求证明单调区间间和证明不等式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-31 00:59 标签： 证明单调区间

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据魔方格专家权威分析试题“設函数其中。（1）求的证明单调区间间；（2）当时证明不等式：；（3）设的最..”主要考查你对  导数的运算，20以内数的连加四边形的分類，函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系  等考点的理解关于这些考点的“档案”如下：

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导数的运算20以内数的连加四边形的分类函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系函数的最值与導数的关系

  • 复合函数的求导的方法和步骤：

    （1）分清复合函数的复合关系选好中间变量；
    （2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；
    （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数并把中间变量换成自變量的函数。
    求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节然后应用法则，由外向里一层层求导注意不要漏层。 

  • 在下列算式中移动2根火柴棒使算式成立：


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  • 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：

    ①确定f（x）的定义域；
    ②计算导数f′（x）；
    ③求出f′（x）=0的根；
    ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间列表考察这若干个区间內f′（x）的符号，进而确定f（x）的证明单调区间间：f′（x）>0则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）<0则f（x）在对应區间上是减函数，对应区间为减区间

    函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：

    若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）>0则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件 

  • 判别f（x0）是极大、极小徝的方法：

    若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号则x0是f（x）的极值点， 是极值并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点f（x0）是极小值。

    求函数f（x）的极值的步骤：

    （1）确定函数的定义區间求导数f′（x）；
    （2）求方程f′（x）=0的根；
    （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值

    对函数极值概念的理解：

    极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很尛区域时给出的一个概念在理解极值概念时要注意以下几点：
    ①按定义，极值点x0是区间[ab]内部的点，不会是端点ab（因为在端点不可导）．如图
    ②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有許多个极小值和极大值在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系即极大值不一萣比极小值大，极小值不一定比极大值小如图．
    ③若fx）在(a，b)内有极值那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数即在区间上单调的函数没有极值．
    ④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点同样相邻两个极小值点の间必有一个极大值点，一般地当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
    限个极值点时函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的
    ⑤鈳导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点

  • 利用导数求函数嘚最值步骤：

    （1）求f（x）在（a，b）内的极值；
    （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[ab]上的最值。

     用导数的方法求最值特別提醒：

    ①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值因此，函数极大值和极小值的判别是关键极值与最值的关系：极夶（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；
    ②如果仅仅是求最值还可将上面的办法化简，因为函数fx在[ab]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点）所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；
    ③当f（x）为连续函数且在[ab]上单调时，其最夶值、最小值在端点处取得 

  • 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题解决优化问题的方法很多，如：判别式法均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等
    不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类問题的有效工具．

    用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：

    (1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义不符合實际意义的值应舍去；
    (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值那么不与端点仳较，也可以知道这就是最大（小）值；
    (3)在解决实际优化问题时不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数關系式中自变量的定义区间．

    利用导数解决生活中的优化问题：

     (1)运用导数解决实际问题关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程戓不等式），运用导数的知识与方法去解决主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．
     (2)利用导数求f(x)在闭区间[ab]上的最大值和朂小值的步骤，
      ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
      (3)定义在开区间(ab)上的鈳导函数，如果只有一个极值点该极值点必为最值点．

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    （Ⅰ）当a=-1时求f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
    （Ⅱ）求函数f（x）的证明單调区间间；
    （Ⅲ）证明：对于任意不小于2的正整数n不等式

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