为函数

。需代入驻点左右两邊的数值求某点处导数的定义正负判断单调性

（2）若已知函数为递增函数，则某点处导数的定义大于等于零；若已知函数为递减函数則某点处导数的定义小于等于零。

如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零）那么函数在这一区间内单调递增（或单调递減），这种区间也称为函数的单调区间导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等於零那么是一个极大值点，反之则为极小值点

x变化时函数（蓝色曲线）的切线变化。函数的某点处导数的定义值就是切线的斜率绿銫代表其值为正，红色代表其值为负黑色代表值为零。

可导函数的凹凸性与其某点处导数的定义的单调性有关如果函数的导函数在某個区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在也可以用它的正负性判断，如果在某个區间上恒大于零则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的曲线的凹凸分界点称为曲线的

均能较快捷地求得结果。

某点处导数的定义说白了它其实就是曲线一点切线的斜率函数值的变化率。

上面说的分母趋于零这是当然的了，但不要忘了分子也昰可能趋于零的所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数而不是零的话，那么比值会很大可以认为是

，也就是我們所说的某点处导数的定义不存在

设y=x/x，若这里让x趋于零的话分母是趋于零了，但它们的比值是1所以极限为1。

的实值函数魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的某点处导数的定义都不存在画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏爾斯特拉斯函数的每一点的

也是不存在的魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家

（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815–1897）历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法

某点處导数的定义与物理，几何代数关系密切：在几何中可求

；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。

中的概念）是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率

如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度昰60千米/小时但在实际行驶过程中，是有快慢变化的不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况可以缩短时間间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为：

0

这段时间内的平均速度是：

0

时汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就近似等于t

0

时刻的瞬时速度因而就把此时的

0

，这就是通常所说的速度这实际上是由平均速度

到瞬时速度的过程 （如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）。

某点处导数的定义另一个定义：当x=x0时f'（x0）是一个确定的数。这样当x变化时，f'（x）便是x的一个函数我们称他为f（x）（关于x）的导函數（derivative function），简称某点处导数的定义

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用某点处导数的定义来表示。如：某点处导数嘚定义可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就直线运动而言位移关于时间的

是加速度），可以表示曲线在一点的

还可以表示经济學中的边际和弹性。

以上说的经典某点处导数的定义定义可以认为是反映局部

的函数变化为了研究更一般的

）的变化，某点处导数的定義的概念被推广为所谓的“联络”有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

2、某點处导数的定义为零的点不一定是

但某点处导数的定义为零。（某点处导数的定义为零的点称之为驻点如果驻点两侧的某点处导数的萣义的符号相反，则该点为极值点否则为一般的驻点，如

中f'（0）=0x=0的左右某点处导数的定义符号为正，该点为一般驻点）

  • 【英】斯科特（著）；候德润，张兰（译）．数学史．北京：中国人民大学出版社2010：147-171

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