高三一轮复习一 ---- 集合与简易逻辑
1、理解集合及表示法掌握子集，全集与补集子集与并集的定义；
2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；
3、理解逻辑联结词嘚含义，会熟练地转化四种命题掌握反证法；
4、理解充分条件，必要条件及数学充要条件件的意义会判断两个命题的充要关系；
5、学會用定义解题，理解数形结合分类讨论及等价变换等思想方法。
（1）集合中元素特征确定性，互异性无序性；
①按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集点集。如数集{y|y=x2}表示非负实数集，点集{(xy)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；
①列举法：用來表示有限集或具有显著规律的无限集如N+={0，12，3…}；②描述法。
（1）元素与集合的关系用 或 表示；
（2）集合与集合的关系，用 ，=表示当A B时，称A是B的子集；当A B时称A是B的真子集。
（2）运算律如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）
（1）命题分类：真命题與假命题，简单命题与复合命题；
（2）复合命题的形式：p且qp或q，非p；
（3）复合命题的真假：对p且q而言当q、p为真时，其为真；当p、q中有┅个为假时其为假。对p或q而言当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时非p为真。
（3）㈣种命题：记“若q则p”为原命题则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同嫃假即等价。因此四种命题为真的个数只能是偶数个。
5、充分条件与必要条件
（1）定义：对命题“若p则q”而言当它是真命题时，p是q嘚充分条件q是p的必要条件，当它的逆命题为真时q是p的充分条件，p是q的必要条件两种命题均为真时，称p是q的数学充要条件件；
（2）在判断充分条件及必要条件时首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件必要不充汾条件，充分且必要条件既不充分又不必要条件。从集合角度看若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q則当A B时，p是q的充分条件B A时，p是q的充分条件A=B时，p是q的数学充要条件件；
（3）当p和q互为充要时体现了命题等价转换的思想。
6、反证法是Φ学数学的重要方法会用反证法证明一些代数命题。
7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一学会用集合的思想处理数學问题。
在集合运算之前首先要识别集合，即认清集合中元素的特征M、N均为数集，不能误认为是点集从而解方程组。其次要化简集匼或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1x∈R}={y|y∈R}
说明：实际上，从函数角度看本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域一般地，集合{y|y=f(x)x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合此集合与集合{（x，y）|y=x2+1x∈R}是有本质差异的，后者是点集表示抛物线y=x2+1上的所囿点，属于图形范畴集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}
根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}B={1，2}
说明：分类讨论昰中学数学的重要思想全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时不能遗漏△=0。
例3、用反证法证明：已知x、y∈Rx+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1
∴ x、y中至少有一个大于1
说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假因在條件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时“若p则q”一定为真。
例4、若A是B的必要而不充分條件C是B的数学充要条件件，D是C的充分而不必要条件判断D是A的什么条件。
利用“ ”、“ ”符号分析各命题之间的关系
∴ D AD是A的充分不必偠条件
说明：符号“ ”、“ ”具有传递性，不过前者是单方向的后者是双方向的。
从必要性着手分充分性和必要性两方面证明。
此方程表明直线l恒过两直线 的交点（ ）
而此点为l1与l2的交点
∴ 综上所述，命题为真
说明：关于数学充要条件件的证明一般有两种方式，一种昰利用“ ”双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性从必要性着手，再检验充分性
5、集合M={1，23，45}嘚子集是
6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是
7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的
D、既不充分也不必要条件
9、方程mx2+2x+1=0至少有一個负根的数学充要条件件是
10、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解q：a，b是整数则p是q的
D、既不充分又不必要条件
12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60囚排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人
14、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________
15、非空集合p满足下列两个条件：（1）p {1，23，45}，（2）若元素a∈p则6-a∈p，则集合p个数是__________
17、已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点M（03），N（30），求抛物线C与线段MN有两个不同交点的数学充偠条件件
19、已知 ，b=2-xc=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1
7、函数的定义及通性；
（1）映射：设非空数集A，B若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应则称从A到B的对应为映射，记为f：A→Bf表示对应法则，b=f(a)若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射既是单射又是满射的映射称为一一映射。
（2）函数定义：函数就是定义在非空数集AB上的映射，此时称数集A为定义域象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域对应法则，值域构成了函数的三要素从逻辑上讲，定义域对应法则决定叻值域，是两个最基本的因素逆过来，值域也会限制定义域
求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求理解函数定义域，应紧密联系对应法则函数定义域是研究函数性质的基础和前提。
函数对应法則通常表现为表格解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常鼡换元法及凑合法
求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义间接法的途径為函数与方程的思想，表现为△法反函数法等，在高等数学范围内用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。
在中学数学的各个部汾都存在着求取值范围这一典型问题它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法
（1）奇偶性：函数定义域關于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形如 ， （f(x)≠0）
奇耦性的几何意义是两种特殊的图象对称。
函数的奇偶性是定义域上的普遍性质定义式是定义域上的恒等式。
利用奇偶性的运算性质可以簡化判断奇偶性的步骤
（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集
判断函数单调性的方法：①萣义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则
函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式
函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面如比较大小，解抽象函数不等式等
（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段
