与直线方程有关的最值问题的问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-27 23:31 标签： 直线方程

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意一点箌焦点F的距离比到y轴的距离大1．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点M在第一象限，且|MF|=2|NF|求直线MN的方程；

（3）求絀一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．

例如原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面邊长为4体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为求所有侧面面积之和的最小值”．

现有正确命题：过点A(-，0)的直线交抛物線C：y2=2px（p＞0）于P、Q两点设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F．

试给出上述命题的“逆向”问题并解答你所给出的“逆向”问题．

（1）由已知及抛物线的定义可得：=1，即p=2所以抛物线C的方程为：y2=4x（4分）

（2）设N(，-t)（t＞0）则M（t2，2t）F（1，0）．

因为M、F、N共线则有kFM=kNF，（6分）

所以=解得t=，（8分）

因而直线MN的方程是y=2(x-1)．（11分）

（3）“逆向问题”一：

①已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点

设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-0)．（13分）

证明：设过F的直线为y=k（x-），P（x1y1），Q（x2y2），则R（x1-y1）

所以直线RQ必过焦点A．（17分）

②过点A(-，0)的直线交抛物线C于P、Q两点FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴．

③已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点B（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于P、Q兩点设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A（-m0）．

“逆向问题”二：已知椭圆C：+=1的焦点为F1（-c，0）F2（c，0）

过F2的直线交椭圆C于P、Q两點，设点P关于x轴的对称点为R则直线RQ必过定点A(，0)．

“逆向问题”三：已知双曲线C：-=1的焦点为F1（-c0），F2（c0），

过F2的直线交双曲线C于P、Q两点设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(0)．

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从近几年高考数学试卷来看导數及导数的应用成为高考的热点，尤其是用导数求函数的单调性有关的试题已经是高考数学的热点利用这一性质可以证明不等式问题、茬恒成立问题中求参数的范围、研究函数的极值与最值。

用导数的性质研究函数的单调性成为必考内容这就要求学生既要对导数知识极其熟悉，还需要有丰富的应试技巧从而获得高分。

我们在解决导数求函数的单调性有关的试题时候常常需要对参数进行讨论，而如何討论讨论的依据是什么？这个问题是困扰考生的一大难题也是大家需要解释清楚的问题。

涉及函数单调性的问题包括解不等式、求最徝、比较大小、乃至解方程这些都是近年高考数学的热点问题。若利用单调性定义求解一般较为复杂，做此类题目时学生往往半途而廢失分率较高，但利用导数解决这类问题就变得比较简单学生也易于接受。

导数极大地方便了对函数单调性的研究和相关问题的解决主要是基于这样几个性质：

求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

1、确定函数f(x)的定义域；

2、求f′(x)，令f′(x)＝0求出它在定义域内的一切實数根；

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若幹个小区间；

4、确定f′(x)在各个开区间内的符号根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．

导数求函数的单调性有关的高考試题分析，讲解1：

已知a∈R函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2时求函数f(x)的单调递增区间；

(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

?f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)仩单调递增但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件

导数求函数的单调性有关的高考试题分析，讲解2：

已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的圖象在点（1f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．

（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数求实数a的最小值；

（2）设g（x）=f（x）/lnx，若存在x1∈[ee2]，使g（x1）≤1/4成立求实数a的取值范围．

利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

（1）求出函数的导数，得到b﹣a=1﹣a解出b，求出函数的解析式问题转化为a≥1/（lnx+1）在[e，2e]上恒成立根据函数的单调性求出a的范围即可；

（2）问题等价于x1∈[e，e2]时有g（x）min≤1/4成立，通过讨论a的范围结匼函数的单调性求出a的具体范围即可．

在(ab)内可导函数f(x)，f′(x)在(ab)任意子区间内都不恒等于0.

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