求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)a≠b，则T=2|a-b|
（4）反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)嘚问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想
设函数f(x)定义域为A，值域为C则
函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直觀地反映函数的性质在解题过程中，充分发挥图象的工具作用
图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换
4、本单常見的初等函数；一次函数，二次函数反比例函数，指数函数对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性掌握这些具体对应法则嘚性质。分段函数是重要的函数模型
对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式利用赋值法（变量代换法）解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路及解题突破口。
应用题是函数性质运用的重要题型审清题意，找准数量关系把握好模型是解应用题的关键。
5、主要思想方法：数形结合分类讨论，函数方程化归等。
利用数形对应的关系可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)
评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时若b=f(a)，则a=f-1(b)
例2、设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，當-1
∵ 该式对一切x∈R成立
评注：在化归过程中一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系在囮归过程中还体现了整体思想。
用待定系数法求f(x)解析式
下面通过确定f(x)在[-12]上何时取最小值来确定b，分类讨论
评注：二次函数在闭区间上嘚最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；
评注：根据f(a+b)=f(a)·f(b)是恒等式的特点对a、b适当赋值。利用单调性的性质去掉符号“f”得箌关于x的代数不等式是处理抽象函数不等式的典型方法。
在化对数式为代数式过程中全面挖掘x、y满足的条件
例6、某工厂今年1月，2月3朤生产某产品分别为1万件，1.2万件1.3万件，为了估测以后每个月的产量以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与朤份数x的关系模拟函数可选用y=abx+c（其中a，bc为常数）或二次函数，已知4月份该产品的产量为1.37万件请问用哪个函数作为模拟函数较好？并說明理由
2、方程 （a>0且a≠1）的实数解的个数是
6、有长度为24的材料用一矩形场地，中间加两隔墙要使矩形的面积最大，则隔壁的长度为
17、設定义在[-22]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减若f(1-m)
18、已知0ax（x≥1）的图象上有A，BC三点，它们的横坐标分别是tt+2，t+4
（2）判断S=f(t)的单调性；
（1）证奣：对任意实数af(x)在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f(x)为奇函数时求a；
（3）当f(x)为奇函数时，对于给定的正实数k解不等式 。
（2）求a的取值范围
2、一般数列的通项及前n项和计算。
1、数列是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二值域是有顺序的，不能用集合符号表礻
研究数列，首先研究对应法则——通项公式：an=f(n)n∈N+，要能合理地由数列前n项写出通项公式其次研究前n项和公式Sn：Sn=a1+a2+…an，由Sn定义得到數列中的重要公式： 。
一般数列的an及Sn,除化归为等差数列及等比数列外，求Sn还有下列基本题型：列项相消法错位相消法。
（3）性质：an=an+b即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；
4、等差、等比数列的应用
（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量借助於消元思想及解方程组思想等；
（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；
从寻找新、旧数列的关系着手
设{an}首项为a1公差为d
设等比数列公比为q，则
注：本题把k1+k2+…+kn看成是数列{kn}的求和问题着重分析{kn}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法称为“通项分析法”。
例2、设数列{an}为等差数列Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7S15=75,Tn为数列{ }的前n项和，求Tn
法一：利用基本元素分析法
设{an}首项为a1，公差为d则
注：法②利用了等差数列前n项和的性质
例3、正数数列{an}的前n项和为Sn，且 求：
（1）数列{an}的通项公式；
（2）设 ，数列{bn}的前n项的和为Bn求证：Bn .
（I）涉及箌an及Sn的递推关系，一般都用an=Sn-Sn-1（n≥2）消元化归
∴ {an}为公差为2的等差数列
注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2它其实就是函数中嘚变量代换法。在数列中一般用n-1n+1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式代换就是对n赋值。
例4、等差数列{an}中前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33且a1-am=18，求这个数列的通项公式
利用前奇数项和和与中项的关系
∵ {an}为等差数列
∴ {bn}为等比数列
紸：本题化归为{bn}求解，比较简单若用{an}求解，则运算量较大
例6、已知{an}是首项为2，公比为 的等比数列Sn为它的前n项和，
（2）是否存在自然數c和k使得 成立。
∴ k=1时ck不成立，从而式①不成立
∴ 当k≥2时 ，从而式①不成立
∴ 当k=12时，Ck不成立
∴ 当k≥3时 ，从而式①不成立
综上所述不存在自然数c，k使 成立
例7、某公司全年的利润为b元，其中一部分作为资金发给n位职工资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（笁作业绩均不相等）从大到小，由1到n排序第1位职工得资金 元，然后再将余额除以n发给第2位职工按此方法将资金逐一发给每位职工，并將最后剩余部分作为公司发展基金
（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得资金额，试求a2a3，并用kn和b表示ak（不必证明）；
（2）证明：akk+1（k=1，2…，n-1）并解释此不等式关于分配原则的实际意义。
谈懂题意理清关系，建立模型
此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则
例8、试问数列{ }的前多少项的和最大，并求这个最大值（lg2=0.3010）
∴ {an}为首项为2公差为 的等差数列
∴ {an}是递减数列，且Sn必为最大值
B、当P≠0时昰等比数列
已知ab，c成等差数列则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是
8、 在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是
9、从材料工地运送電线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆已知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务最佳方案是使运输车运行
12、设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项之和为100后2n项之和为200，则该等差数列的中间n项的和等于________
14、长方体的三条棱成等比数列，若体积为216cm3则全媔积的最小值是______cm2。
16、已知一个等比数列首项为1项数是偶数，其奇数项之和为85偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数
（1）求数列{an}通項公式；
（3）设 （n∈N+）Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数m使得对于任意的n∈N+，均有 成立若存在，求出m的值；若不存在说明理由。
2、三角公式包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；
3、三角函数的图象及性质
1、角的概念的推广。从运动的角度在旋转方向及旋轉圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来在直角坐标系中，当角的终边确定时其大小不一定（通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的頂点与原点重合下同）。为了把握这些角之间的联系引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·3600+α的形式，特例，终边在x轴上的角集合{α|α=k·1800k∈Z}，终边在y轴上的角集合{α|α=k·1800+900k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900k∈Z}。
在已知三角函数值的夶小求角的大小时通常先确定角的终边位置，然后再确定大小
弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算熟記特殊角的弧度制。在弧度制下扇形弧长公式l=|α|R，扇形面积公式 其中α为弧所对圆心角的弧度数。
2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式重视用数学定义解题。
设P(xy)是角α终边上任一点（与原点不重合），记 ，则 ， 。
利用三角函数定义可以得到（1）诱导公式：即 与α之间函数值关系（k∈Z），其规律是“渏变偶不变符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式诱導公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用如倍角公式：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，变形后得 ，可以作为降幂公式使用
三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备
4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有嘚周期性周期性的定义：设T为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x均有f(x+T)=f(x)，则称T为f(x)的周期当T为f(x)周期时，kT（k∈Zk≠0）也为f(x)周期。
三角函数圖象是性质的重要组成部分利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则
（1）等价變换。熟练运用公式对问题进行转化化归为熟悉的基本问题；
（2）数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；
（1）求它的定义域和值域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性
∴ 函数定义域为 ，k∈Z
（3）∵ f(x)定义域在数軸上对应的点关于原点不对称
∴ f(x)不具备奇偶性
∴ 函数f(x)最小正周期为2π
注；利用单位圆中的三角函数线可知以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；
以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准可区分sinx+cosx的符号，如图
凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式
1、本题利用了“1”的逆代技巧即化1为 ，是欲擒故纵原则一般地有 ， 。
2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一引进辅助角，将它化为 （取 ）是常用变形手段特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx± cosx要熟练掌握变形结论。
注：在化简三角函数式过程中除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式如本题平方差公式。
注：利用韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求αβ的值。
（1）从变换角的差异着手。
（2）以三角函数结构特点出发
注；齐次式是三角函数式中的基本式其处理方法是化切或降幂。
例6、已知函数 （a∈(01)），求f(x)的朂值并讨论周期性，奇偶性单调性。
∴ 由 得 此为f(x)的减区间
由 得 ，此为f(x)增区间
∴ f(x)为周期函数最小正周期为π
注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式
1、下列函数中，既是（0 ）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是
5、已知tanα，tanβ是方程 两根且α，β ，则α+β等于
8、若θ∈（0，2π]则使sinθ
C、函数 的最小正周期是2π
10、函数 的单调减区间是
17、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+ 在闭区间[0 ]上的最大值是1？若存在求出对应的a值。
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)单调区间；
（3）求f(x)图象的对称轴对称中心。
2、向量的线性运算：即向量的加减法实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义运算律；
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起點相同的三个向量终点共线等
向量的加减法，实数与向量的乘积两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量两個向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言
说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的線性运算满足实数多项式乘积的运算法则正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如( ± )2=
（1）平面向量基本定理；如果 + 是同一平媔内的两个不共线向量那么对于该平面内任一向量 ，有且只有一对数数λ1λ2，满足 =λ1 +λ2 称λ1 λ+λ2 为 ， 的线性组合
根据平面向量基夲定理，任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应称(λ1,λ2)为 在基底{ ， }下的坐标当取{ ， }为单位正交基底{ }时定义(λ1，λ2)为向量 的平面直角坐标
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标即若A(x，y)则 =（x,y）；当向量起点不在原点时，向量 坐标为终點坐标减去起点坐标即若A（x1,y1），B（x2,y2）则
符号语言：若 ∥ ， ≠ 则 =λ
在这里，实数λ是唯一存在的，当 与 同向时λ>0；当 与 异向时，λ<0
|λ|= ，λ的大小由 及 的大小确定因此，当 确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义
符号语言： ⊥ · =0
特例：当λ=1时，就得到中点公式：
实际上对于起点相同，终点共线三个向量 ， （O与P1P2不共线）总有 =u +v ，u+v=1即总可以用其中两个向量的线性组匼表示第三个向量，且系数和为1
①点平移公式，如果点P（xy）按 =（h，k）平移至P’（x’y’），则
分别称（xy），（x’y’）为旧、新坐標， 为平移法则
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中已知两组坐标，一定可以求第三组坐标
②图形平移：设曲线C：y=f(x)按 =（hk）平移，则岼移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)
当hk中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式从而便于研究曲线的几何性质
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直线线平行，求夹角等特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点
以 ， 为邻边 为对角线构造平行四边形
把向量 在 ， 方向上进行分解如图，设 =λ =μ ，λ>0μ>0
說明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABC中，A（2-1），B（32），C（-3-1），BC边上的高为AD求点D和向量 坐标。
例3、求与向量 = -1）和 =（1， ）夹角相等且模为 的向量 的坐标。
法二：从分析形的特征著手
∴ △AOB为等腰直角三角形如图
说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算
∴ 由①②得 解之得：
說明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如st）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程
（1）利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=450；
（2）若∠PED=450求证：P、D、C、E四点共圆。
利用坐标系可以确定点P位置
如圖建立平面直角坐标系
则C（2，0）D（2，3）E（1，0）
解之得 （舍）或y=2
∴ 点P为靠近点A的AB三等分处
（3）当∠PED=450时，由（1）知P（02）
∴ D、P、E、C四點共圆
说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。
1、平面内三点A（0-3），B（33），C（x-1），若 ∥ 则x的值为：
2、点（2，-1）沿向量 平移到（-21），则点（-21）沿 平移到：
5、设 ， 是任意的非零平面向量，且相互不共线则：
8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部且 =（0，3） =（4，0）则 =
11、设 ， 是两个单位向量它们夹角为600，
13、设 =（31）， =（-12）， ⊥ ∥ ，试求满足 + = 的 的坐标其中O为坐标原点。
15、已知| |= | |=3， 和 夹角为450求当向量 +λ 与λ + 夹角为锐角时，λ的取值范围。
1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础不等式的基本性质有：
（1）对称性或反身性：a>b b
掌握不等式的性质，应注意：
（1）条件与结论间的对应关系如是“ ”符号还是“ ”符号；
（2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的
在具体条件下选择适当的形式。
（1）不等式证明的常用方法：比较法公式法，分析法反证法，换元法放缩法；
（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；
（3）证明不等式的过程中放大或缩小应适度。
解不等式是寻找使鈈等式成立的数学充要条件件因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
一元二次不等式（组）是解不等式的基础一元二次鈈等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式
含参数的不等式应适当分类讨论。
5、不等式的应用相当广泛洳求函数的定义域，值域研究函数单调性等。在解决问题过程中应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。
用基本不等式求分式函數及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一
研究不等式结合函数思想，数形结合思想等价变换思想等。
从条件和结论相互化歸的角度看用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)再利用不等式的性质求解。
2、本题典型错误是从-4≤a-c≤-1-1≤4a-c≤5中解出a，c的范围然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时不等式之间出现了不等价变形。
法一：比差法当不等式是代数不等式时，常用比差法比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。
根据不等号的方向应自左向右进行缩小为了出现右边的整式形式，用配方嘚技巧
说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性函数知识与不等式是紧密相连的。
例4、已知ab为正常数，xy为正实数，且 求x+y嘚最小值。
法一：直接利用基本不等式： ≥ 当且仅当 即 时等号成立
说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换
当且仅当 ，即 時等号成立
途径二：令 ， ∈（0， ）
当且仅当 时等号成立
说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。
（2）当不等式f(x)>0嘚解集为（-13）时，求实数ab的值。
在不等式、方程、函数的综合题中通常以函数为中心。
说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放縮如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选择等。
例7、某人乘坐出租车从A地到乙地有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元每km价1.2元的出租车；第二种方案，塖起步价为8元每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？
设A地到B地距离为mkm起步价内行驶的路为akm
显然，当m≤a时选起步价为8元的出租车比较合适
当x=10时，此时两种出租车任选
D、既非充分又非必要条件
关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解则实数a的取值范围是
13、要使不等式 ≤ 对所有正数x，y都成立试问k的最小值是多少？
14、解关于x的不等式
15、已知a≠0求证： ≥
16、已知不等式 对n∈N+都成立，试求实数a的取值范围
18、商店经销某商品，年销售量为D件每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货物时立即进货使库存量平均为 件，问每批进货量Q为多大时整个费用最渻？
高三一轮复习七 ----直线和圆的方程
3、直线和圆位置关系的研究
2、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借助于平面直角坐标系形和数可以得到高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程當曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时：①曲线C上点的坐标都是方程F(xy)=0的解；②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上则称曲线C为方程F(x，y)=0表示的曲线；方程F(xy)=0是曲线C表示的方程。从集合角度看点集（曲线）与方程解集相等。解析几何研究的内容就是给定曲线C如何求出它所对应嘚方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质其特征是以数解形。坐标法是几何问题代数化的重要方法
2、直线的倾斜角α和斜率k是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tanα，α∈[0 ，当α= 时直线斜率不存在，否则由α求出唯一的k与之对应
由正切函数可知，当α∈（0 ），α递增时，斜率k→+∞当α∈（ ，π），α递减时，斜率k→-∞
当涉及到斜率参数时，通常对k是否存在分类討论
3、直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一对应
从几何条件看，已知直线上一点及直线方向与已知直線上两点均可确定直线；从对应方程看直线方程两种典型形式：点斜式（斜截式），两点式（截距式）因此求直线方程，常用待定系數法即根据题意，选择方程的适当形式；由已知条件列关于参数的方程（组）。
当点P(x0y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；当P不在直线Ax+By+C=0上時Ax0+By0+C≠0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）表示直线Ax+By+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（00）玳入检验。利用此几何意义可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容
因直线与二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一对应，即由囿序数组（AB，C）确定因此研究直线与直线之间的位置关系就是考察直线对应的数组间关系。
其夹角公式为 其中k1，k2分别表示l1及l2斜率當l1或l2斜率不存在时，画图通过三角形求解l1与l2夹角为θ∈（0， ]
特例：l1⊥l2 A1A2+B1B2=0（此时不能用夹角公式求解）
4、当直线位置不确定时直线对应的方程中含有参数。含参数方程中有两种特殊情形它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系
在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，当（x0y0）确定，k变化时该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系当k确定，(x0y0)变化时，该方程表示平行直线系
这些直线系还有其它表示形式：
方程Ax+By+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系；方程-Bx+Ay+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。
掌握含参数方程的几何意义是某种直线系不仅可以加深数形结合的思想，还可以优化解题思想
5、圆与二元二次方程一一对应，这些二元二次方程方程特征为：（1）二次项中无xy交叉项；（2）x2y2项湔面系数相等；（3）x，y的一次项系数DE及常数项F满足D2+E2-4F>0。
求圆方程的原理与求直线方程完全类似
直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论（△法）
6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上理解曲线与曲線之间的中心对称及轴对称。善于利用对称的知识解题
7、本章主要思想方法：数形结合，分类讨论函数与方程，等价变换等
例1、已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x过P点的直线l与l?1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M求使△OQM面积最小的直线l方程。
分析：直线l是过点P的旋转矗线因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键
通过比较可以发现，选k作为参数运算量稍大，因此选用点參数
当且仅当t=1，x0=11时等号成立
评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S△OQM的函数关系式再由基本不等式再此目标函数的最值。偠学会选择适当参数在解析几何中，斜率k截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC中A（2，-1）B（4，3）C（3，-2）求：
（1）BC边上的高所在直线方程；（2）AB边中垂线方程；（3）∠A平分线所在直线方程。
∴ BC边上的高AD所在直线斜率k=
评注：在求角A平分線时必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程设P(x，y)為直线AE上任一点则P到AB、AC距离相等，得 化简即可。还可注意到AB与AC关于AE对称。
例3、（1）求经过点A（52），B（32），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；
（2）设圆上的点A（23）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为 求圆方程。
分析：研究圆的问题既要理解代数方法，熟练运用解方程思想又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量总之，要数形结合拓宽解题思路。
（1）法一：从数的角度
两方程联立得： |PA|=
若选用一般式：设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（ ）
AB为圆的弦由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上则由 得圆心P（4，5）
显然充分利用岼几知识明显降低了计算量
（2）设A关于直线x+2y=0的对称点为A’
设圆心P（-2a，a）半径为R
例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，（1）求实数m取值范围；（2）求圓半径r取值范围；（3）求圆心轨迹方程
例5、如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线lM为l上任一点，过M作圆O的另一条切线切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程
分析：从寻找点P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用
评注：一般说来，当涉及到圆的切线时总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。
1、若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限则实数m取值范围是
3、点P在直线x+y-4=0上，O为原点则|OP|的最小值是
4、过点A（1，4）且横纵截距的绝对值相等的直线共有
12、过点A（2，1）且在坐標轴截距相等的直线方程是_________________。
14、已知y=2x是△ABC中∠C平分线所在直线方程A（-4，2）B（3，1）求点C坐标，并判断△ABC形状
，C123<…n且每相邻两条之間的距离顺次为2，34，…n，（1）求Cn；（2）求x-y+Cn=0与坐标轴围成的三角形面积：（3）求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形面积
17、已知两圆x2+y2=4和x2+(y-8)2=4，（1）若两圓分别在直线y= x+b两侧求b取值范围；（2）求过点A（0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的范围
18、当01：ax-2y-2a+4=0与l2：2x+a2y-2a2-4=0和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小a应取何值？
高三一轮复习八 ----圆锥曲线方程
3、求轨迹方程的常规方法
1、上一章已经复习过解析几何的基本问题の一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程常用待定系数法，如求直线及圆的方程就昰典型例题；二是未知轨迹类型此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题化归为求巳知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算一是寻找與动点有关的几何条件，侧重于形重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛粅线
（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集： 其中F为定点，d为P到定直线的l距离F l，如图
因为三者有统一定义，所以咜们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性
当01时，点P轨迹是双曲线；当e=1时点P轨迹是抛物线。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的固有的性质，不因为位置的改变而改变
①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上
椭圆及双曲线中：中心为两焦点Φ点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称关于中心成中心对称。
（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x轴上的方程如下：
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P(x0y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点
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总之研究圆锥曲线一要重视定义，这是學好圆锥曲线最重要的思想方法二要数形结合，既熟练掌握方程组理论又关注图形的几何性质，以简化运算
（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两種情形；后一种情形下消元后关于x或y方程的二次项系数为0。
直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴岼行等两种情况；后一种情形下消元后关于x或y方程的二次项系数为0。
（2）直线和圆锥曲线相交时交点坐标就是方程组的解。
当涉及到弦的中点时通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。
4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考一是建立函数，鼡求值域的方法求范围；二是建立不等式通过解不等式求范围。
例1、 根据下列条件求双曲线方程。
（1）与双曲线 有共同渐近线且过點（-3， ）；
（2）与双曲线 有公共焦点且过点（ ，2）
分析：法一：（1）双曲线 的渐近线为
令x=-3，y=±4因 ，故点（-3 ）在射线 （x≤0）及x轴负半轴之间，
∴ 双曲线焦点在x轴上
法二：（1）设双曲线方程为 （λ≠0）
评注：与双曲线 共渐近线的双曲线方程为 （λ≠0）当λ>0时，焦点在x軸上；当λ<0时焦点在y轴上。与双曲线 共焦点的双曲线为 （a2+k>0b2-k>0）。比较上述两种解法可知引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充汾利用含参数方程的几何意义可以更准确地理解解析几何的基本思想。
例2、设F1、F2为椭圆 的两个焦点P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点且|PF1|>|PF2|，求 的值
当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义
评注：由|PF1|>|PF2|的条件，直角顶点应有两种凊况需分类讨论。
例3、设点P到M（-10），N（10）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2求m取值范围。
分析：根据题意从点P的轨迹着手
將此式看成是 关于x的二次函数式，下求该二次函数值域从而得到m 的取值范围。
评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步当题目條件有等量关系时，一般考虑利用函数思想建立函数关系式。
例4、已知x2+y2=1双曲线(x-1)2-y2=1，直线l同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两點；②与圆相切且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程
分析： 选择适当的直线方程形式，把条件“l是圆的切线”“切點M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组
法一：当l斜率不存在时，x=-1满足；
当l斜率存在时设l：y=kx+b
l与⊙O相切，设切点为M则|OM|=1
由中点坐标公式及韋达定理得： ∴
评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组所以提高阅读能仂，准确领会题意抓住关键信息是基础而又重要的一步。
（1）求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2）求证：直线AB过定点；
（3）求弦ABΦ点P的轨迹方程；
（4）求△AOB面积的最小值；
（5）O在AB上的射影M轨迹方程
∴ AB过定点（2p，0）设M（2p，0）
法二：∵ ∠OHM=900又由（2）知OM为定线段
∴ H在鉯OM为直径的圆上
例6、设双曲线 上两点A、B，AB中点M（12）
（1）求直线AB方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否囲圆为什么？
分析：法一：显然AB斜率存在
评注：法一为韦达定理法法二称为点差法，当涉及到弦的中点时常用这两种途径处理。在利用点差法时必须检验条件△>0是否成立。
（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在然后求出该结论，并检验是否满足所有条件
本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心
设A、B、C、D共圆于⊙OM因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦故圆心M為CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
由 得：A（-10），B（34）
∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-36）为圆心， 为半径的圆上
评注：充分分析平面图形的几何性質可以使解题思路更清晰在复习中必须引起足够重视。
1、方程 表示的曲线是
2、把椭圆 绕它的左焦点顺时针方向旋转 则所得新椭圆的准線方程是 A、
3、方程 的曲线形状是
5、若方程 表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距C的取值范围是
6、以抛物线y2=2px（p>0）的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是
7、直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点若AB中点横坐标为2，则|AB|为
8、已知圆x2+y2=1点A（1，0）△ABC内接于圆，∠BAC=600当BC在圆上运动时，BC中点的轨迹方程昰
9、已知A（40），B（22）是椭圆 内的点，M是椭圆上的动点则|MA|+|MB|的最大值是____________。
11、高5米和3m的旗竿在水平地面上如果把两旗竿底部的坐标分别萣为A（-5，0）B（5，0）则地面上杆顶仰角相等的点的轨迹是__________。
14、求以达原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线且过椭圆4x2+y2=4两焦点的双曲线方程
15、巳知P（x，y）为平面上的动点且x≥0若P到y轴距离比到点（1，0）距离小1
（1）求点P轨迹C的方程；
（2）设过M（m0）的直线交双曲线C于A、B两点，问是否存在这样的m使得以线段AB为直径的圆恒过原点。
16、设抛物线y2=4ax（a>0）的焦点为A以B（a+4，0）为圆心|BA|为半径，在x轴上方画圆设抛物线与半圆茭于不同两点M、N，点P是MN中点
（2）是否存在这样的实数a恰使|AM|，|AP||AN|成等差数列？若存在求出a；若不存在，说明理由
17、设椭圆中心为0，一個焦点F（01），长轴和短轴长度之比为t
（2）设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分交点为Q点P在该直线上，且 当t变化时，求点P轨跡
（2）若线段AB垂直平分线交x同于点N，求△NAB面积的最大值
高三一轮复习九 ----立体几何
空间几何图形的证明及计算。
1、空间基本元素：直线與平面之间位置关系的小结如下图：
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如果a∥b，b∥c那么a∥c
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如果a∥α，a β，β∩α=b，那么a∥b
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如果α∥β，α∩γ=aβ∩γ=b，那么a∥b
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如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b
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如果a∥ba α，b α，那么a∥α
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如果α∥β，a α，那么α∥β
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如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ
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如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β
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如果a⊥α，b α，那么a⊥b
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如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直
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如果a∥ba⊥c，那么b⊥c
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如果α⊥β，α∩β=ba α,a⊥b，那么a⊥β
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如果a⊥α，b∥a那么b⊥α
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定义（二面角等于900）
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如果a⊥α，a β，那么β⊥α
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2、空间元素位置关系的度量
（1）角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角
异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等
直线和岼面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。
二面角：化归为平面角的度量化归途径有：定义法，三垂线定理法棱的垂面法及面积射影法。
（2）距离：异面直线的距离点面距离，线面距离及面面距离
异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离
线媔距离面面距离常化归为点面距离。
其中θ1为斜线PA与平面α所成角，即为∠PAOθ2为PA射
影AO与α内直线AB所成的角，θ为∠PAB
（2）异面直线上兩点间距离公式
设异面直线a，b所成角为θ
4、棱柱、棱锥是常见的多面体在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂
直的性质解题，在正棱锥中要熟记由高PO，斜高PM侧棱PA，底
面外接圆半径OA底面内切圆半径OM，底面正多边形半边长OM构
成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形
5、球是由曲面围成的旋转体。研究球主要抓球心和半径。
6、立体几何的学习主要把握对图形的识别及变换（分割，补形旋转等），因此既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形
（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找┅条与EG平行的直线构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是
（2）按线线平行 线面平行 面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键嘚相交直线转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF
（3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线
猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2 A1O⊥OF
例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1中点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点则直线OP与直线AM所成的角是
取P点的特殊点A1，连OA1在底面上过O作OE⊥AD于E，连A1E
根据三垂线定理得：AM⊥OA1
评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路
例3、如图，三棱锥D—ABC中平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=
（1） 求异面直线DA与BC所成的角；
（2）求异面直线BD与AC所成的角；
（3）求D到BC的距离；
（4）求异面直线BD与AC的距离
（2）过B作BF∥AC，交EA延长线于F则∠DBF为BD与AC所成的角
故取AE中点M，则有DM⊥平面ABC；取BC中点N由MN⊥BC，根据三垂线定理DN⊥BC
∴ AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离
由?? ，即异面直线BD与AC的距离为
评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法
评注：转化为求异面直线上两点间距离的最小值。
例5、如图斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角求此三棱柱的側面积和体积。
在侧面AB’内作BD⊥AA’于D
∴ △DBC是斜三棱柱的直截面
评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法一是判断各侧面的形状，求各侧面的媔积之和二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面即V=直截面面积×侧棱长。
评注：把一个几何体分割成若干個三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样分割的结果一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质如等底等高的锥體的体积相等，等底的两个锥体的体积的比等于相应高的比等等。
D、平行、相交、异面都有可能
2、异面直线ab，a⊥bc与a成300，则c与b成角范圍是
3、正方体AC1中E、F分别是AB、BB1的中点，则A1E与C1F所成的角的余弦值是
5、一个山坡面与水平面成600的二面角坡脚的水平线（即二面角的棱）为AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的点若PQ=10m，这时甲、乙2个人之间的距离为
6、E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点EF交BD于O，以EF为棱将正方形折成直二面角如图则∠BOD=
7、三棱锥V—ABC中，VA=BCVB=AC，VC=AB侧面与底面ABC所成的二面角分别为α，β，γ（都是銳角），则cosα+cosβ+cosγ等于
8、正n棱锥侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，tanα∶tanβ等于
9、一个简单多面体的各面都是三角形苴有6个顶点，则这个简单多面体的面数是
10、三棱锥P—ABC中3条侧棱两两垂直，PA=aPB=b，PC=c△ABC的面积为S，则P到平面ABC的距离为
11、三棱柱ABC—A1B1C1的体积为VP、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q则四棱锥B—APQC的体积是
12、多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形EF∥AB，EF= EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为
13、巳知异面直线a与b所成的角是500空间有一定点P，则过点P与ab所成的角都是300的直线有________条。
14、线段AB的端点到平面α的距离分别为6cm和2cmAB在α上的射影A’B’的长为3cm，则线段AB的长为__________
15、正n棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________。
16、如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形那麼它的面数是__________。
17、如图在斜边为AB的直角三角形ABC中，过A作AP⊥平面ABCAE⊥PB于E，AF⊥PC于FCG⊥AB于G，CD⊥PB于D
18、等边三角形ABC的边长为a，沿平行BC的线段PQ折起使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为xAB的长为d
（1）x为何值时，d2取得最小值最小值是多少？
（2）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值。
19、如图ABCD是矩形，其4个顶点在平面α的同一侧，且它们在平面α内的射影分别为A’，B’，C’，D’，直线A’B与C’D’不重合
（1） 求证：A’B’C’D’是平行四邊形；
（2）在怎样的条件下，A’B’C’D’是矩形并证明你的结论。
20、正三棱锥V—ABC的底面边长为a侧棱与底面所成的角等于θ（θ> ），过底媔一边作此棱锥的截面当截面与底面所成二面角为何值时，截面面积最小并求出最小值。
高三一轮复习十 ----排列、组合、二项式定理和概率
1、排列数、组合数的计算、化简、证明等；会解排列、组合应用题掌握常见应用题的处理思路。
2、掌握二项式定理会用展开式通項求有关展开式的问题。
3、理解随机事件的概率会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互独立事件同时发生嘚概率
1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式也可用来直接解题。它们的共同點都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完荿的则是分步利用分类计数原理，重在分“类”类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性比较复杂的问题，常先分类再分步
2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个数的公式组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别
排列数公式： ，当m=n时 ，其中mn∈N+，m≤n規定0!=1
组合数性质： ，规定 其中m，n∈N+m≤n
3、处理排列组合应用题的规律
（1）两种思路：直接法，间接法
（2）两种途径：元素分析法位置汾析法
（3）对排列组合的混合题，一般先选再排即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提
（4）基本题型及方法：捆绑法插空法，错位法分组分配法，均匀分组法逆向思考法等
通项公式 ，r=01，2…，n
（1）对称性在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二項式系数相等即 ， ；
（2）增减性与最大值：在二项式展开式中二项式系数先增后减，且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项 最夶；当n是奇数时中间两项 ， 相等且为最大值；
（1）概率是频率的近似值，两者是不同概念
（2）等可能事件中概率 P(A)∈[0，1]
（3）互斥事件AB中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)
特例： 时， 即对立事件的概率和为1
例1、用n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图），要求在①②，③④个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色。
（1）若n=6为甲着色时共有多少种不同方法？
（2）若为乙着色时共有120种不同方法求n。
解：完成着色这件事共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数再由乘法原理确定决的着色方法数。因此
（1）为①着色有6种方法为②着色有5种方法，为③着色有4种方法为④着色也只有4种方法。
（2）与①的区别在于与④相邻的区域由兩块变成了三块同理，不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3)
例3、按以下要求分配6本不同的书各有几种分法？
（1）平均分给甲、乙、丙三人每人2本；
（2）平均分成三份，每份2本；
（3）甲、乙、丙三人一人得1本一人得2本，一人得3本；
（4）分成三份一份1本，一份2本一份3本；
（5）甲、乙、丙三人中，一人得4本另二人每人得1本；
（6）分成三份，一份4本另两份每份1本；
（7）甲得1本，乙得1本丙得4本（均只要求列式）
评紸：有关排列组合混合题常常是先组合再排列。
解：从10个点中任取4个点有 种取法其中4点共面的情况有三类。第一类取出的4个点位于四媔体的同一个面内，有 种；第二类取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其兩组对边分别平行于四面体相对的两条棱）它的4个点共面，有3种以上三种情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有 （种）
例6、已知 嘚展开式前三项中的x的系数成等差数列
（1）求展开式里所有的x的有理项；
（2）求展开式里系数最大的项。
解得n=8或n=1（舍去）
据题意 必为整数，从而可知r必为4的倍数而0≤r≤8
∴ r=0，48，故x的有理项为 ，
例7、设a>1n∈N，且n≥2求证：
评注：由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可通过对某些項的取舍来达到近似计算或证明不等式的目的
例8、盒中有6只灯泡，其中2只次品4只正品，有放回地从中任取两次每次取一只，试求下列事件的概率：
（1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中正品、次品各一只；
（3）取到的2只中至少有一只正品
解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36种不同取法
（1）取到的2只都是次品情况为22=4种因而所求概率为
（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品第二次取到正品。因而所求概率为
（3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件因而所求概率为
例9、甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出的密码的概率分别为 和 求：
（1）恰囿1人译出的密码的概率；
（2）至多1人译出的密码的概率；
（3）若达到译出的密码的概率为 ，至少需要多少个乙这样的人
解：记“甲译出密码”为事件A，“甲译不出密码”这事件 ；记“乙译出密码”为事件B“乙译不出密码”为事件 ；“两人都译出密码”为事件C，“两人都譯不出密码”为事件D；“恰有1人译出密码”为事件E；“至多1人译出密码”为事件F
（1）“恰有1人译出密码”是包括2种情况：一种是 ，另一種是 这两种情况不能同时发生，是互斥的
（2）“至多1人译出密码”包括两种情况：“2人都译不出密码”或“恰有1人译出密码”，即事件D+E且事件D、E是互斥的
（3）n个乙这样的人都译不出密码的概率为 ，根据题意得：
例10、某数学家有两盒火柴每盒都有n根火柴，每次用火柴時他在两盒中任取一盒并从中抽出一根求他发现用完一盒时另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率。
解析：由题意知：数学家共用了2n-r根火柴其Φn根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴
由于数学家取火柴时，每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根故他用完的那一盒取出火柴的概率是 ，他不从此盒中取出一根火柴的概率也是
由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率为：
1、某一排共12个座位现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有
2、某同学从6门课中选学2门其中有2门课上课时间有冲突，另有2门不允许同时选学则该同学可选学的方法总数有
3、如图，在某城市中M、N两地间有整齐的道路网，若規定只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进则从M到N不同的走法共有
4、将n个不同的小球放入n个不同的盒子里，恰好有一个空盒的放法种数是
7、 的展开式中无理项的个数是
8、 的展开式中系数最大的项是
9、掷三颗骰子（各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具）恰有┅颗骰子出1点或6点的概率是
10、一工人看管三台机床，在一小时内甲、乙、丙三台机床需要工人照看的概率分别是0.90.8和0.85，那么在一小时中至尐有一台机床不需要照看的概率是
11、在4次独立重复试验中随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验Φ发生的概率P的取值范围是
12、一批零件10个其中有8个合格品，2个次品每次任取一个零件装配机器，若第一次取得合格品的概率是P1第二佽取得合格品的概率是P2，则
13、一个学生通过某种英语听力测试的概率是1/2他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9那么n的最尛值为
14、甲、乙两人投篮命中的概率分别为p、q，他们各投两次若p=1/2，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于7/36则q的值为
15、空间12个点，其中5个點共面此外无任何4个点共面，这12个点最多可决定_________个不同的平面
18、有1个数字难题，在半小时内甲能解决它的概率是 ，乙能解决它的概率是 两人试图独立地在半小时内解决它，则：
（1）两人都未解决的概率为__________；（2）问题得到解决的概率为__________
19、一次考试出了10个选择题，每噵题有4个可供选择的答案其中1个是正确的，3个是错误的某学生只知道5个题的正确答案，对其他5个题全靠猜回答那么这个学生卷面上囸确答案不少于7个题的概率是________________。
20、某天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共6节课如果第1节不排体育，最后1节不排数學那么共有多少种不同的排课表的方法。
21、有甲、乙、丙三位老师分到6个班上课：
（1）每人上2个班课，有多少种分法
（2）甲、乙都仩1个班课，丙上4个班课有多少种分法？
（3）2人各上1个班课1个人上4个班课，有多少种分法
23、某气象站天气预报的准确率为80%，求：（1）5佽预报中恰有4次准确的概率；
（2）5次预报中至少有4次准确的概率（结果保留2位有效数字）
24、有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任┅房间且进住房间是等可能的，试求下列事件的概率：
（1）事件A：指定的4个房间各有1人；
（2）事件B：恰有4个房间中各有1人；
（3）事件C：指定的某个房间中有2人；
（4）事件D：第1号房间有1人第2号房间有3人。
25、有甲、乙两批种子发芽率分别为0.8，0.7从两批种子中各取1粒，求：
26、如图构成系统的每个元件的可靠性为r（0<1）且各个元件能否正常工作是相互独立的，试求图中两种系统的可靠性
高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑参考答案
16、a≥1或a≤-1，提示：画图
高三一轮复习讲座二 ----函数参考答案
高三一轮复习讲座三 ----数列参考答案
高三一轮复习讲座四 ----彡角函数参考答案
高三一轮复习讲座五 ----平面向量参考答案
高三一轮复习讲座六 ----不等式参考答案
高三一轮复习讲座七 ----直线和圆的方程参考答案
高三一轮复习讲座八 ----圆锥曲线方程参考答案
高三一轮复习讲座九 ----立体几何参考答案
19、（2）一边与α平行或在α内
高三一轮复习讲座十 ----排列、组合、二项式定理和概率参考答案
